ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ДЛЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [c.133]
Есть ряд модифицированных вариантов теоремы о среднем для векторных функций, однако нам понадобится только непосредственное обобщение одномерного случая на случай вещественных функций двух и более переменных. [c.133]
Теорема 6 (вторая теорема об идентификации для вещественных функций) [c.149]
ТЕОРЕМА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [c.156]
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы о среднем значении (теорема 5.10) рассмотрим вещественную функцию ф [0, 1] — > R, определенную как [c.156]
Другой формулировкой результата теоремы 25 является то, что вещественная функция 0, определенная как ф(Л) = log Д , вогнута на множестве положительно определенных матриц. Это видно, если взять логарифмы обеих частей (2). Заметим, однако, что функция , заданная как ф(А) = Л , никогда не выпукла и не вогнута на множестве положительно определенных матриц. Это легко видеть, положив [c.284]
Теорема. Б пространстве всех вещественных функций на I (где / = п) множество ffl(I) является выпуклым конусом, размерность которого не превосходит 2п — 1. [c.212]
Наконец, если АО есть простое собственное значение вещественной симметрической матрицы XQ порядка n, a UQ — соответствующий собственный вектор, то существует дважды дифференцируемая собственная функция Л такая, что X(XQ) = АО (см. теорему 8.7). Дифференциал второго порядка в точке XQ находится по теореме 8.10, а именно [c.250]
Рассмотрим вариант алгоритма, в котором функция Е(0 строится на основании результатов теоремы 1. В этом случае предлагается, в соответствии со Следствием, искать ее в виде 2(0 = (а(е Т -1) + В]Е, где а, в и у — вещественные числа, ог,/ <0, у>0, Е —единичная матрица. Тогда алгоритм нахождения улучшения будет следующим [c.291]
В этой главе рассматриваются понятия вторых производных, дважды диф-ференцируемости и второго дифференциала. Особое внимание уделяется связи между дважды дифференцируемостью и аппроксимацией второго порядка. Мы определяем матрицу Гессе (для векторных функций) и находим условия для ее (столбцовой) симметрии. Мы также получаем цепное правило для матриц Гессе и его аналог для вторых дифференциалов. Доказывается теорема Тейлора для вещественных функций. Наконец, очень кратко обсуждаются дифференциалы высших порядков и показывается, как анализ векторных функций можно распространить на матричные функции. [c.140]
Таким образом, выполнены условия теоремы о неявной функции (теорема А.З из приложения к гл. 7). Значит, существуют окрестность N(X ) С Rnxn матрицы XQ, единственная вещественная функция А N(XQ) — > R и единственная (с точностью до знака) векторная функция и N(X0) — > Rn, такие что [c.210]