Линейная задача быстродействия

из "Приближенное решение задач оптимального управления "

Решение задачи методом сопряженных градиентов описано в [62] (оттуда и заимствованы значения Т=2, Х0=0, Xi=l, 2). Использовалась аппроксимация типа (6) (при N=50) и задача решалась, как конечномерная задача поиска минимума. За 370 итераций метода сопряженных градиентов (1508 вычислений градиента) получено решение с 9-ю знаками F и 8-ю знаками х. [c.227]
Но гораздо интереснее было бы знать, сколько итераций дает решение с 3—4 знаками. Именно от этого зависит оценка метода как средства решения прикладных задач. Получение же девяти знаков есть результат скорее спортивного, чем прикладного значения. К сожалению, этих данных в [62] нет. Неправильная аппроксимация (6) также снижает методическую ценность этих расчетов. [c.227]
Уравнение для и (t) — однозначно разрешимо, и алгоритм решения краевой задачи для П-системы был реализован следующим образом. [c.228]
Правый конец траектории х (iff) становится, таким образом, однозначной функцией вектора я х (tN)=Z (а), и затем дело сводится к решению системы трех уравнений Z (о)=Х. [c.228]
Авторы этих расчетов отмечают следующие обстоятельства. [c.228]
Грубо говоря, нужно, чтобы разрыв в иа (t) был размазан на достаточное число счетных точек если это число было слишком мало, появлялись трудности при решении системы нелинейных уравнений Z (о)—Х сходимость итерационного процесса решения этих уравнений становилась ненадежной, медленной. Причины этого мы обсудим ниже, при описании проводившихся автором экспериментов по этой же задаче. [c.229]
Расчеты автора проводились по той же схеме, что и расчеты Дубовицкого и Рубцова, отличаясь лишь в следующих технических деталях. [c.229]
Поясним значение этого усовершенствования для успеха всего расчета. Дело в том, что значения вектора а влияют на значениях х (Т) не прямо, а через положение нулей функции ф3 (t). В разностной схеме типа (5)—(6) зависимость Z (а) носит ступенчатый характер пока изменения параметров аа и а3 малы настолько, что нули ф3 (0 перемещаются в пределах одного счетного интервала сетки, эти изменения не влияют на а (Г) — влияние проявляется скачком при переходе нуля ф3 (t) через узел сетки. Разумеется, эти скачки имеют размеры т, однако, например, метод Ньютона основан на линеаризации зависимости Z (я) в окрестности некоторой точки Z (а+8а) Z (a)+Za a, а при ступенчатой зависимости Z от а в этой формуле появляются значительные погрешности, что и приводит к вычислительным трудностям. В схеме (5)—(6) сглаживание разрывов приводит к сглаживанию зависимости Z (о) в наших расчетах это достигается использованием формулы (7). [c.229]
Уже при беглом взгляде на систему (8) видна неравноправность компонент Z ( ) при одном и том же смещении 8 а справедливо неравенство Ъх1 (Т) Ьх3(Т). [c.230]
На этой же задаче можно показать характерные трудности, связанные с выбором начального приближения а°. Выше уже отмечалось, что на значения х (Т) влияют не непосредственно значения я, а положения нулей функции j 3 (t), последние в свою очередь зависят от а2, а3. Однако в трехмерном пространстве а существует такая телесная (т. е. содержащая внутренние точки) область А, что при а А на отрезке 0 t 1 ф3 имеет лишь один нуль (или даже ни одного). Изменению а в этой области А соответствует семейство решений П-системы, определяемое лишь двумя существенными параметрами 0 =7 и положением нуля ф3 (t) (а может быть, даже одним Т, если нуля нет). Таким образом, в области А отображение Z (а) вырождается трехмерная область А отображается в двумерное (или даже одномерное) многообразие Z (А). [c.232]
В этом случае Z 1 не существует, хотя в расчетах авоста обычно не возникает вычислительные ошибки в Za приводят к неравенству det (ZJ O, однако решение 8к= — Z 1 (Z — X) становится, в сущности, случайным. [c.232]
В расчетах Дубовицкого и Рубцова выпуклая аппроксимация имела и еще одну важную цель — преодоление обсуждаемой вырожденности отображения Z (а) в области А. Для системы (2) образ Z (А) уже не является двумерным, введение дополнительных компонент превращает его в трехмерный однако в силу малого искажения первоначальной постановки задачи это очень плоская трехмерная область, схематически показанная на рис. 22. Очень маленьким перемещениям точки Z в направлении п (см. рис. 1) соответствуют очень большие перемещения в области А. [c.233]

Вернуться к основной статье