Экстремум функции многих переменных

из "Математика для социологов и экономистов Учебное пособие "

Прежде чем сформулировать соответствующие теоремы приведем некоторые сведения из о квадратичных формах. [c.310]
Если ац — a i для всех , = , 2,. .., п, то квадратичная форма называется симметричной. [c.311]
Симметричная квадратичная форма от переменных Ж1, Ж2,. .., хп называется положительно определенной (отрицательно определенной], если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях переменных Ж1, Ж2,. .., жп, не равных одновременно нулю. [c.311]
Если симметричная квадратичная форма имеет как положительные, так и отрицательные значения, то она называется знакопеременной. [c.311]
Поскольку все главные миноры положительны, то квадратичная форма из примера 1 является положительно определенной. [c.313]
Рассмотрим теперь как с помощью квадратичных форм находить точки экстремума. [c.313]
в которых выполняются условия (15.3), называются стационарными. [c.313]
Необходимое условие экстремума может быть сформулировано и в терминах дифференциалов. [c.313]
Введем для этого необходимые определения. [c.313]
Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т. е. dxt = Дж . [c.314]
Обратное утверждение также верно если в точке PQ первый дифференциал функции z — /(ж1, Ж2, , хп) тождественно равен нулю (как функция относительно dxi , то все частные производные z x в указанной точке также равны нулю в силу произвольности dx%. [c.314]
Условия (15.3) или (15.4) не являются достаточными условиями экстремума. [c.314]
Достаточное условие экстремума формулируется с помощью привлечения второго дифференциала функции. [c.314]
Здесь дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т. е. dxi = Дж , dxk = Дж . [c.314]
Определитель этой матрицы называется гессианом. [c.315]
Если же d2z является знакопеременной квадратичной формой, то функция z = /(ж] , х%,. .., хп) не имеет локального экстремума в точке PQ. [c.315]
Отсюда получаем единственную стационарную точку О(0,0,0). Проверим, является ли эта точка точкой экстремума. Найдем вторые частные производные. [c.315]

Вернуться к основной статье