Существование равновесий

из "Модели и методы управления составом активных систем "

В данном разделе будет рассмотрен вопрос существования равновесий в получающейся игре центров. Необходимо заметить, что при рассмотрении подобных игр было замечено, что вопрос существования зачастую трудно доказуем, и поэтому при доказательстве существования делаются некоторые упрощающие предположения. В данном разделе будет доказано, что в АС, состоящей из двух АЭ всегда существует равновесие. [c.70]
Значение а есть максимально возможный выигрыш (значение целевой функции) в игре г-го центра с АЭ, если в АС отсутствует другой центр, а xi — исход, при котором этот выигрыш достигается. Заметим, что функции /j(s) определены при s G [0,a j], являются неубывающими и непрерывными слева. [c.71]
Далее будем предполагать, что x (s] и x (s] ни при каком s не совпадают (во многих случаях, впрочем, это условие можно ослабить). [c.71]
Пусть мы хотим определить, может ли некоторая точка х множества X быть реализована как равновесие Нэша (возможно, с угрозой). Рассмотрим необходимые и достаточные условия для этого в терминах введенных функций. [c.71]
Прежде всего, каждому из центров должно быть невыгодно полностью отказываться от своего стимулирования (предлагать АЭ во всех точках нулевое стимулирование) и соглашаться на то, чтобы реализовывалась угроза противника, т.е. [c.71]
никакому из центров не должно быть выгодно отклоняться на реализацию своей наилучшей стратегии х т.е. [c.71]
Последнее неравенство говорит о следующем. Для того чтобы, например, первому центру не стала выгодным реализация исходов хг или x (s), надо, чтобы при исходе х он получал больше. Таким образом, необходимо, чтобы он при х получал как минимум max(/2(s), a — s). To же самое верно и для второго центра. В совокупности в х они получают Я1(ж ) + Я2(ж ) — с(ж ) — s. Третье неравенство говорит о том, что центры имеют что делить, причем сумма для дележа равна разности между правой и левой частями неравенства, так как сг ж ) + сг2(ж ) = с(ж ) + s. [c.72]
Существование таких ai(x (s)), 0 2 ( ( мой неравенств (4.6). [c.72]
При увеличении s нельзя точно сказать, как ведет себя множество реализуемых исходов с угрозой s, поскольку в неравенствах (4.6) при а — s fi(s) соответствующий максимум уменьшается, а при а — s /i(s) соответствующий максимум не уменьшается (может увеличиваться). Соответственно если максимумы уменьшаются, то множество возможных х, удовлетворяющих (4.6), увеличивается, в противном случае уменьшается. При различных неравенствах (для первого и второго центров) эффекты действуют в различные стороны, и результат их действия (как изменится множество реализуемых с данной угрозой исходов) указать нельзя. [c.73]
АС с двумя центрами обладает хорошим свойством — в ней всегда существует равновесие, и (по теореме 4.2.1) всегда существует оптимальное равновесие. [c.73]
Теорема 4.3.1. В АС с двумя центрами и одним АЭ всегда существует оптимальное равновесие. [c.73]
Заметим, что в теореме не только доказано, что в системе из двух элементов всегда реализуем Парето-эффективный исход, но и для большинства случаев перечислены возможные равновесия (с точностью до места расположения угроз, которые, в принципе, тоже можно определить как произвольные точки некоторых множеств), причем выигрыш каждого из центров легко найти. [c.73]

Вернуться к основной статье