Термин существенность можно понимать в различных смыслах. Мы будем придерживаться по-прежнему вариационного принципа в определении существенности. То есть если нам известно, что параметр х есть причина, а у — следствие, то y=f(x), где f(x)—уравнение регрессии и х есть существенный фактор у, если связь между х и у, оцененная с помощью какого-либо статистического критерия, существенно отличается от нуля. [c.173]
Изложение теории (в частности, доказательство принципа максимума) дается в редакции, отличающейся от общепринятой, но более подходящей для основного содержания книги. Большое внимание уделяется технике вычисления функциональных производных при различных способах определения функционалов. Эта техника сама по себе очень важна, особенно при численном решении задач. Кроме того, читатель, владеющий этой техникой, может, так сказать, сэкономить на теории. В современной литературе появилось много публикаций, где формулируется новый тип вариационной задачи и доказывается соответствующий вариант принципа максимума. В настоящей книге автор придерживается следующей точки зрения подобные исследования отличаются друг от друга в основном лишь формой уравнения, связывающего управление и состояние объекта, и формой определения функционалов. Следствием этого является и различие в необходимых для нахождения функциональных производных вычислениях. Поэтому эту техническую часть следует выделить и изучить отдельно. Все остальное формально укладывается в некоторую общую схему (см. 1). [c.13]
Вариационные принципы диктуют специальную структуру уравнений физики и механики. Основная особенность этой структуры — взаимность физических эффектов действие одного поля на другое порождает обратное и, в некотором смысле, симметричное воздействие. Если перекрестные взаимодействия отсутствуют или являются достаточно простыми, то при построении уравнений можно обойтись без вариационного подхода. Однако при нетривиальных взаимодействиях, которые имеют место, например, для взаимопроникающих сред типа дисперсных смесей, или при нетривиальном самодействий, например, за счет присутствия высших производных в функционале или наличия ограничений кинематического характера, вариационный подход становится единственным способом построения физически разумных уравнений. [c.7]
Специальная структура уравнений, описывающих необратимые процессы, прослеживается и на некоторых рассматриваемых ниже примерах нелокальных во времени взаимодействий (см. 10 гл. III) определенное значение имеет утверждение о вариационной структуре уравнений для вероятностных характеристик случайных полей, поведение которых описывается вариационными принципами (см. 6 гл. II), однако разумные и универсальные обобщения вариационных принципов на необратимые процессы пока неизвестны. [c.34]
Вариационный принцип (6.6) можно использовать при построении уравнений для вероятностных характеристик искомого поля и(х, со). Пусть, например, требуется получить уравнения для математического ожидания и(х ), дисперсии а(х) и корреляционной функции Ь(х, у) поля и(х, со). Применим принцип сечений (см. 4) и будем искать минимум в (6.6) при дополнительных ограничениях (6. 2) -(6. 4). Соответствующее минимальное значение G является функционалом от v(x), а(х), Ь(х, у). Истинные значе- [c.144]
Общая структура решений уравнений импульсов. Прежде чем переходить к изложению вариационных принципов, в которых подвергаются варьированию плотность и скорость, опишем структуру решений уравнений импульсов идеальной сжимаемой жидкости [c.201]
Варьирование плотности и скорости. В задачах гидромеханики замкнутая система уравнений составляется относительно плотности и скорости. Поэтому вариационные принципы, в которых за основные искомые функции принимаются плотность и скорость, особенно полезны для приложений. [c.204]
Первый смешанный вариационный принцип Бейт-мена. Стационарные точки функционала (5.48) на множестве функций р(х, t), u (x, t), (х, t). a(x, t), j (x, А), удовлетворяющих ограничениям (5.38) и (5.43), являются решениями уравнения неразрывности и уравнений импульсов, для которых справедливо условие безотрывное обтекания (5. 39). [c.209]
Принцип Кельвина получается из вариационного принципа для функционала (5.44), если заметить, что, в силу произвольности Э/J, при t = t0 или t = t дополнительно к уравнению (5.46) получится а = 0 при / = t0 или t = t . Поэтому а = 0, и экстремали соответствуют потенциальным течениям. [c.211]
Вариационные принципы для уравнений (11.17), (11.18) и (11.21), (11.22) очевидным образом распространяются на задачи Коши для линейных параболических и гиперболических систем уравнений. [c.259]
Давыдов Б. Вариационный принцип и канонические уравнения для идеальной жидкости. - ДАН СССР, 1949, т. 69, № I, с. 165 - 168. [c.435]
Так как /(е,/) не зависит от антисимметричной части градиента перемещений и> ,/-], то при p l/J =Q U =+< , и, следовательно, если в некоторой подобласти области Vс ненулевой мерой р 7 ФО, то двойственный функционал обращается в — °°. Таким образом, все несимметричные тензоры напряжений следует исключить из числа допустимых. При р 7 = 0 функция U совпадает с функцией (1.16), и вариационный принцип эквивалентен общему двойственному вариационному принципу, построенному в 3 гл. II. Принцип Кастильяно в функциях напряжений. Нетрудно написать общее решение уравнений равновесия (1.20). Для простоты ограничимся случаем нулевых внешних объемных сил и односвязной областью V. Покажем, что общее решение дается формулой [c.153]
Перейдем к рассмотрению вопроса о физическом смысле вариационных принципов. Оказывается, что в основе вариационного подхода лежит некоторое вариационное уравнение, связанное с вариационной формулировкой первого и второго начал термодинамики. В обсуждавшихся случаях это вариационное уравнение эквивалентно вариационным принципам. В общем случае вариационное уравнение неголономно и не сводится к условию стационарности какого-либо функционала. Приступим к изложению соответствующего круга вопросов. [c.28]
Принцип возможных перемещений. Исторически первым вариационным уравнением было "золотое правило" механики — принцип возможных перемещений. Его формулировка для рычага содержалась еще в "Физике" Аристотеля (IVв. до н.э.). Дальнейшие существенные этапы связаны с именами Стевина и Галилея. В практически современном виде принцип возможных перемещений сформулировал Иоган Бернулли. [c.28]
Принцип Даламбера и уравнение энергии для возможных перемещений. В задачах динамики вариационное уравнение (2.20) остается справедливым, если к силам F ) добавить силы инерции - m s) а ) (wi(j) и а ) -масса и ускорение s-й частицы) [c.29]
Л.И. Седовым была высказана мысль, что вариационное уравнение механики есть уравнение энергии, записанное для возможных перемещений. Покажем, как придать принципу Даламбера форму уравнения энергии. [c.29]
Схема построения двойственных вариационных задач. Давно было замечено, что одна и та же система уравнений может быть системой уравнений Эйлера для разных функционалов. Например, уравнения аналитической механики систем с конечным числом степеней свободы могут быть получены из двух различных вариационных принципов принципа Гамиль-тона-Остроградского и принципа Гамильтона-Пуанкаре. В других разделах механики также предлагались различные вариационные принципы для одних и тех же систем уравнений принцип Дирихле и принцип Томсона в механике идеальной несжимаемой жидкости и в электростатике, принцип Лагранжа, принцип Кастильяно и принцип Рейсснера в теории упругости, принцип максимума Понтрягина в вариационных задачах с ограничениями и т.п. На протяжении последних двух десятилетий было осознано, что в основе построения всех таких принципов лежит одна простая общая идея -идея двойственности. Ее изложению посвящен настоящий параграф. [c.90]
Величина — mf-E(u) имеет смысл электростатической емкости поверхности -П. Сформулированный вариационный принцип для электростатической емкости называют принципом Дирихле. Минимизирующая функция и(х) удовлетворяет в области V уравнению Лапласа [c.108]
В механике сплошной среды было изобретено много разнообразных, да первый взгляд не связанных друг с другом вариационных принципов. Ниже сделана попытка дать их систематическое изложение, указать имеющиеся взаимозависимости и заполнить некоторые пробелы. За основу выбрано вариационное уравнение для всего объема сплошной среды. Устанавливаются случаи голономности вариационного уравнения. Каждому из них соответствует свой вариационный принцип. Вариационные принципы могут иметь несколько эквивалентных форм в зависимости от того, какие функции выбираются в качестве искомых. Исходная формулировка вариационных принципов, непосредственно следующих из вариационного уравнения, связана с варьированием закона движения частиц х (%", t) при неизменных сопутствующих координатах. Такая формулировка обьино удобна в задачах механики твердого деформируемого тела. Задачи гидромеханики, как правило, предпочтительнее ставить и "исследовать в эйлеровых координатах. Поэтому в гидромеханике для практических приложений основное значение имеют вариационные принципы, в которых в качестве искомых берутся функции от эйлеровых координат. Такие вариационные принципы выведены из исходных формулировок "в лагранжевых координатах" в результате замены искомых функций и соответствующего пересчета функционала действия. Дальнейшие преобразования основаны на идее двойственности. Части этой главы, относящиеся к механике твердого деформируемого тела и к механике жидкости, можно читать независимо. [c.146]
Принцип Лагранжа. Дальше будем считать, что внешние силы являются "мертвыми". Тогда вариационное уравнение (2.1) оказывается голоном-ным и представляет утверждение о стационарности на множестве функций лг( ), выделяемом ограничениями (2. 15), функционала [c.163]
Вариационный принцип Гамильтона - Остроградского, несмотря на отмеченную особенность, имеет большое значение в механике сплошных сред. Он содержит в концентрированном виде информацию о специальной структуре дифференциальных уравнений сплошной среды. С этим связаны и основные его приложения вариационный принцип Гамильтона — Остроград-скаго служит источником ряда приближенных методов решения задач. Поэтому в последующих параграфах ему уделено значительное внимание. [c.186]
Покажем, что сформулированный вариационный принцип действительно приводит к уравнениям теории упругости. Вычислим вариацию функцио-нала/(и>) (4.15). Зафиксируем сначала область V(t) X [r0, tt ]. Тогда [c.192]
В вариационных принципах в лагранжевых переменных плотность определяется через закон движения из уравнения неразрывности. Точно так же и в эйлеровых переменных следует принять, что плотность по известной скорости вычисляется из уравнения неразрывности [c.204]
Вариационный принцип Лина представляет по существу переформулировку вариационного принципа Гамильтона — Остроградского для функций а(х, г), так как из уравнений (5.29), (5.34), (5.35) и (5.38) скорость и плотность можно выразить только через функции l-a(x, t). [c.206]
Вариационное уравнение (10.3) определяет п функционалов Q, . . . , Qn через два функционала X и 3). Поскольку в случае стоксовых течений вариационное уравнение (10.3) выражает принцип Онсагера, его можно рассматривать как обобщение принципа Онсагера на случай нелокальных во времени взаимодействий. [c.249]
Вариационный принцип. Будем считать, что движение жидкости с частицами происходит в некотором неподвижном в пространстве сосуде У. Стенки сосуда непроницаемы как для жидкости, так и для частиц. Тогда система жидкость — частицы, находящаяся в сосуде У, является консервативной, и варационное уравнение для всего объема сплошной среды переходит в условие стационарности действия [c.361]
Первая формулировка вариационного принципа для идеальной несжимаемой жидкости дана ЖЛагранжем [128 - именно и з нее Лагранж получил уравнения движения жидкости, которые известны сейчас как уравнения Эйлера - Лагранжа. [c.430]
Желнорович В.А. Вариационный принцип и уравнения состояния для сплошных сред. -. ДАН СССР, 1969, т. 184, № 1, с. 55 - 58. [c.436]
Смотреть страницы где упоминается термин Вариационные уравнения и вариационные принципы
: [c.74] [c.300] [c.432] [c.242]Смотреть главы в:
Вариационные принципы механики сплошной среды -> Вариационные уравнения и вариационные принципы