Непрерывность функции

из "Математика для социологов и экономистов Учебное пособие "

Пусть над столом висит на резиновой нитке груз. Под действием этого груза нитка растягивается, поэтому расстояние / груза от точки подвеса нити является функцией массы груза т, т. е. / = = /(га), га 0. [c.69]
Пусть а — точка числовой прямой, и у = f(x] — функция, определенная при х = а. Очевидно, что если функция непрерывна, то для точек х близких к точке а, значения f(x) и /(а) также близки друг к другу. Смысл утверждения если х близко к а, то f(x) близко к /(а) с помощью математических символов можно записать так если х — а, то f(x] — /(а) . [c.70]
Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если функция имеет конечный предел в точке а и этот предел совпадает со значением функции в этой точке, т. е. [c.70]
Последнее равенство означает, что для непрерывной функции символы предела и функции можно менять местами. Это дает основание сформулировать следующее правило Если функция f(x) непрерывна в точке а, то при вычислении предела функции при х — а, надо вместо х в выражение f(x) подставить а. Полученное число и является пределом функции f(x] в точке х = а. [c.70]
Определение 1 именуют определением непрерывности на языке предела. [c.71]
Существует и другое определение непрерывности. [c.71]
Дадим аргументу а приращение Дж = х — а. Тогда функция получит приращение Ду, определяемое как разность наращенного и исходного значения функции А у = /(а + Дж) — /(а) = = /( )-/(а). [c.71]
Это определение называют определением непрерывности на языке приращений. Оно эквивалентно предыдущему, поскольку фразы если х —ъ а, то /(ж) — /(а) и если (ж — а) — О, то (/(ж) — /(а)) — 0 равнозначны. [c.71]
Определение 3. Функция называется непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. [c.71]
Теорема 1. Основные элементарные функции непрерывны в областях их определения. [c.71]
Здесь мы воспользовались свойством предел произведения равен произведению пределов. [c.71]
В предыдущем разделе были приведены графики основных элементарных функций и их свойства. В их числе для каждой функции была указана область определения D(f]. Поэтому мы можем считать, что область непрерывности для каждой основной элементарной функции нами уже указана (в нашем перечне свойств она совпадает с )(/)). [c.72]
Теорема 2. Все элементарные функции непрерывны в областях их определения. [c.72]
Если f(x] —элементарна и а 6 D(f) то lim f(x) = /(a). [c.72]
Функция называется ограниченной на отрезке [а, 6], если существует такое число М, что для всех х G [а, Ь] выполняется неравенство /(ж) М. [c.72]
Заметим, что среди значений, которые принимает функция /(ж) в точках незамкнутого промежутка, может не быть наибольшего или наименьшего значения. [c.72]
в интервале (1, 3) функция у — х не обладает ни наименьшим значением, ни наибольшим (она могла бы принять эти значения на концах ж = 1 и ж = 3, но из открытого промежутка концы исключены). [c.73]

Вернуться к основной статье