Основные математические методы анализа моделей в прикладных экономико-математических исследованиях

из "Введение в экономико-математическое моделирование "

В этом параграфе кратко охарактеризованы основные математические методы, используемые для исследования экономико-математических моделей в прикладных исследованиях. Как мы уже говорили, подавляющее большинство прикладных экономических задач — это задачи принятия решений о планировании деятельности производственных систем различных типов. Математические методы в этих задачах используются для того, чтобы найти наиболее рациональное решение. [c.40]
Значения показателей при различных допустимых значениях переменных служат основой для выбора решения. Наибольшее распространение в прикладных исследованиях получил оптимизационный подход, основанный на формулировке единственного показателя, величина которого является критерием выбора наилучшего решения из множества возможных. В том случае, когда имеется несколько показателей, при использовании оптимизационного подхода возникает сложная проблема построения на их основе единственного критерия (так называемая проблема свертывания показателей). [c.40]
Свертывание показателей. Под свертыванием показателей понимается построение функции U(z) =F(/1(z),. .., /r(z)), которая может быть использована в качестве критерия при принятии решения вместо системы показателей (4.1). Рассмотрим некоторые методы свертывания. Для того чтобы упростить рассуждения, будем предполагать, что желательно увеличение значения каждого из показателей. [c.40]
Величины Я имеют смысл ценности единицы каждого из показателей, оценивают его вклад в увеличение значения критерия задачи. [c.41]
Здесь значение величины U определяется наихудшим показателем таким, что величина /j(z)/A,i имеет наименьшее значение. Величины K i имеют смысл структуры набора показателей, а величина U показывает, сколько имеется наборов заданной структуры. [c.41]
Найти такое z e Z, на котором достигается max U (z). [c.42]
Такую задачу называют задачей оптимизации, а то допустимое значение z, па котором достигается решение задачи оптимизации, — оптимальным. [c.42]
Рассмотрим некоторые задачи оптимизации, используемые для анализа экономико-математических, моделей. Начнем с классических задач оптимизации, методы решения которых были разработаны в процессе развития математического анализа. Эти задачи были связаны в первую очередь с потребностями естественных наук, в основном механики, по позднее нашли применение и в экономико-математических исследованиях п оставались до середины двадцатого века основным средством анализа проблем принятия экономических решений. [c.42]
Классические методы безусловной оптимизации. Начнем с самой простой задачи — задачи безусловной оптимизации. Эта задача состоит в выборе такого вектора х Еп, на котором достигается максимум функции U(x), заданной на всех х Еп. Особенности описываемых методов продемонстрируем в одномерном случае, когда х — скаляр. [c.43]
Это так называемое условие второго порядка. Оно позволяет не рассматривать часть точек, удовлетворяющих (4.9), но не являющихся точками максимума U(x]. Если нам каким-либо образом удалось найти все точки ж, удовлетворяющие соотношениям (4.9), (4.10), то, подсчитав значения функции U(x) в этих точках и сравнив их между собой, можно найти ту точку, в которой достигается глобальный максимум. Заметим, что можно было бы не использовать условие второго порядка (4.10), но при этом пришлось бы подсчитывать значения U(x) не только в точках максимума, но и в других точках. [c.44]
Совместно с соотношением g(xh x2) = b условие (4.13) является необходимым для того, чтобы точка (за, ) была решением задачи. [c.46]
Метод множителей Лагранжа состоит в получении условий оптимальности в несколько измененной, но эквивалентной форме. [c.46]
Функцию L(XI, Xz, v) принято называть функцией Лагранжа (лагранжианом), а величину v — множителем Лагранжа. [c.47]
Таким образом, задача оптимизации при наличии ограничений типа равенств оказалась сведенной к задаче поиска стационарной точки некоторой функции без учета ограничений. [c.48]
Сформулированное утверждение принято называть теоремой Куна — Таккера. [c.48]
Найти х. Еп, на котором достигается максимум С/Ы = (с, х) при выполнении условий Ах = Ь, х = 0. [c.50]

Вернуться к основной статье