Определения предела функции

из "Математика для социологов и экономистов Учебное пособие "

Пусть а — число. Функция у = /(ж) задана в некоторой проколотой окрестности точки а, т. е. при ж 6 (а — е, 0) U (0, а + е). Точка а не обязательно входит в D(f). [c.56]
Для каждой такой последовательности хп построим последовательность уп = /(жп). [c.56]
Если все последовательности уп имеют пределы, эти пределы совпадают между собой и равны некоторому 6, то говорят, что функция /(ж) при ж, стремящемся к а, имеет предел, равный 6. В противном случае говорят, что функция /(ж) при ж, стремящемся к а, не имеет предела. [c.56]
Сформулируем точное определение предела функции. [c.56]
Определение 1. Число 6 называется пределом функции /(ж) в точке ж = а, если для любой последовательности ж , сходящейся к а (хп 6 (/), хп а при любом п), последовательность соответствующих значений функции у = /(жп) сходится и ее предел равен 6. [c.56]
Найти предел этой функции при ж — а — -. [c.57]
Существует другое определение предела функции, в котором не используется понятие предела последовательности. [c.58]
Определение 2. Число 6 называется пределом функции /(ж) при х — а (или в точке х — а), если для любого е 0 существует такое 8 0, что при всех ж, удовлетворяющих условию 0 ж — а 6 выполняется неравенство /(ж) — Ь е. [c.58]
Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции у = /(ж), точки ж = а, у = Ь. Выберем е 0 и построим прямые у = b + е, у — b — е. Число 6 является пределом функции /(ж) в точке ж = а, если найдется J-окрестность точки а такая, что часть графика функции /(ж), для которой ж G (а — 6, a) U (а, а + 5), попадает внутрь полосы, ограниченной прямыми у = b — е и у = b + е. [c.58]

Вернуться к основной статье