Стоит упомянуть еще одну причину, по которой методы второго порядка представляются интересными. Это связано с выбором шага спуска S. В методах первого порядка эту величину приходится назначать, тогда как в методах второго порядка учет квадратичных членов разложения приводит к естественному выбору абсолютной величины вариации Su (t) без введения искусственных ограничений. [c.209]
Процесс численного решения этой задачи (на сетке с N==50) показан в табл. 2, где представлены четыре шага спуска по условному градиенту. Таблица показывает, как осуществлялся подбор [c.224]
III. Решение задачи (6) осуществляется некоторым вариантом градиентного спуска. Он заслуживает пояснения. Один шаг спуска состоял из следующих вычислений. " [c.314]
Замечание об универсальной последовательности шагов. В чисто теоретических исследованиях большой популярностью пользуется конструкция последовательных шагов спуска s 1/ , определяющих переход от xk к ж [c.385]
Ш Существует большое число различных рецептов построения направлений спуска и относительно небольшое число способов вычисления шага спуска. Мы ограничимся здесь одним, по существу, способом вычисления s. Будем считать, что s находится решением задачи [c.394]
Теперь мы докажем характерную теорему о сходимости метода наискорейшего спуска. Эта теорема, в частности, позволит уточнить требования к точности определения шага спуска s. Обозначим через R (у) область re-мерного пространства, определяемую условием х R (у) / (х) . / (у). Функцию / (х) будем считать гладкой (достаточно непрерывности вторых производных). [c.395]
Это замечание имеет важные практические последствия, так как им проясняется вопрос о возможной неточности в определении шага спуска s. Например, иногда используется следующий алгоритм вычисления шага. Определим F (s)=/ (x+sy) и вычислим F, (Q)—1X (х) у. Обычно Ft (0) <,0, что соответствует тому, что у есть направление убывания / (г). Далее назначается некоторый фиксированный большой шаг S, и рассматривается прямая L в плоскости (s, F), проходящая через точку (О, F(0)) с наклоном [c.396]
S > s, находятся на отрезке у s, s , и такой алгоритм ликвидирует одну из возможных причин несходимости метода спуска стремление шага спуска к нулю столь быстрое, что бесконечного [c.397]
Число шагов (т. е. число вычислений функции / (a +sy )), необходимое для такого определения шага спуска , обычно было не очень [c.397]
Это есть направление спуска для р- Находим предварительный шаг спуска Д решением задачи min x -J- Дг> , т. е. Д = — - — -. [c.450]
Далее находится действительный шаг спуска, учитывающий ограничения переменных [c.450]
Реализация спуско-подъемных операций выполняется бурильщиком при большом числе шагов (актов деятельности) по информационному поиску (по оси х=68, по оси г/=76), приходящему- [c.196]
Хорошо в выходной день поехать на нашу базу отдыха, которая создана на месте летнего лагеря. Там выдают напрокат лыжи, имеются и лыжные костюмы. Работники базы учли интересы всех. Кто только начинает учиться ходить на лыжах, выбирает поляну без холмов и сначала пробует делать самые простые шаги. Опытные лыжники спускаются с гор по далеко вьющейся лыжне. Самые смелые спускаются по трамплину. Летящий навстречу ветру лыжник похож на парящую птицу. Часто на базе устраивают спортивные праздники, а победившие в общем кроссе получают шуточные призы. [c.69]
База отдыха создана вместо лагеря. Хорошо поехать на базу в выходной день. Лыжные костюмы и лыжи выдают напрокат. Учли интересы всех работников базы. Поляну без холмов выбирают те, кто только начинает учиться ходить на лыжах. Они сначала просто пробуют делать самые легкие шаги. По вьющейся далеко лыжне спускаются с гор опытные лыжники. Похож на птицу лыжник, летящий навстречу ветру. Спортивные праздники устраивают на базе часто. Шуточные призы получают победившие в общем кроссе. [c.73]
Отправляясь от х как от исходной точки, полагаем 62—6 и снова,, как и на предыдущем шаге, определяем направление наискорейшего спуска z№ из точки х величину шага /2 и т. д. [c.125]
В табл. 1 приведены значения Fa в исходной точке шага, и Fm — в конечной Рш — есть минимум F на направлении спуска. Характерным является резкий рост /, существенно превышающий падение <р вдоль направления спуска. Однако теперь мы на рост / не обращаем (до известной степени) внимания соотношение (6) свидетельствует о том, что / очень легко изменить сравнительно малыми вариациями Ъх, Ьу главное — это вывести на нуль ср. Эти качественные соображения и учитывает нормировка (8). Следует заметить, что нормировка (8) не является безусловно обязательной. Та же система при других начальных данных х°, у0 одинаково хорошо решалась как с нормировкой, так и без нее. В значительной мере это связано с тем, что в большинстве точек (х, у система уже нормирована. Однако в методических целях мы можем ее испортить , заменив уравнения на [c.383]
О скорости сходимости метода спуска по градиенту. В общем случае трудно оценить скорость сходимости процесса наискорейшего спуска, каждый шаг которого состоит в решении задачи min / (х — sfx). Однако определенную [c.406]
Метод сопряженных градиентов является итерационным методом нахождения минимума квадратичной формы. Характерная его особенность — конечность минимум достигается не более, чем за п шагов (тг-размерность пространства). Вычислительная схема метода сопряженных градиентов была обобщена на задачи нахождения минимума общих функций, не являющихся квадратичными. Опыт вычислений показал высокую эффективность метода, особенно в ситуациях, когда метод простого спуска по градиенту оказывался практически неработоспособным в силу крайне меД ленной сходимости. Ниже излагается вычислительная схема ме -тода в случае квадратичной функции, затем будет приведено его формальное обоснование. В заключение будет приведено обобщение вычислительной схемы в случае неквадратичной функции. [c.469]
Стандартный шаг состоит в переходе к xi+1, g 1, Hi+1. 1. Вычисляется направление спуска rt+1/j [c.470]
Находится шаг s<+V спуска по г + / , решением задачи [c.470]
Значение W0(FS, Ts), соответствующее сбалансированному лимиту капиталовложений Ls, в рассматриваемой модели получается при реализации метода наискорейшего спуска с переменным шагом. Поиск выполняется до обеспечения неравенства вида [c.106]
При таком выборе шага обычно говорят о наискорейшем спуске . Экстремальная задача (9.7) чаще всего решается с помощью квадратичной аппроксимации по р. [c.302]
Более точно градиент может быть вычислен, если известно линейное приближение поверхности отклика, полученное по числу точек, превышающему число переменных. Боксом и Уилсоном предложено определять градиент по линейному приближению поверхности отклика на основе дробного факторного эксперимента. Если градиент рассчитывается заново после каждого шага решения, то это метод градиента. Если же в направлении градиента выполняется несколько шагов до тех пор, пока не перестанем приближаться к оптимуму, то это метод крутого восхождения или наискорейшего спуска, [c.270]
Метод градиента в классической аадаче. Пусть х° (t) — некоторое исходное приближение, удовлетворяющее краевым условиям (2). Один шаг спуска состоит"в"следующем строится направление спуска в функциональном""пространстве — функция у (t), удовлетворяющая краевым условиям у (0)=0, у (7Т)=0, и следующее, лучшее приближение ищется в виде [c.218]
Видно, что уже второй шаг спуска дает практически окончательный ответ на третьем и четвертом шагах алгоритм поиска s работает не очень уверенно это связано с потерей точности из-за сокращения значащих цифр при вычислении второй разностной производной (расчет проводился на машине с 29-значной двоичной мантиссой и с машинным нулем 10 9, все предыдущие — на БЭСМ-6, с 40-значной мантиссой и нулем 10 20). [c.225]
Замечание. В доказательстве не было использовано то, что шаг спуска s и, следовательно Д (х), связаны с решением одномерной задачи минимизации (13). Важно лишь то, что Д (х) < 0 в любой точке, где fx (x)= Q, и что Д (х) — непрерывная функция. При этом вместо непрерывности может быть использовано и более слабое свойство полунепрерывности для любого сколь угодно малого е > 0 можно указать такое i > 0, что из х —х т) следует Д (г ) < Д (х)- -е. [c.396]
Рассмотрим итеративный метод решения задачи (4.15) вогнутого программирования, представляющий собой обобщение метода Гаусса — Зейделя покоординатного спуска. В [83] метод Гаусса — Зей-деля распространен на случай, когда на каждом шаге производится оптимизация не по отдельным переменным, а по векторам, составляющие которых — некоторые подмножества множества переменных задачи. Задача (4.15) не укладываетя в класс задач, для решения которых в [83] обосновано обобщение метода покоординатного спуска. Векторы X/j( oh ) — аргументы функции
Из леммы 4.3 следует, что функционал Q при допущениях 1°—4° имеет ограниченную на Vr производную и, стало быть, равномерно непрерывен на Vr. Кроме того, Q выпуклый вместе с (со , Кп) и поэтому достигает минимума на Vr. По тем же причинам метод покоординатного спуска применим к Q на Vr (в том смысле, что требуемый на каждом шаге минимум достигается). [c.223]
М етоды спуска. Общая схема этих алгоритмов построена следующим образом Пусть имеется некоторая точка х, полученная на /с-м шаге процесса поиска минимума. [c.394]
Выше описан основной цикл метода сопряженных градиентов. Таких циклов делается — т, после чего происходит снова возврат к покоординатному спуску (п. 1). Поясним, почему сразу не используется метод сопряженных градиентов. В этом методе все переменные sn изменяются одновременно, и шаг определяется наименьшим расстоянием одной из переменных до своей границы s (s+). Пусть этот шаг определяется переменной s .. Однако в процессе участвуют векторы hn, близкие к hj (напомним, что hn суть сеточное представление непрерывной функции w (t) в (1)). Поэтому многие переменные 5Я лишь немного не дотянут до своих границ. На следующем цикле процесса на границу выйдет одна из этих переменных, причем смещение будет очень малым, затем еще одна и т. д. В целом процесс будет неэффективен, так как каждая итерация метода сопряженных градиентов требует значительных предварительных вычислений. [c.450]
По-видимому, наиболее известным из рассматриваемой группы методов является метод Дэвидона — Флетчера — Пау-элла. Идея, лежащая в основе данных методов, состоит в отыскании на каждом шаге направлений спуска, близких к направлению метода Ньютона, но без использования матрицы вторых производных. [c.312]