Инвариантность седловых точек

из "Теория игр для экономистов-кибернетиков "

Точная формулировка этой эквивалентности заключается в следующих теоремах. [c.35]
Доказательство. Приемлемость ситуации (х, у ) для игрока 1 в игре Г означает, что она удовлетворяет соотношению (4.3). Но тогда должно быть и kH(x,y ) + a kH(x, y ) + а для любого xG x, т.е. в силу (5.2) Н (х,у ) Н (х, у ) для любого х х. Таким образом, (х 9 у ) G (Г ), так что i( r) С (ё1 (Г ). Из симметрии аффинной эквивалентности следует, что должно выполняться и противоположное включение следовательно, i (Г) = (Т ). [c.35]
Аналогично устанавливается, что 2 (Г ) = тг 2 (Г), после чего можно применить (5.3). [c.36]
На основании определения изоморфизма левые части (5.6) и (5.7) равны отсюда следует, что и(Г ) = и (Г). [c.36]
Вторая часть доказанной теоремы приводит к более глубоким (хотя, в сущности, столь же простым) следствиям. Из нее вытекает принцип двойственности для антагонистических игр, который может быть сформулирован следующим образом. [c.37]
Пусть некоторый класс игр Ж является зеркально-замкнутым , т.е. вместе с каждой своей игрой содержит зеркально изоморфную ей (так как все игры, зеркально изоморфные данной, изоморфны друг другу, мы, в соответствии с только что сказанным, можем говорить об одной зеркально изоморфной игре). Таким классом является, например, класс всех антагонистических игр или класс всех матричных игр. [c.37]
Ввиду- такой возможности мы далее будем все общие теоремы о свойствах оптимальных стратегий игроков и их связях со значением игры формулировать и доказывать лишь для стратегий игрока 1. [c.37]
Описанную связь между утверждениями, относящимися к стратегиям игрока 1, и утверждениями, относящимися к стратегиям игрока 2, мы далее будем называть принципом двойственности для антагонистических игр. [c.37]
Это вытекает непосредственно из (5.4) и (5.5). [c.37]

Вернуться к основной статье