Логика сложных процентов

из "Экономическая школа Часть 2 "

Перельман (1882-1942) -известный популяризатор науки, автор многочисленных книг по математике, механике, физике, астрономии. [c.156]
В одной из книг Якова Исидоровича Перельмана есть такой сюжет. [c.156]
Человек кладет в банк 1000 рублей под 100% годовых. Это значит, что при хранении вклада в течение года его величина вырастает на 100% первоначального значения, то есть на 1000 рублей, и если вкладчик предполагает хранить свои деньги в банке ровно в течение года, он сможет в конце этого периода получить 1000 + 1000 = 2000 рублей. [c.156]
Но вкладчик все-таки хочет хранить деньги в банке ровно год. И ему в голову приходит такая мысль а что если через полгода ему переоформить вклад, то есть как бы получить деньги и сразу же положить их снова храниться еще полгода Сумма, выросшая за полгода, составит, как мы видели, 1500 рублей. А если эти 1500 рублей оставить теперь еще на полгода в банке, то сумма увеличится еще на 1500 V2 = 750 рублей и составит 2250 рублей. Это больше, чем та сумма, которая получилась бы без переоформления, так что такая операция вкладчику, безусловно, выгодна. [c.157]
При ежемесячном переоформлении вклада сумма составит 2613.04 рубля, а при ежедневном, считая, что банк работает без выходных, — 2714.57 рубля. Как видим, переход от N= 12 к 7V = 365 не очень сильно увеличил сумму — всего на 101 рубль с копейками, — так что выигрыш едва ли стоит ежедневных хлопот с переоформлением. [c.157]
Они побуждают вкладчика часто переоформлять свой вклад. При этом он не получает и не вкладывает никаких денег. Как будто ничего не происходит — а его доход увеличивается. [c.158]
назначив ставку 100% в год, должен быть готов за пользование вкладом в течение года заплатить без малого 172% и при этом загрузить своих служащих бесполезной работой по переоформлению вкладов. [c.158]
конечно, запретить вкладчику какое-то время совершать операции по своему вкладу или, по крайней мере, понижать процентную ставку, если вкладчик захочет воспользоваться своими деньгами в течение запретного периода. Можно ввести плату за переоформление. Можно не накапливать доход на счете вкладчика, а выплачивать ему причитающиеся суммы непрерывно (на практике — через короткие промежутки времени). [c.158]
Но мы рассмотрим другую возможность попытаемся отказаться от простых процентов , то есть от начисления дохода пропорционально сроку хранения вклада, и попробуем найти такую зависимость дохода от времени хранения вклада, которая бы избавила и вкладчика, и банк от перечисленных выше неудобств. [c.158]
Доказательство этого факта помещено в математическом приложении Аддитивные функции . [c.160]
Функцию k(T) будем называть коэффициентом роста вклада. [c.160]
Коэффициент р показывает, с какой скоростью происходит рост вклада. [c.161]
Выясним, что показывает каждый из этих показателей. [c.161]
Из равенства (4) видно, что при Т-, то есть при хранении вклада в течение единицы времени (например, года), первоначальный вклад увеличивается в R раз, или возрастает на долю г своей первоначальной величины. Величина г-100% обычно называется процентной ставкой, а формула (5) — формулой сложных процентов. [c.162]
Будем считать, что вклад производится в момент t0, после чего доход начисляется непрерывно будем рассматривать накопленную сумму вклада w(t) как функцию текущего времени. [c.162]
В той ситуации, которая рассматривалась в начале этого раздела, вкладчик имел возможность непрерывно переоформлять вклад из расчета 100% годовых, то есть фактически мог получать доход на основе сложных процентов при р = 1. Этому значению соответствует рост за год в R = el 2.718 раза, то есть действительная процентная ставка составляла 171.8% годовых. Если бы при тех же правилах банк хотел установить действительную процентную ставку 100%, то при непрерывном начислении дохода следовало бы взять р = In 2 = 0.693. [c.162]
При этом, во-первых, функции роста для простых и для сложных процентов принимают близкие значения во-вторых, показатели риг также близки друг к другу. Например, е° 05 =1.0512. Если р = 5% в год и t = 1 году, то действительная процентная ставка равна 5.12% годовых. Если, наоборот, г= 5% годовых, то р = In 1.05 = 0.0488. Разница, как видим, невелика. Поэтому в Сбербанке принято следующее правило начисления дохода по вкладам до востребования , допускающим операции не чаще 1 раза в день в пределах календарного года действует правило простых процентов , а в конце года остаток вклада увеличивается на величину образовавшегося за год дохода, что равносильно операции переоформления вклада в нашем примере при хранении вклада на протяжении ряда лет в целом действует формула (5). [c.163]
Приведенные здесь соотношения позволяют соизмерять доходы и затраты, относящиеся к различным моментам времени. Пусть потребитель рассчитывает получить доход W через Т лет. Какому сегодняшнему доходу равноценна для него эта величина Иными словами, какие ради этого затраты он согласен понести сегодня Ответ на оба эти вопроса дает величина, получившая название сегодняшней (или текущей) ценности дохода, ожидаемого в будущем. [c.163]
Это и есть та сумма, которую потребитель согласен не расходовать на сегодняшнее потребление ради будущего дохода, то есть сегодняшняя ценность этого дохода. [c.163]

Вернуться к основной статье