Выпуклые множества и функции

из "50 лекций по микроэкономике Том 2 "

При исследовании экономических явлений математическими методами весьма значительным оказывается такое свойство многих множеств и функций, как выпуклость. Характер поведения многих экономических объектов связан с тем. что определенные зависимости, описывающие эти объекты, являются выпуклыми. С выпуклостью функций и множеств часто связано существование или единственность решения экономических задач на этом же свойстве основаны многие вычислительные алгоритмы. [c.569]
Справедливость многих утверждений, относящихся к выпуклым множествам и функциям, совершенно ясна, они почти очевидны. В то же время их доказательство зачастую очень сложно. Поэтому здесь будут изложены некоторые основные факты, связанные с выпуклостью, без доказательств, в расчете на их интуитивную убедительность. [c.569]
Любая геометрическая фигура на плоскости может рассматриваться как множество точек, принадлежащих этой фигуре. Одни множества (например, круг, прямоугольник, полоса между параллельными прямыми) содержат и внутренние, и граничные точки другие (например, отрезок, окружность) состоят только из граничных точек. [c.569]
Множество точек на плоскости называется выпуклым, если оно обладает следующим свойством отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком содержится в этом множестве (рис. 1). [c.569]
Примерами выпуклых множеств являются треугольник, отрезок, полуплоскость (часть плоскости, лежащая по одну сторону от какой-либо прямой), вся плоскость. Другие примеры выпуклых множеств приведены на рис. 2,а. На рис. 2,6 приведены примеры невыпуклых множеств. [c.569]
Пересечение, т. е. общая часть двух выпуклых множеств, всегда выпукло взяв любые две точки пересечения (а они — общие, т. е. принадлежат каждому из пересекающихся множеств) и соединив их отрезком, мы легко убеждаемся в том, что все точки отрезка являются общими для обоих множеств, так как каждое из них выпукло. Выпуклым будет и пересечение любого числа выпуклых множеств. [c.570]
Важным свойством выпуклых множеств является их отделимость если два выпуклых множества не имеют общих внутренних точек, то плоскость можно разрезать по прямой таким образом, что одно из множеств будет целиком лежать в одной полуплоскости, а другое — в другой (на линии разреза могут располагаться точки обоих множеств). Отделяющая их прямая в одних случаях оказывается единственно возможной, в других — нет (рис. 3). [c.570]
Введем на плоскости систему декартовых координат х, у. Теперь у нас появилась возможность рассматривать различные фигуры как множества таких точек, координаты которых удовлетворяют тем или иным уравнениям или неравенствам (если координаты точки удовлетворяют какому-либо условию, будем для краткости говорить, что сама точка удовлетворяет этому условию). [c.571]
Таким образом, решение системы линейных уравнений и неравенств — всегда выпуклое множество. [c.572]
Придумайте системы неравенств, решениями которых будут а) параллелограмм б) внутренность угла в) полоса между двумя параллельными прямыми г) единственная точка д) пустое множество. [c.572]
Приведенное определение является вполне строгим и может быть однозначно переведено на аналитический язык. [c.573]
Во-первых, функция f(x) должна иметь выпуклую область определения — отрезок, луч или всю прямую. [c.573]
Таким образом, функция f(x), заданная на выпуклом множестве, выпукла вниз, если она обладает следующим свойством для любых двух чисел хг и х2 из области определения функции и любого числа А, из отрезка [О, 1 ] выполняется неравенство (3). [c.573]
Если производная f (x) дифференцируема (т. е. выпуклая функция f(x) дважды дифференцируема), то f (x) 0. Для дважды дифференцируемых функций это неравенство оказывается равносильным приведенному выше определению выпуклой функции в курсах математического анализа выпуклость обычно определяют по знаку второй производной. Но в экономических приложениях, где часто приходится иметь дело с функциями, графики которых имеют изломы, такое определение оказывается мало полезным. [c.575]

Вернуться к основной статье