Если F дифференцируема в С и G дифференцируема в В = F( ), то дифференциал сложной функции Н = G о F равен [c.136]
Наиболее важный вывод, который вытекает из теоремы 10, состоит в том, что второй дифференциал в общем случае не удовлетворяет правилу инвариантности Коши. Поэтому, мы будем иметь в виду, что хотя первый дифференциал сложной функции удовлетворяет соотношению [c.155]
Если F дважды дифференцируема в (7, а (7 дважды дифференцируема в В = F((7), то второй дифференциал сложной функции Н = G о F равен [c.159]
Найдем дифференциал сложной функции у = Дм), где и = g(x) По определению дифференциала находим dy = y xdx = / u xdx. Но u xdx = du, поэтому dy — y"udu. Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент данной функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала сложной функции называется инвариантностью формы дифференциала. Следует, однако, заметить, что в последней формуле нельзя заменить du на Аи, так как du Ди для любой функции и, кроме линейной. [c.55]
Цепное правило связывает частные производные сложной функции h = g о f с частными производными функций fug. Обсудим теперь следствие из цепного правила, которое связывает дифференциал h с дифференциалами g и /. Этот результат (известный как правило инвариантности Коши 1) весьма полезен при вычислении дифференциалов. [c.132]
Частные производные, дифференциал и связь между ними. Касательная плоскость и нормаль к поверхности в трехмерном пространстве. Производная сложной функции. [c.15]
Цепное правило для матриц Гессе дает выражение для вторых производных сложной функции h = go/ в терминах производных первого и второго порядка функций g и /. Следующая теорема дает представление второго дифференциала h в терминах первого и второго дифференциалов функций g и /. [c.154]