Существование предела монотонной ограниченной последовательности

из "Математика для социологов и экономистов Учебное пособие "

При вычислении пределов используются понятия монотонной и постоянной последовательностей. Введем эти необходимые понятия. [c.47]
Последовательность ап называется ограниченной, если найдется число М такое, что ап М для всех n E N. [c.47]
Последовательность ап называется возрастающей (убывающей), если ап an+i (an an+i) для любого n G N. [c.47]
Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями. [c.47]
Последовательность ап называется строго возрастающей (строго убывающей), если ап an+i (ап an+i) Для любого п G N. [c.47]
Строго возрастающие и строго убывающие последовательности называются строго монотонными последовательностями. [c.47]
Определить являются ли эти последовательности монотонными. [c.47]
Решение. Первая последовательность является строго возрастающей, так как an = n n + l = an+i для любого п Е N. [c.48]
Таким образом, первые четыре последовательности являются монотонными. [c.48]
Решение. Первая последовательность 1, 2, 3,. ..,п,. .. не является ограниченной, поскольку для любого числа М всегда найдется номер N (например, N = [М] + 1), для которого адг М. [c.48]
Доказано, что последовательности, обладающие как свойством ограниченности, так и свойством монотонности, имеют предел. [c.48]
Теорема 1. Если последовательность ограничена и монотонна, то она сходится. [c.48]
Из пяти последовательностей, рассмотренных в примерах 1 и 2, свойствами и монотонности и ограниченности обладают три последовательности — вторая, третья и четвертая. Поэтому они имеют предел. [c.48]
Теорема 1 дает возможность находить сходящиеся последовательности, но не дает возможности вычислять их пределы. Для вычисления пределов используются другие теоремы. Приведем здесь три из них. [c.48]
Из этой теоремы следует, что предел второй последовательности, рассмотренной в примере 1, равен двум. [c.49]

Вернуться к основной статье