Метод вариаций в фазовом пространстве. Вычислительные схемы

из "Приближенное решение задач оптимального управления "

Метод вариаций в фазовом пространстве в той форме, которая была подробно описана и исследована в предыдущем параграфе, не реализуем на современных ЭВМ даже для самых простых задач с размерностью фазового пространства п 2. Однако на его основе было разработано несколько практических алгоритмов итерационного типа, которые использовались для фактического решения реальных прикладных задач. Ниже эти алгоритмы будут описаны в общих чертах и обсуждены с точки зрения сходимости полученных с их помощью численных решений к решению исходной задачи. [c.127]
Рассмотрим малые вариации управления, составленные из трех изображенных на рисунке элементов. [c.131]
Другими словами, тривиально неоптимальная траектория оказывается оптимальной относительно неполного множества вариаций управления (7). Но методы локальных вариаций (включая сюда и метод бегущей волны) основаны на просмотре класса вариаций управления еще более узкого, чем класс (7), и подобные ситуации оказываются для них тупиковыми траектория перестает варьироваться. Таким образом, сходимость этих методов доказана быть не может. [c.132]
Заметим, что выше сформулированы относительно слабые результаты ясно, что от метода трубки, так же как и от всех практически реализуемых методов, нельзя требовать нахождения глобального минимума метод заслуживает внимания и может быть использован, если для него стационарными траекториями (тупиковыми ситуациями) являются действительно стационарные, удовлетворяющие необходимому условию оптимальности — принципу максимума — траектории. [c.134]
Сформулированные выше теоремы можно доказать, если сетки S строить следующим образом в окрестности х ( , ) строится сфера радиуса О (т) в пространстве х , и эта сфера покрывается сеткой с шагом h—О (т2), содержащей, таким образом О (г в) точек (вместо О (т 2 ) в полном методе). Однако такое упрощение, по существу, трудностей фактической реализации метода на современных ЭВМ не снимает. [c.134]
описание которого будет дано ниже, предложен пока для очень частного класса задач, и его фактическая реализация приводит к довольно громоздким и трудоемким вычислениям. Однако он заслуживает внимания, тем более, что его становление содержит поучительные моменты ниже они будут особо подчеркнуты. [c.136]
Однако и сведение вариационной задачи (1)—(3) к конечномерной задаче минимизации Ф (а) еще не дает метода, поскольку поиск минимума Ф (а) оказывается чрезвычайно трудоемким и большие затраты машинного времени приводят к довольно ненадежным результатам. Причины этого подробно обсуждаются в 25, здесь же заметим только, что при очень малом е в функционале (4) основную роль играют невязки х—/ (х, и), на фоне которых теряется исходный подлежащий минимизации функционал F0. Основной целью процесса поиска минимума Ф (а) является минимизация х—/ (х, и) , и лишь после того как эта величина более или менее минимизирована, принимается во внимание значение F0. Другими словами, определяемая конструкцией (4) функция Ф (а) оказывается очень негладкой, и для нее не удается построить эффективный процесс минимизации. Именно с этим обстоятельством связана та довольно сложная и громоздкая конструкция поиска минимума Ф (а), которая опирается на обширную информацию, включающую не только значения функции Ф (а) и ее производных, но и значения производных отдельных составляющих Ф (а) компонент. [c.137]
Первый способ не требует никаких изменений в алгоритмической схеме, однако он противоречит основной идее метода формальное введение конструкций типа (13) портит дифференциальные свойства минимизируемой функции Ф (а), и, если не принять специальных мер, делает метод неэффективным. Второй способ вполне укладывается в общую идеологию метода, но приводит к увеличению объема матрицы влияния (трудоемкость ее вычисления, однако, по существу, не меняется) и осложняет процесс определения В я решением задачи на условный минимум (11) — (14) сведение к системе линейных уравнений (12) уже, в частности, не проходит. [c.139]
Замечание 2. Выше для простоты мы использовали в конечных рядах (5) базисные функции sin x, os x разумеется, это не связано с существом дела, и в конкретных задачах, характер решений которых качественно известен, могут быть выбраны наиболее подходящие базисные функции, что позволит решать задачу с небольшим числом их. Возникает и вопрос о разумном соотношении размерности аппроксимирующего пространства (числа членов в суммах (5)) с числом точек сетки N. [c.139]
За 8 итераций в 11 секунд на D -6600 было получено стабильное решение. Точность выполнения уравнений ж=/ была проконтролирована интегрированием задачи Коши с найденным и (t) и оказалась хорошей. Если бы такой же контроль был проведен и. в. расчетах [77], их ошибочность немедленно обнаружилась бы. В [78] не приведены значения р, д, N. Вид / также не сообщается, и расчет не удается повторить другим методом. [c.139]

Вернуться к основной статье