Преобразование Юнга - Фенхеля

из "Вариационные принципы механики сплошной среды "

Равенство (3.26) имеет простой геометрический смысл. Построим в Rn+i график функции f(x) у =f(x) и график линейной функции у = х х (рис. 14). Величина —/ ( ) есть минимальное расстояние между ними по вертикали. [c.96]
Символический график функции / представлен на рис. 16. [c.97]
Преобразование Юнга —Фенхеля обладает рядом замечательных свойств. [c.97]
Неравенство (3.28) означает, что функция /(tJ, 5) при каждом фиксированном значении S есть выпуклая функция удельного объема tJ. [c.98]
Согласно неравенству (3.29) функция pU(p, S) при каждом фиксированном S выпукла по р. [c.98]
Поэтому F(tJ, 7 ) - вогнутая ) функция температуры. Отметим, что при рассмотрении приращения AF, вызванного малыми приращениями аргументов, коэффициент в квадратичном члене по приращению температуры в AF, в силу вогнутости F, будет отрицательным. [c.99]
Эта функция выпукла по tJ н ее график в окрестности каждой точки устроен как седло. [c.99]
Это неравенство следует непосредственно из определения (3.25). Его называют неравенством Юнга - Фенхеля. [c.100]
Неравенство (3.35) противоречит неравенству Юнга- Фенхеля для функций / и / . [c.101]
Покажем, что f(x0)=f(x0). Допустим противное 7( о) Я о). [c.102]
Аналогично доказывается, что график функции f(x) не может лежать ниже прямой у = х (х1 - х 0 ) + Дх0 ). [c.102]
Применяя к этому равенству преобразование Юнга -Фенхеля, получим / =/=/ , что и требовалось. [c.102]
Пример 9. Рассмотрим смесь, состоящую из жидкости и пузырьков пара. Жидкость и пар характеризуются свободной энергией F( , Т), невыпуклой по д, или соответствующей функцией р(0. Т), вид которой при фиксированием Т показан на рис. 22. [c.102]
Покажем, что правило Максвелла соответствует следующему утверждению свободная энергия смеси равна F (tf, Т). [c.103]

Вернуться к основной статье