Задача о брахистохроне

из "Приближенное решение задач оптимального управления "

Эта классическая задача послужит нам простым примером, позволяющим продемонстрировать некоторые аспекты численного решения вариационных задач. Мы будем рассматривать и решать ее в двух постановках — в классической и в современной. [c.217]
Мы будем решать обе задачи методом спуска по градиенту. В том и другом случае речь идет о построении минимизирующей последовательности. [c.218]
Фактическая реализация этой схемы требует решения еще двух вопросов. [c.218]
Теперь возникают две возможности либо формально аппроксимировать выражение (7) на введенной сетке, например, определяя сеточную функцию у формулой (7) и полагая в точке ге=1, 2,. .. [c.219]
Расчет II. Он отличается от I расчета только тем, что у вычислялись по формулам (7 ) ). Результаты показывают, что положение не изменилось. [c.220]
что расчет может протекать лишь при очень малых шагах s .i, что и видно по результатам. [c.221]
Третье предположение трудности связаны с заведомо неудачным выбором начального приближения. Попробуем выбрать другое, более разумное и естественное (заметим, что в данной задаче это сделать можно, так как качественный характер искомого решения нам известен). [c.221]
Представленные в таблице результаты показывают, что положение несколько улучшилось, но сходимость по-прежнему слишком медленна. [c.221]
Расчет V. Он отличается от I расчета использованием формулы (9). [c.222]
Этим же отличается от III расчет VI. [c.222]
Результаты достаточно красноречивы и нет необходимости их комментировать заметим лишь, что в этом случае совершенно несущественно, какая аппроксимация выбрана для градиента Эйлера — формальная (7 ) или (7 ), согласованная с (6). [c.222]
Обсудим вопрос о различии точного значения F0=3,547 и полученного численно F0=3,553. [c.225]
В этой задаче (и это характерно для всех вообще вариационных задач) ошибка численного решения естественно распадается на две части. [c.225]
Однако можно с достаточными основаниями утверждать, что обычно в прикладных расчетах ошибка аппроксимации легче поддается контролю вычислителя и не доставляет ему особых хлопот она, как правило, много меньше ошибки поиска. [c.226]

Вернуться к основной статье