В этой игре у каждого игрока существует строго доминирующая стратегия — потребовать 1 доллар себе. Соответствующий исход является и равновесием в доминирующих стратегиях, и равновесием Нэша. Примечательным является то, что этот исход является единственным не Парето-оптимальным исходом. Так, исход, в котором оба игрока требуют отдать сто долларов другому строго доминирует его по Парето. [c.688]
Пример 4.6. z-решения и равновесие Нэша. z-реше-ние является частным случаем П-решения, когда каждый элемент предполагает вполне определенные стратегии zn (г) других элементов (прогнозирует вполне определенную обстановку). В этом случае [c.186]
Хотя для определения равновесия Нэша можно воспользоваться понятием предположение , более простым — и общепринятым — является определение с использованием понятия стратегия . [c.63]
В отличие от выбора доминирующих стратегий, применение концепции равновесия Нэша всегда приводит к равновесию. В действительности может существовать более одного состояния равновесия Нэша. Один из примеров — игра на рис. 4.5, где как (Т, Г), так и (В, R) являются состояниями равновесия Нэша. Иллюстрацией для этой игры может послужить процесс стандартизации. Стратегии Т и L или В и R являются комбинациями стратегий, ведущими к совместимости, которая устраивает обоих игроков. Однако Игрок 1 предпочитает совместимость стандарта (B-R), а Игрок 2 — совместимость другого стандарта. В общем виде данный пример репрезентативен для класса игр, в которых (1) игроки желают координации, (2) существует более чем один вариант координации, (3) игроки по-разному оценивают предпочтительность этих вариантов. (Проблемы стандартизации будут обсуждаться в главе 17.) [c.63]
В этой игре образуются два состояния равновесия Нэша (е,г) и (ё, г). Сначала проверим, действительно ли (е, г) является равновесием Нэша, т.е. ситуацией, когда ни у одного из игроков с учетом действий другого игрока не возникает стимула изменить свою стратегию. Итак, если Игрок 1 останавливает свой выбор на варианте е, тогда лучшим для Игрока 2 решением будет г (это влечет за собой выигрыш 20 единиц, в противном случае результат составит -10 единиц). В свою очередь, если Игрок 2 выбирает , оптимальным для Игрока 1 будет вариант е (влекущий за собой выигрыш в размере 10 единиц, в противном случае результат составит 0 единиц). [c.64]
Второй момент, проиллюстрированный данным примером, методологический. Если мы доверяем обязательству Игрока 2 выбрать г, то мы должны учесть это в модели, изменив или выигрыши Игрока 2, или порядок ходов. Сделать это можно так, как сделано на рис. 4.7, где мы смоделировали все ходы, которые привели Игрока 2 к принятию обязательства выбрать г. Другим способом это сделано на рис. 4.8, где смоделирован выбор Игрока 2 между вариантами гиг до того , как Игрок 1 определился со своей стратегией. Реально по времени выбор в пользу г или г может быть сделан после того, как Игрок 1 выберет е или ё. Тем не менее, если Игрок 2 обязуется выбрать г, мы можем это смоделировать, допустив, что он делает шаг первым. Собственно говоря, решая игру на рис. 4.8 в обратном порядке, мы приходим к такому же решению, что и на рис. 4.7, а именно ко второму равновесию Нэша в изначально рассматривавшейся игре. [c.67]
Отмечено ли это изобилие стратегий какими-либо интересными особенностями, которые не характерны для разовой версии игры В целом ряде случаев ответ положительный. Для начала рассмотрим состояния равновесия в нашей разовой игре. При непосредственном изучении игры обнаруживаются два равновесия Нэша (М, С) и (В, Rf. Обратите внимание на то, что лучший результат, равный 5, дает выбор (Т, L), однако назвать его равновесием Нэша нельзя. В лучшем случае равновесие Нэша приводит каждого из игроков к результату 4 единицы . [c.69]
Эта игра идентична игре на рис. 4.1 с тем отличием, что мы добавляем по третьей стратегии для каждого игрока. Несмотря на то что эта стратегия приводит к появлению еще одного равновесия Нэша, основная характеристика игры на рис. 4.1 по-прежнему имеет силу, а именно конфликт между индивидуальными стимулами игрока и стимулами игрока в группе, который является неотъемлемой чертой дилеммы узника . [c.69]
Равновесие Нэша (NE). NE при наблюдаемых ходах и близоруком поведении, или в популяции участников. NE в развернутой форме игры игра "перекресток" - борьба за лидерство. Соответствие между развернутой и нормальной формами игры. NE в примерах с непрерывной стратегией ценовое соревнование взаимозаменяемых товаров. Вложение DE в NE. [c.93]
Равновесие Нэша в смешанных стратегиях (NEm). Игра "Монетки" и NEm. Способ решения и геометрия игры функции или отображения отклика. Теорема Нэша о существовании (доказательство) и следствие существование NEm. Теорема Брауна-Джексон о сходимости NEt к NEm, как способ вычисления NEm. Седло (Sad) как пересечение NE и ММ, его существование в антагонистической матричной игре. [c.93]
Преимущество использования концепции равновесия Нэша состоит в том, что можно найти решение и в тех играх, в которых отбрасывание доминируемых стратегий не позволяет этого сделать. Однако сама концепция может показаться более спорной, поскольку опирается на сильные предположения о поведении игроков. [c.640]
Предположим, что в игре G — (I, Хг ге1, иг ге/)у любого игрока множество стратегий Хг непусто, компактно и выпукло, а функция выигрыша щ(- вогнута по хг и непрерывна. Тогда в игре G существует равновесие Нэша (в чистых стратегиях). [c.643]
Объясните, почему равновесие в доминирующих стратегиях должно быть также равновесием в смысле Нэша. Приведите пример игры, в которой существует равновесие в доминирующих стратегиях, и, кроме того, существуют равновесия Нэша, не совпадающие с равновесием в доминирующих стратегиях. [c.648]
Докажите, основываясь на результатах двух предыдущих задач, что в антагонистической игре двух лиц равновесие Нэша (в чистых стратегиях) существует тогда и только тогда, когда [c.652]
В некоторой игре двух игроков, каждый из которых имеет 2 стратегии, у каждого из игроков все выигрыши различны, и существует ровно два равновесия Нэша. Покажите, что в этой игре есть еще равновесие в невырожденных смешанных стратегиях. [c.652]
Значение х при этом будем называть исходом равновесия Нэша, реализуемым АС при данных равновесных стратегиях. Не будем различать равновесия Нэша, которые реализуют один и тот же исход и при которых выигрыши (значения целевых функций) центров и АЭ одинаковы. [c.66]
Очевидно, что ситуации (А,А) и (В,В) являются равновесными по Нэшу (в чистых стратегиях). Найдем равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях. Предположим, что в таком равновесии игрок 1 играет смешанную стратегию (р, 1 — р], а второй — (д, 1 — q), причем 0 < р, q < 1. [c.46]
Похожими рассуждениями и в силу симметрии матрицы выигрышей игрока 2 получаем аналогичное отображение лучших ответов игрока 2. На рис. 30 это ломаная д (р). Рис.30 показывает, что равновесие по Нэшу в игре "Орел или Решка" возникает, если игрок 1 разыгрывает смешанную стратегию ( , ) и игрок 2 разыгрывает такую же стратегию, что, по-видимому, было естественно ожидать в силу симметричности игры. Важно заметить, что этот пример иллюстрирует, что неслучайно, если один из игроков выбирает свои стратегии равновероятно (т. е. придерживается своей равновесной стратегии), то второму игроку при этом абсолютно безразлично как играть. Это следует из свойства, доказанного ранее (см. п. 1.7) в общем случае [c.65]
Три равновесия по Нэшу — два в чистых стратегиях и одно — в смешанных. Такая ситуация образуется, когда накладываются два "возрастающих" или два "убывающих зигзага", например, рис. 33 и рис. 46. Такого типа ситуация возникает в игре "Семейный спор" (см. рис.59). [c.76]
Чтобы показать, что это есть равновесие по Нэшу в бесконечно повторяющейся игре, предположим, что i -ый игрок использует триггерную стратегию, и покажем, что если S достаточно близко к 1, то для j-ого игрока лучшим ответом будет тоже применять такую стратегию. Так как игрок i будет играть Li всегда, как только на каком-то шаге исход отличается от ( Ri, R2), то лучшим ответом j-ого будет тоже играть LJ всегда после нарушения ( Ri, R2)- Т.е. осталось определить лучший ответ j -ого игрока на 1-ом шаге и на всех шагах таких, что все предыдущие были ( Ri, R2) Игра LJ даст 5 на этом шаге, но переключит на "некооперативное поведение" игрока i (а значит и j ) навсегда. Следовательно, на любом будущем шаге выигрыш будет 1 так как 1+ + 2+ + = 1/(1 — ), то приведенная стоимость последовательности выигрышей есть 5 + + 2 + --- = 5 + . [c.111]
Здесь одна под-игра, начинающаяся с вершины, в которой ходит игрок 1. В этой под-игре одно равновесие — (L, R ), значит единственное совершенное равновесие по Нэшу есть (Z), L, R). Эти стратегии и представления р = 1 удовлетворяют R1-R3, а требование R4 — выполнено тривиально. [c.142]
Теперь рассмотрим набор стратегий (A, L, L ) вместе с представлением р = 0. Эти стратегии определяют равновесие по Нэшу ни одному из игроков не выгодно склоняться. Для этих стратегий и указанного представления требования R1-R3 выполнены (игрок 3 имеет представления и действует при них оптимально, а 1 и 2 действуют оптимально при данных последующих стратегиях других игроков). Но это не совершенное равновесие по Нэшу, так как единственное равновесие по Нэшу [c.142]
Но есть и еще равновесия по Нэшу в чистых стратегиях, в [c.97]
Равновесие по Нэшу предполагает такую стратегию для каждого из игроков, которая максимизирует его ожидаемую ценность с учетом стратегии другого игрока. Так как любое действие игрока в рассматриваемой лотерее затрагивает перспективы получения приза и соответственно возможные реакции оппонента, то оба игрока будут принимать во внимание то, как выбор их собственной стратегии повлияет на оп- [c.685]
В той же работе Нэш доказал теорему существования ситуаций равновесия в смешанных стратегиях (задаваемых вероятностями использования первоначальных стратегий) при конечном числе игроков и конечном числе первоначальных стратегий у каждого игрока. [c.374]
Максимизация прибыли обеспечивается ценой Р2=32,5 и объемом продаж q2=22,5. Вторая фирма получает прибыль 71=506,25 - это минимальная прибыль, которую может иметь вторая фирма, ориентируясь на остаточный спрос. Тем самым мы показали, что стратегия назначать цену на уровне предельных издержек не является равновесием по Нэшу ни для одной фирмы, так как отклоняясь от этой стратегии при данной стратегии другого участника игры, фирма увеличивает свою прибыль. [c.148]
На рынке действуют два продавца с идентичными производственными функциями. Они заключают соглашение о разделе рынка. Если обе фирмы будут следовать соглашению, их прибыль будет составлять по 80 млн. руб. ежегодно. Если обе фирмы нарушат соглашение, они получает прибыль по 30 млн. руб. Если одна фирма нарушит соглашение, а вторая нет, то нарушитель получает 150 млн. руб. прибыли, а соблюдавшая соглашение сторона -10 млн. руб. Какие стратегии фирм формируют Парето-рав новее ие Что будет служить равновесием по Нэшу в неповторяющейся игре в повторяющейся игре Почему для ответа на последний вопрос важно знать значение дисконтирующего множителя вероятности повторных продаж [c.161]
Заметим, что если траектория системы, т. е. последовательность ситуаций (z1, z2, z3,. ..), сходится к некоторому равновесному состоянию z, то это будет равновесие по Нэшу. Обобщением описанной схемы выбора рациональных стратегий в повторяющихся играх является так называемая гипотеза индикаторного поведения. В случае индикаторного поведения элемент использует стратегию 5 + (4.18.5) как индикатор , показывающий направление изменения предыдущей стратегии zf, и делает шаг в этом направлении. В формальной записи [c.187]
Запись условий равновесия по Нэшу можно сократить. Действительно, в системе с встречным способом формирования данных и независимыми элементами правило выбора элементами своих состояний однозначно определено. Это — правило (5.4.6) локально-оптимального выбора. Поэтому далее, рассматривая стратегии элементов, мы часто для краткости будем говорить только о стратегиях первого хода (о множестве стратегий первого хода, определяющих решение игры, и т. д.), имея при этом в виду, что при заданных стратегиях первого хода стратегии второго хода определяются правилом локально-оптимального выбора. С учетом этого в системе с встречным способом формирования данных и независимыми элементами ситуацией равновесия по Нэшу будем называть такую ситуацию s, при которой [c.253]
В ходе изложения этого параграфа в качестве решений игры элементов принимаются ситуации, получающиеся в результате применения игроками принципа максимального гарантированного результата. Имеются следующие обоснования выбора такого решения игры элементов в ряде моделей двухуровневых организационных систем. Так, в случае линейных ограничений законы е-согласованного планирования могут быть разрывными и немонотонными функциями Si оценок элементов [31], может появляться несколько положений цели, индикаторное определение улучшающих стратегий элементов становится затруднительным, абсолютно оптимальные стратегии для элементов не существуют, т. е. принятие элементами принципов выбора рациональных стратегий, приводящих к равновесию по Нэшу, оказывается нерациональным . В качестве рационального принципа действий в этих случаях предлагается принцип максимального гарантированного результата. [c.273]
НЕКООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ [попсо-operative games] — класс игр (с числом участников не менее трех), в которых игроки принимают решения независимо друг от друга потому, что либо согласование запрещено правилами игры, либо осуществление соглашения невозможно. Одно из решений Н.и. заключается в определении точки (или точек) равновесия игры (равновесия Нэша), где ни один из игроков не имеет причин отказываться от своей стратегии независимых действий. Возможно также применение принципов максимина, макси-макса и др. [c.220]
Зельтен (Selten) Рейнхард (р. 1930), германский математик и экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике (1994). Учился на математическом факультете Франкфуртского университета, работал там же, затем в США, в Калифорнийском университете (г. Беркли). Возвратившись в Германию, был профессором Свободного Берлинского университета и университета в г. Билле-фельде. В 1984 г. перешел в Рейнский Фридриха-Вильгельма университет в г. Бонне. Вместе с проф. Харсаньи развил идеи Нэша в области теории игр расширил понятие равновесия Нэша, придав ему динамический аспект. Нобелевской премии удостоен за "пионерные работы в области теории игр, то есть в теоретическом анализе конкурентного поведения и стратегии". [c.437]
Равновесие Нэша представляет собой пару стратегий — в данном случае пару цен, при которых фирмы не могут увеличить прибыль путем одностороннего изменения цены. На рис. 7.2 оно дано точкой пересечения кривых реакции — точко й N. В сущности, в этой точке pl= p (pi) (поскольку точка находится на кривой реакции Фирмы 1) и р2 -= р (р ) (поскольку точка находится на кривой реакции Фирмы 2). Как можно видеть на рис. 7.2, точка N соответствует установлению обеими фирмами цены, равной предельным издержкам МС. [c.109]
В-третьих, причина, по которой упомянутый выше тип сговора нечасто встречается, заключается в том, что такой сговор на самом деле не приводит к равновесному состоянию. Точнее, он образует равновесие Нэша. Дело, однако, в том, что такое равновесие необоснованно и нереалистично. Допустим, нарушение монопольного соглашения, как и предполагалось выше, наказывается, что приводит к бесконечной ценовой юйне. Допустим, что одна из фирм все же идет на такое нарушение и разворачивается ценовая война. Резонно, однако, предположить, что на каком-то этапе у фирмы-нарушителя возникает стимул попытаться убедить конкурента в том, что прекращение ценовой войны и возвращение к согласованному ценообразованию выгодно для них обоих. Но если фирмы могут согласиться на это, что вполне вероятно, то угроза ценовой войны до ее начала может восприниматься не слишком серьезно. И нарушение монопольного соглашения может оказаться в конце концов выгодным, что делает сговор неравновесной стратегией. [c.136]
Все рассмотренные нами виды некооперативных равновесий в этой игре совпадают, поскольку у каждого игрока имеется стратегия строго доминирующая все другие — сознаться. Действительно, худшее, что может получить заключенный, если сознается — 7 лет, если же не сознается, то 10 лет. Поэтому "осторожным" поведением для них будет сознаться. С другой стороны, каждому из них не выгодно изменять этот выбор, поскольку при этом он ухудшил бы свое положение. Поэтому это будет и равновесием по Нэшу. Если первому из заключенных предложили сделать свой выбор первым (он находится в положении лидера), то он, зная, что реакцией второго на любой его выбор будет признание, выберет наилучшее для себя — сознается. То есть равновесие Штакельберга будет там же. Сложное равновесие совпадает с равновесием в доминирующих стратегиях. Любой некооперативный исход выглядит парадоксально- неудачным ведь если оба не сознаются, то оба получат меньшее наказание достигнув Парето-оптимумального (HI = —3,и2 = —3). Но такая неоптимальность довольно типична для всех некооперативных решений в разных играх. Если же участники способны кооперироваться и верят в выполнение соглашения партнером, то достигают ядра (—3, —3), входящего в Парето-оптимум. [c.8]
Примеры и контрпримеры ситуаций, для которых выполняются условия первой и второй теорем благосостояния. Игры, стратегии, доминирование, различные типы решений (равновесий) - Парето-оптимальные решения, равновесие в доминирующих стратегиях, максиминное, по Нэшу, и связь между ними. [c.143]
Как обычно, в качестве концепции решения мы рассматриваем совершенное в подыграх равновесие, то есть такую пару стратегий, которая порождает равновесие Нэша в каждой подыгре. Выигрыш участника определяется некоторой функцией П , которая зависит от четырех аргументов — цен и объемов, выбранных участниками в ходе игры. Мы не будем приводить функцию П,)(р1, р2, уь у2) в явном виде ее несложно построить по описанию модели. [c.565]
В данной игре есть единственное равновесие Нэша. В нем 2-й игрок выбирает IBM. Таким образом, чтобы равновесие Нэша в исходной игре было совершенным, требуется, чтобы оно предписывало в вершине выбор IBM. Набор стратегий О Мае и ( Ma , Ma ) не удовлетворяет этому требованию, поэтому он не может быть совершенным в подыграх равновесием. [c.661]
Во второй собственной подыгре, которая начинается в вершине , в равновесии Нэша 2-й игрок выбирает Макинтош. Поэтому набор стратегий О IBM и ( IBM, IBM) не является совершенным в подыграх равновесием. [c.661]
В игре второго этапа существуют три равновесия Нэша в смешанных стратегиях (см. Рис. 170). Два из этих равновесий — равновесия в вырожденных смешанных стратегиях. Есть также равновесие в невырожденных смешанных стратегиях и,2 = 1/2 и v2= 1/2. Ожидаемые выигрыши вкладчиков составят при этом по 3/2. Структура равновесий в ре- Рисунок 171 дуцированной игре 1-го этапа зависит от того, какое из [c.670]
Проводится характеризация получающихся равновесий Нэша. Показывается, что вместо сложной стратегии — функции стимулирования в зависимости от каждого из реализуемых действий каждый из центров может использовать простую стратегию — перечислить несколько действия и выплаты при их реализации. [c.13]
В настоящем приложении приводится обзор результатов исследования АС, состоящих из нескольких центров. При этом центры пытаются влиять на решения одного агента. Разумеется, что центрам наиболее выгодно действовать согласованно, преследуя общие интересы (максимизируя совместную прибыль), и затем в процессе торговли разделить совместный доход друг с другом в соответствии с согласованной формулой. Однако если центры не могут сделать этого (например, по причине совместной неинформированности или как по причине невозможности соблюдения взаимных обязательств), то они должны действовать независимо. Таким образом возникает некооперативная игра между центрами, и необходимо анализировать получающиеся совершенные к подыграм равновесия Нэша, когда каждый рассматривает самый выгодный с его точки зрения ответ на стратегии других центров. [c.114]
Результат, при котором Джек и Джилл производят по 40 галлонов воды, вы-тядит как некоторого вида равновесие. Он получил название равновесие Нэша по имени экономиста, специалиста в теории игр Джона Нэша). Равновесие Нэша — ситуация, когда каждый субъект экономики во взаимодействии с осталь--ыми участниками выбирает оптимальный вариант стратегии, при условии, что стальные придерживаются определенной стратегии. В этом случае, при условии, -то Джилл производит 40 галлонов воды, лучшая стратегия для Джека — предложение 40 галлонов. Точно так же при условии, что Джек производит 40 галлонов оды, лучшая стратегия Джилл — объем выпуска, равный опять-таки 40 галлонам. Как только они достигают равновесия Нэша, ни Джек, ни Джилл не имеют стиму- эв к иным решениям. [c.353]
В 1944 году вышла в свет основополагающая монография Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна "Теория игр и экономическое поведение" (von Neu-mann/Morgenstern, 1944), которая, по существу, заложила фундамент общей теории игр и обосновала возможность анализа огромного массива экономических вопросов с помощью теоретико-игровых моделей. А в 1950 г. Джон Нэш (будущий Нобелевский лауреат по экономике 1994 г.) ввел понятие ситуации равновесия, названной впоследствии его именем, как метода решений бескоалиционных игр (т. е. игр, в которых не допускается возможность создания коалиций). Ситуация, образующаяся в результате выбора всеми игроками некоторых своих стратегий, называется равновесной, если ни одному из игроков невыгодно изменять свою стратегию при условии, что остальные игроки придерживаются равновесных стратегий. Именно равновесие по Нэшу и его модификации признаются наиболее подходящими концепциями решения для таких игр. [c.10]
В "координационной игре" с одновременными ходами между 1 и 3 игроками три равновесия по Нэшу два в чистых стратегиях, приводящих к выигрышам (7,10,7) и равновесие в смешанных стратегиях, дающее выигрыши (3.5, 5, 3.5). Если мы выбираем равновесие, в котором игроки 1 и 3 успешно координируются, то игрок 2 играет L, а игрок 1 - R, ожидая выигрыш 7. Если же мы выбираем неэффективное равновесие в смешанных стратегиях, то игрок 2 сыграет R, а 1 - снова L, ожидая выигрыш 8. Поэтому во всех СПРН игрок 1 играет R. [c.100]
Существенным толчком к исследованию таких процессов послужила биология. Мейнард Смит и Прайс (Maynard Smith, Pri e (1973)) ввели понятие эволюционно устойчивой стратегии и пришли к выводу о том, что наблюдаемые черты поведения животных и растений можно объяснить с помощью равновесия по Нэшу в соответствующим образом определенной игре. Идея состоит в том, что комбинация естественного отбора и мутации приводит популяцию к эволюционно устойчивому состоянию в длительном периоде. Эта точка зрения была подтверждена многочисленными полевыми исследованиями. Здесь "как если бы" — это вполне реальное описание действительности. Вдохновленные успехом биологии, многие экономисты включились в активные исследования эволюционной теории игр. Почему же эволюционная теория привлекает такое внимание [c.175]
Нэш (Nash) Джон Кристофер (р. 1928), американский математик, лауреат Нобелевской премии по экономике (1994). Образование получил в Принстонском университете. Работал научным сотрудником, профессором Школы математики при том же университете. Один из основоположников теории игр, автор т.н. "равновесия по Нэшу", имеет также работы в области эволюции видов в естествознании. Нобелевской премии удостоен вместе с Р. Зельтеном и Дж. Харсаньи за "пионерные работы в области теории игр, то есть в теоретическом анализе конкурентного поведения и стратегии". [c.446]
Игровой анализ соревновательных систем сложен по следующим причинам. Ситуации равновесия по Нэшу в данном случае не существует, что легко показать. Гарантирующей стратегией каждого элемента является у = О (не участвовать в соревновании), что не соответствует эффекту движения вперед , наблюдаемому в реальных системах, и, следовательно, не может считаться достаточно приемлемым определением решения игры. Мы рассмотрим некоторый вариант П-решения, который представляется достаточно разумным для исследования соревновательных систем. Сначала попытаемся определить равновесное в некотором разумном смысле состояние системы, а затем покажем, что полученное состояние является П-равновес-ным. Примем, что а > an i >...>%. Очевидно, в этом случае элемент с меньшим номером находится в лучших условиях, и разумно предположить, что в равновесном решении игры он будет занимать лучшее место. Поэтому элемент с номером п займет последнее место, и ему целесообразно не увеличивать показатель эффективности уп = 0. [c.357]