Функция / (х ) называется преобразованием Юнга-Фенхеля функции /(х). Определение (3.25) можно переписать также в виде [c.96]
Пример 6. Рассмотрим преобразование Юнга-Фенхеля функции f(x)= x. Вычислим inf( x - х х). Из рис. 15 видно, что inf( x - х х) = 0 при -1 < х < 1 и достигается при х = 0. При х = 1 inf ( х - х х) = 0 н достигается соответственно на положительной и отрицательной полуосях х. При х < -I их > +1 функция х - х х стремится к - о соответственно при х- - и х-> + °°. Итак, (О, х К 1, [c.97]
Пример 7. Аналогично вычисляется преобразование Юнга - Фенхеля однородной [c.97]
Преобразование Юнга —Фенхеля обладает рядом замечательных свойств. [c.97]
Для любой функции f(x) ее преобразование Юнга — Фенхеля есть выпуклая функция. [c.97]
Обозначим преобразование Юнга -Фенхеля функции U(d, 5) по S через t/ (tJ, 5 ), по tJ через U (tJ, S), по йи 5 через (/ ( , 5 ). Свободная энергия отличается знаком от преобразования Юнга -Фенхеля U no S [c.99]
Продолжим рассмотрение свойств преобразования Юнга — Фенхеля. 2. Для любой функции /( ) и любых х их имеет место неравенство [c.100]
Обозначим через / (х) преобразование Юнга -Фенхеля функции [c.100]
Применяя к этому равенству преобразование Юнга -Фенхеля, получим / =/=/ , что и требовалось. [c.102]
Преобразование Юнга — Фенхеля позволяет представить выпуклую функцию /( ) в виде [c.103]
Пусть функция /зависит от переменных у = (у , . . . , ут) как от параметров f=f(x, у). Тогда ее преобразование Юнга — Фенхеля/ по х также будет зависеть от параметров у / = / ( , у). Что можно сказать о зависимости / от yl Справедливо следующее утверждение. [c.104]
Если функция f = f(x, у) линейно зависит от у, то преобразование Юнга — Фенхеля этой функции по х является выпуклой функцией у. [c.104]
Из этого почти очевидного свойства преобразования Юнга — Фенхеля вытекают нетривиальные следствия. [c.104]
Покажем, как при помощи преобразования Юнга -Фенхеля строятся двойственные вариационные задачи. [c.104]
Построим двойственную вариационную задачу. Представим А(х , ик, uf) при помощи преобразования Юнга- Фенхеля в виде (р = рк, р к ) [c.110]
Здесь А (х, рк, рк ) — преобразование Юнга— Фенхеля функции А(х , ик, uf) по переменным ик, и". [c.110]
Переставим порядок вычисления нижней и верхней граней. Нахождение минимума по и/ сводится к вычислению преобразования Юнга— Фенхеля функции Л по Uj. Поэтому [c.127]
Дополнительная энергия. Рассмотрим преобразование Юнга—Фенхеля функции /(е,у) по е(/ [c.151]
Напомним, что У(оай) -преобразование Юнга -Фенхеля U( x ah) no x ab. [c.175]
Построение функционала / связано с вычислением преобразования Юнга-Фенхеля функции U. [c.177]
Преобразование Юнга - Фенхеля упругой энергии. Обозначим через ). функцию [c.177]
О характере огрубления, происходящем при переходе к двойственной задаче, позволяет судить функция U (x a) — преобразования Юнга — Фенхеля функции Lf (pj). По свойству преобразований Юнга -Фенхеля / < U, и если U незначительно отличается от U, то можно ожидать, что решение двойственной задачи в энергетической но рме незначительно отличается от решения исходной задачи. Вычисления, которые мы не приводим, в плоской задаче дают (ji, у3 — собственные значения тензора уаь в плоском случае) [c.180]
Поэтому (р ) есть преобразование Юнга — Фенхеля функции pU(p). Очевидно, что 5й (р ) = О при р < 0. [c.210]
Построим двойственный вариационный принцип. Обозначая через т двойственные переменные (компоненты тензора вязких напряжений), через D (j4) — преобразование Юнга— Фенхеля функции D(e j) в пространстве девиаторов тензора скоростей деформаций [c.240]
Также, как и для периодических структур, вариационную задачу (9.35) можно переписать в терминах преобразования Юнга — Фенхеля Л ( VK, р [c.379]
Покажем, что в этом случае вычисление осредненного лагранжиана сводится к алгебраической задаче вычисления преобразования Юнга — Фенхеля и интегрированию. [c.380]
Для вычисления Л надо найти преобразование Юнга — Фенхеля [c.381]
Вычисляя преобразование Юнга - Фенхеля функции Л (и, р) по р, находим осредненный лагранжиан Л [c.382]
Построим двойственную вариационную задачу. Обозначим через Л<ь преобразование Юнга — Фенхеля лагранжиана Л по переменным MKV [c.384]
Таким образом, для строго выпуклых дифференцируемых функций преобразование фнга - Фенхеля совпадает с преобразованием Лежандра. Однако преобразование Юнга-Фенхеля определено и для функций, для которых преобразование Лежандра может не иметь смысла. [c.97]
Если / ( ) невыпукла, то при помощи преобразования Юнга-Фенхеля строится наилучшая оценка Дх) снизу выпуклой функцией [c.103]
Оценки снизу нижней грани иевыпуклых функционалов при помощи двойственной задачи. Рассмотрим задачу о.минимуме интегрального функционала /(и) = Е(и) —L(u) вида (3.61) на множестве функций (3.62). Пусть Л(х, ик, Uj ) — невыпуклая функция ик и u t. Вычислим Л (х, ик, и ) — дважды взятое преобразование Юнга—Фенхеля функции Л(х, ик, tiff) по переменным ик, li". Согласно (3.32) [c.114]
Покажем теперь, как можно вывести Принцип Кастильяно из двойственного вариационного принципа для интегрального функционала общего вида (2.3.61). Из общей теории следует, что двойственный функционал имеет вид (1.19), однако под V в (1.19) понимается не функция (1.17), а преобразование Юнга— Фенхеля f/no градиентам перемещений [c.152]
Поэтому мы попытаемся построить преобразование Лежандра функции U(xa) -функцию Ux (р ), может быть, неоднозначную, но такую, что функция pfxla - U (pf) в своих стационарных по pf точках совпадает с функцией U(x a ). При этом внутреннюю энергию U будем предполагать выпуклой функцией от х аЬ. Преобразование Юнга - Фенхеля внутренней энергии по х аь обозначим через V(aau) [c.169]
Полулинейный материал. Найдем преобразование Юнга — Фенхеля функции /для полулинейного изотропного материала. ПриХ = 0 ) в главной системе координат тензора а"ь [c.179]
Функция 5й (р ) является выпуклой функцией р как преобразование Юнга— Фенхеля выпуклой функции pU(p). Этого нельзя сказать о зависимости 5й oiVi = dif/dx1. Действительно, вычислим вторые производные S5 по (fj [c.235]
Двойственную вариационную задачу можно переписать также в другой весьма изящной форме, если евести в рассмотрение функцию Л (и , р ) — преобразование Юнга - Фенхеля функции Л (и", vKf) no vk/ [c.374]
Для построения функции Л1 — I остается вычислить преобразование Юнга - Фенхеля функции (10.6). Однако найти его явно, вообще говоря, невозможно. В связи с этим мы ограничимся только построением асимптотик Лпри dv/dx - 0 и dv/dx - °°. При dv/dx - 0 также р -+ 0. Поскольку числа / i,..., / расположены в порядке убывания.главным при р- 0 в (10.6) является последнее слагаемое. Вычисляя его преобразование Юнга - Фенхеля, находим [c.382]
Таким образом, как и в случае одномерных структур, вычисление осред-неннрго лагранжиана сводится к интегрированию и вычислению преобразования Юнга - Фенхеля. [c.385]
Обозначим через U преобразование Юнга - Фенхеля U по еа3 ие33> через U — преобразование Юнга -Фенхеля /поёа3,ё33 [c.385]
Здесь ра3, р33 - постоянные. После выполнения интегрирования в (10.16) макроэнергия восстанавливается преобразованием Юнга - Фенхеля [c.386]
Итак, вычисление макроэнергии сводится к интегрированию и вычислению преобразования Юнга - Фенхеля. [c.386]
Плотность энергии U несжимаемой среды можно рассматривать как функцию от девиатора деформаций е . Обозначем через U преобразование Юнга — Фенхеля /по 6 [c.393]
Смотреть страницы где упоминается термин Преобразование Юнга - Фенхеля
: [c.113] [c.152] [c.169] [c.177] [c.374] [c.381]Смотреть главы в:
Вариационные принципы механики сплошной среды -> Преобразование Юнга - Фенхеля