Естественный рост и задача Бернулли о кредитовании

из "Математика для социологов и экономистов Учебное пособие "

В природе и обществе встречаются многочисленные процессы, в ходе которых некоторые величины изменяются по следующему закону в течение любого промежутка времени фиксированной длительности Ai значение величины меняется в одно и то же число раз. [c.422]
Обозначим через m(t] массу колонии бактерий в момент времени t. Если нет ограничений в количестве питательных веществ и объеме сосуда и притом отсутствуют живые существа, поедающие эти бактерии, то за равные промежутки времени масса колонии будет возрастать в одно и то же число раз. [c.422]
Процессы, в которых величина увеличивается за равные промежутки времени в одно и то же число раз, называют процессами естественного роста. [c.423]
Сумма вклада в Сбербанке за данный промежуток времени возрастает в одно и то же число раз (скажем, за год на 5 %). Эта сумма подчинена закону естественного роста. [c.423]
При распаде ядер во время цепной реакции образуются нейтроны. Чем больше свободных нейтронов в данном объеме, тем чаще они сталкиваются с ядрами и тем больше новых нейтронов появляется. Процесс увеличения количества свободных нейтронов также представляет собой процесс естественного роста. [c.423]
Уравнение (21.1) называют дифференциальным уравнением естественного роста. Впервые его получил Якоб Бернулли. Им же была решена следующая задача. [c.423]
Решение. Поскольку проценты нарастают непрерывно, то скорость y (t] изменения величины долга y(i] в момент времени t пропорциональна значению этой величины в тот же момент времени. Следовательно, закон изменения долга описывается дифференциальным уравнением (21.1). [c.423]
Уравнение (21.2) с k = р/100 может быть применено не только при изучении кредитования. Оно применяется всякий раз, когда скорость изменения некоторой величины y(t) прямо пропорциональна ее значению в данный момент времени t, а ежегодный прирост равен р %. [c.424]

Вернуться к основной статье