Замечание 2. Во многих редакциях метода условного градиента обычно считается / (zf )=0, i = l,. . ., т и задача определения с упрощается. Фактически, поскольку используются конечные вариации Ьх, в процессе итераций накапливаются невязки в условиях / (x)—Q, г=1,. . ., т. Когда они достигают некоторой назначенной величины, делается одна или несколько итераций с целью погашения невязок (как это описано выше). [c.401]
Рецепт выбора шага в методе условного градиента. После решения задачи (24) — (26) определяются и множители Лагранжа X, Образуется одномерная задача определения шага процесса s [c.403]
Метод подъема по условному градиенту состоит в переходе от вектора g к вектору g, = g- - s — = g - - sq(g)- - s e, а множитель Х выбирается таким, чтобы условие нормировки не было нарушено [c.377]
Разумеется, и здесь можно применить метод проекции градиента, но мы считаем (и это соответствует положению дел в прикладных задачах такого сорта), что проектирование на множество X, определяемое системой нелинейных уравнений / (z)=0, i=l, 2,.. . . . ., т, является слишком сложной операцией. Алгоритм поиска условного минимума состоит в том, что для каждой точки х нужно уметь строить улучшающую вариацию аргумента ох. При этом приходится иметь в виду не только понижение f (х), но и восстановление условий / (ж)=0, если они оказываются нарушенными. Итак, пусть есть некоторая точка xk, причем условия / (xk)=0 могут и не выполняться. Считая искомую вариацию Ьх малой и ограниченной условием Ьх S, где S — шаг процесса, поставим следующую естественную задачу для определения Ьх [c.400]
Метод условного градиента. В этом методе идея выбора направления спуска состоит в следующем в точке хк линеаризуют функцию f(x), строя линейную функцию f (х)= ffek) + (ф1 (хь),х—xjt) и затем, минимизируя f(x) на множестве х, находят точку у . После этого полагают — s = у —х и далее вдоль этого направления осуществляют спуск Х +/= х —fik(xk У ). такг чтобы xjt+i e X. [c.180]
В основу дальнейшего будет положен первый способ, хотя некоторые алгоритмы (они будут описаны) основаны на втором. Выше мы убедились, что проектирование на Q практически осуществить не удается. Однако можно построить алгоритм, основанный на проектировании не на Q, а на некоторое многообразие, которое условно можно считать касательным к и в точке и. Речь идет о следующем линеаризуем задачу в окрестности данной точки и и построим метод проекции градиента для линеаризованной задачи. Пусть wt (t) — функциональные производные входящих в задачу функционалов Ff [и ( )], z=0, 1,.. ., т. Будем искать вариацию управления Ьи ( ), решая вариационную задачу найти [c.142]
Паллиативы (метод проекции градиента в общем случае). Выше было показано, что проектирование градиента осуществляется достаточно просто (правда, в линеаризованной постановке, приводящей к проектированию на линейное подпространство) в двух случаях либо при отсутствии дополнительных условий (F(=ff), либо при отсутствии геометрического ограничения на значения и (t) (u( U). Однако большая часть прикладных задач оптимального управления содержит оба сорта условий, а в этом случае проектирование выполняется решением задачи квадратического программирования. К сожалению, идеи и алгоритмы, относящиеся к линейному и нелинейному программированию, мало известны среди специалистов по прикладной механике, которые особенно часто сталкиваются с необходимостью решения задач оптимального управления достаточно общего вида. Именно в этой среде были созданы многочисленные приемы, имеющие целью сформулировать общую задачу как задачу классического типа, либо как простейшую неклассическую задачу. Мы рассмотрим наиболее типичные из этих приемов. Их следует отнести к разряду паллиативов, так как они не снимают трудностей численного решения, а лишь отодвигают их, так сказать, в глубь проблемы. Создание алгоритма приближенного решения задачи оптимального управления можно условно разбить на два этапа [c.160]