Термин существенность можно понимать в различных смыслах. Мы будем придерживаться по-прежнему вариационного принципа в определении существенности. То есть если нам известно, что параметр х есть причина, а у — следствие, то y=f(x), где f(x)—уравнение регрессии и х есть существенный фактор у, если связь между х и у, оцененная с помощью какого-либо статистического критерия, существенно отличается от нуля. [c.173]
Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. - М. Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. - 448 с. [c.2]
В книге систематически изложены вариационные принципы механики жидкости и газа и механики твердого деформируемого тела. Описаны прямые качественные методы вариационного исчисления (теория двойственности вариационных задач, двусторонние оценки, исследование функционалов, зависящих от малого параметра). [c.2]
Все обратимые физические явления удается описать вариационными принципами - утверждениями о том, что в реально осуществляющихся процессах некоторые функционалы имеют стационарное значение. [c.7]
Вариационные принципы диктуют специальную структуру уравнений физики и механики. Основная особенность этой структуры — взаимность физических эффектов действие одного поля на другое порождает обратное и, в некотором смысле, симметричное воздействие. Если перекрестные взаимодействия отсутствуют или являются достаточно простыми, то при построении уравнений можно обойтись без вариационного подхода. Однако при нетривиальных взаимодействиях, которые имеют место, например, для взаимопроникающих сред типа дисперсных смесей, или при нетривиальном самодействий, например, за счет присутствия высших производных в функционале или наличия ограничений кинематического характера, вариационный подход становится единственным способом построения физически разумных уравнений. [c.7]
Формулировке вариационных принципов механики предпослан минимум сведений по прямым методам вариационного исчисления (гл. II), необходимый для сознательного применения вариационного подхода. Основное внимание при этом уделено методу исследования функционалов, зависящих от малого параметра, и теории двойственности, систематически используемым на протяжении всей книги. [c.7]
Вариационные принципы. История механики и физики - это история попыток объяснить происходящее в окружающем мире при. помощи небольшого числа универсальных законов и общих принципов. Наиболее удачные и плодотворные попытки связаны с идеей о том, что явления, которые мы наблюдаем, обладают некоторыми экстремальными свойствами и искомые общие принципы имеют вариационный характер, т.е. утверждают, что в реально осуществляющихся процессах некоторые величины достигают своего максимального или минимального значения. [c.16]
Первую отчетливую формулировку вариационного принципа применительно к физической проблеме удалось дать в 1662 г. французскому математику Пьеру Ферма. Ферма исследовал закон преломления света на границе двух сред с различными оптическими свойствами. До Ферма закон преломления света был рассмотрен Декартом. Декарт в своих рассуждениях использовал предположение, что в более плотной среде свет распространяется с большей скоростью 2). Это предположение показалось Ферма неправдоподобным, и он решил пересмотреть вывод Декарта. В основу своих рассуждений Ферма положил постулат "Природа действует наиболее легкими и доступными путями". Исходя из этого, он принял, что свет, распространяясь из точки А в точку В (рис. 4) выберет такой путь, чтобы время прохождения его оказалось минимальным. Легко проверить, что из принципа Ферма получается правильный закон преломления света (а и а2, GI и с2 — углы между лучом и нормалью и значения скорости света сверху и снизу от поверхности раздела) [c.16]
Принцип Ферма дает простейший пример вариационного принципа из различных допустимых путей, соединяющих точки А и В, реализуется тот, который доставляет минимум некоторой величине ( в данном случае времени). [c.17]
Успешное применение вариационного принципа в оптике поставило вопрос о поисках аналогий в механике. [c.17]
Вариационные уравнения и вариационные принципы. В некоторых случаях вариационное уравнение сводится к равенству вида б (Г) = 0 и означает, что действие / имеет стационарное значение на действительном процессе. [c.33]
Специальная структура уравнений, описывающих необратимые процессы, прослеживается и на некоторых рассматриваемых ниже примерах нелокальных во времени взаимодействий (см. 10 гл. III) определенное значение имеет утверждение о вариационной структуре уравнений для вероятностных характеристик случайных полей, поведение которых описывается вариационными принципами (см. 6 гл. II), однако разумные и универсальные обобщения вариационных принципов на необратимые процессы пока неизвестны. [c.34]
ДВОЙСТВЕННЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ [c.90]
В перечисленных в начале параграфа вариационных принципах последнее условие выполняется за счет того, что функционал Ф(м, у) берется линейным по v. [c.91]
Различные формы двойственного вариационного принципа (3.73) будут проиллюстрированы дальше для ряда моделей сплошных сред. [c.113]
Равенства (6.6) — (6.8) представляют вариационные принципы, позволяющие, в частности, строить вилки для моментов случайной величины. / . [c.144]
Вариационный принцип (6.6) можно использовать при построении уравнений для вероятностных характеристик искомого поля и(х, со). Пусть, например, требуется получить уравнения для математического ожидания и(х ), дисперсии а(х) и корреляционной функции Ь(х, у) поля и(х, со). Применим принцип сечений (см. 4) и будем искать минимум в (6.6) при дополнительных ограничениях (6. 2) -(6. 4). Соответствующее минимальное значение G является функционалом от v(x), а(х), Ь(х, у). Истинные значе- [c.144]
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [c.146]
Функционал энергии. Начнем с рассмотрения вариационных принципов геометрически линейной статики упругого тела к ним в наиболее полной мере применимы методы, изложенные в гл. II. [c.146]
Утверждение о стационарности функционала I(p, w) называют смешанным вариационным принципом (в напряжениях и перемещениях) или [c.151]
План изложения следующий. Даются вариационные формулировки начал термодинамики. Из них систематически выводятся вариационные принципы классической механики сплошной среды. Излагаются качественные методы вариационного исчисления. Качественные методы иллюстрируются, помимо ряда задач, на проблеме осреднения периодически и случайно микронёоднородных континуумов, проблеме построения теории оболочек и стержней, теории мелкой воды. Вариационный метод построения моделей сплошных сред разобран на моделях дисперсных смесей и зернистых сред. [c.7]
Первая формулировка вариационного принципа в механике была дана в 1744 г. Пьером Мопертюи. Согласно принципу Мопертюи в истинном движении произведение его массы на скорость и на путь минимально. Эту величину [c.18]
Вариационные принципы Мопертюи, Лаграижа, Гамильтона, Остроградского, Якоби, Пуанкаре. Завершил разработку принципа наименьшего действия Лагранж. В окончательном виде этот принцип формируется следующим образом. [c.18]
Обзор по "догиббсовскому периоду истории создания вариационных принципов механики, разумеется, не претендует на полноту. В частности, ие упомянуты принципы Гаусса и Герца, результаты по механике неголономных систем. Были отмечены только те моменты, которые связаны с дальнейшим изложением. [c.25]
В 1875 г. появилась основополагающая работа Гиббса "Термодинамика гетерогенных систем", в которой теория термодинамического равновесия была построена, по существу, в современном виде, исходя из двух (эквивалентных) вариационных принципов. [c.26]
Гиббс рассматривал эти принципы как основные исходные утверждения равновесной термодинамики. Впоследствии мало кто придерживался точки зрения Гиббса вариационные принципы Гиббса обычно приводились в курсах термодинамики как некоторые интересные экстремальные свойства термодинамически равновесных состояний. И лишь в последнее время, в особенности в связи с тем, что всю статистическую теорию термодинамического равновесия удалось изложить, исходя из первого. принципа Гиббса, принципы Гиббса становятся общепризнанной основой теории термодинамического равновесия. [c.26]
Принципы Гиббса существенно отличаются от вариационных принципов аналитической механики. В механике варьируется только положение частиц. В принципах Гиббса варьированию подвергаются, по существу, все параметры, которые могут изменяться в исследуемых процессах. Например, если рассматривается равновесие двух веществ, на поверхности раздела которых может происходить превращение одного вещества в другое (фазовый переход), то варьированию подвергаются также поверхность раздела и массы этих веществ. Пример использования принципов Гиббса для вывода условий равновесия двух упругих фаз будет приведен в 2 гл. III. [c.28]
Перейдем к рассмотрению вопроса о физическом смысле вариационных принципов. Оказывается, что в основе вариационного подхода лежит некоторое вариационное уравнение, связанное с вариационной формулировкой первого и второго начал термодинамики. В обсуждавшихся случаях это вариационное уравнение эквивалентно вариационным принципам. В общем случае вариационное уравнение неголономно и не сводится к условию стационарности какого-либо функционала. Приступим к изложению соответствующего круга вопросов. [c.28]
Вариационные принципы справедливы, как уже отмечалось, для всех фундаментальных физических полей, а также для макроявлений, которые можно считать обратимыми. Последнее, по-видимому, связано с тем, что ос-редненное описание процессов, в которых отсутствует "необратимая сто-хастичность", можно дать при помощи непосредственного осреднения микроскопического действия. [c.33]
Схема построения двойственных вариационных задач. Давно было замечено, что одна и та же система уравнений может быть системой уравнений Эйлера для разных функционалов. Например, уравнения аналитической механики систем с конечным числом степеней свободы могут быть получены из двух различных вариационных принципов принципа Гамиль-тона-Остроградского и принципа Гамильтона-Пуанкаре. В других разделах механики также предлагались различные вариационные принципы для одних и тех же систем уравнений принцип Дирихле и принцип Томсона в механике идеальной несжимаемой жидкости и в электростатике, принцип Лагранжа, принцип Кастильяно и принцип Рейсснера в теории упругости, принцип максимума Понтрягина в вариационных задачах с ограничениями и т.п. На протяжении последних двух десятилетий было осознано, что в основе построения всех таких принципов лежит одна простая общая идея -идея двойственности. Ее изложению посвящен настоящий параграф. [c.90]
Замечательно, что двойственный вариационный принцип (3.6) позволяет легко строить оценки / снизу. Напомним, что построение оценок/ сверху тривиально —.достаточно вычислять значения функционала 1(и) на элементах множества Л,. Тогда из определения нижней грани следует, что [c.92]
Величина — mf-E(u) имеет смысл электростатической емкости поверхности -П. Сформулированный вариационный принцип для электростатической емкости называют принципом Дирихле. Минимизирующая функция и(х) удовлетворяет в области V уравнению Лапласа [c.108]
Построим вариационный принцип, двойственный к принципу Дирихле. Представляя подынтегральное количество в функционале Дирихле в виде [c.108]
В механике сплошной среды было изобретено много разнообразных, да первый взгляд не связанных друг с другом вариационных принципов. Ниже сделана попытка дать их систематическое изложение, указать имеющиеся взаимозависимости и заполнить некоторые пробелы. За основу выбрано вариационное уравнение для всего объема сплошной среды. Устанавливаются случаи голономности вариационного уравнения. Каждому из них соответствует свой вариационный принцип. Вариационные принципы могут иметь несколько эквивалентных форм в зависимости от того, какие функции выбираются в качестве искомых. Исходная формулировка вариационных принципов, непосредственно следующих из вариационного уравнения, связана с варьированием закона движения частиц х (%", t) при неизменных сопутствующих координатах. Такая формулировка обьино удобна в задачах механики твердого деформируемого тела. Задачи гидромеханики, как правило, предпочтительнее ставить и "исследовать в эйлеровых координатах. Поэтому в гидромеханике для практических приложений основное значение имеют вариационные принципы, в которых в качестве искомых берутся функции от эйлеровых координат. Такие вариационные принципы выведены из исходных формулировок "в лагранжевых координатах" в результате замены искомых функций и соответствующего пересчета функционала действия. Дальнейшие преобразования основаны на идее двойственности. Части этой главы, относящиеся к механике твердого деформируемого тела и к механике жидкости, можно читать независимо. [c.146]
Вариационный принцип Рейсснера. Представим плотность упругой энергии в виде [c.151]
Смотреть страницы где упоминается термин Вариационные принципы
: [c.34] [c.74] [c.110] [c.144]Смотреть главы в:
Вариационные принципы механики сплошной среды -> Вариационные принципы