По форме математического описания модели разделяются на две группы учитывающие случайные процессы — стохастические и не учитывающие элементов случайности — детерминированные. Последние могут быть представлены в виде дифференциальных уравнений и логи- [c.305]
Пример построения моделей на аппарате дифференциального исчисления. Для описания экологических сообществ привлекают методы из самых разных областей математического знания. Самое широкое распространение получил подход, основывающийся на аппарате дифференциального исчисления. Дифференциальные уравнения позволяют описывать динамику численности (биомассы) каждой популяции, входящей в изучаемую систему. В общем виде можно записать зависимость [c.43]
Дифференциальное уравнение насосного агрегата с учетом упруго-вязких свойств элементов привода имеет вид [c.163]
Предлагаемая книга предназначена для всех, кто интересуется математической экономикой, знаком с основными понятиями математического анализа, линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений и теории вероятностей и хочет получить общее представление о применении математических моделей в экономических исследованиях. Книга в первую очередь предназначена для факультетов переподготовки, где инженеры изучают современные методы управления, но может быть использована и в качестве учебного пособия при обучении студентов технических вузов. [c.13]
Другим частным случаем материального моделирования является аналоговое моделирование, основанное на аналогии явлений, имеющих различную физическую природу, но описываемых одинаковыми математическими уравнениями. Наиболее простой пример такого рода — изучение механических колебаний с помощью электрической системы, описываемой теми же дифференциальными уравнениями. Поскольку эксперименты с электрической системой обычно значительно проще, естественно изучать аналогичную электрическую систему вместо механической. [c.22]
На протяжении столетий физика с успехом использует математические модели — как для познания мира, так и для прогнозирования результатов воздействия на него. Модели, основанные, скажем, на принципах ньютоновской механики, уже три века надежно служат человечеству, давая необходимую расчетную базу в его практической деятельности. Более того, прогресс самой математики в значительной степени связан с исследованием разнообразных физических моделей. Такие направления современной математики как теория дифференциальных уравнений, теория групп, топология и функциональный анализ тесно связаны с проблемами, возникающими в классической или квантовой механике, термодинамике и т. д. Можно сказать, что сейчас человечество обладает глубоким пониманием методологии применения математики в естественных науках. [c.25]
В последнее десятилетие для анализа экономико-математических моделей стал широко использоваться имитационный подход, на основе которого удается преодолеть некоторые из трудностей, связанных с использованием оптимизационного подхода. В имитационном подходе, вообще говоря, не требуется заранее задавать критерий развития изучаемого объекта. Вместо него задается управление — либо в виде функции времени и (t), либо в виде функции состояния системы и (х). Подставляя эти заранее сформулированные функции в систему дифференциальных уравнений (4.5) с начальными данными (4.7), можно построить траекторию системы. Если при этом не нарушается ограничение (4.6), то управление и (t) (или и (х)) является допустимым. Сформулировав заранее некоторое число вариантов управления, можно построить траекторию системы для каждого из вариантов и представить результаты развития системы Заказчику, чтобы он сам выбрал наиболее подходящий ему вариант управления системой. В этом подходе вместо проблемы формулировки единственного критерия возникает проблема выбора вариантов управления, которые будут изучаться в исследовании. Очевидно, что такой способ исследования, называемый обычно методом вариантных расчетов, не очень экономичен. Подчеркнем, что имитация свелась к вариантным расчетам в случае уже сформулированной модели (4.5) — (4.7). В действительности же имитация, понимаемая как эксперимент с математической моделью, проводимый на основе ЭВМ, является новым мощ- [c.44]
В случае постоянной доли капиталовложений коэффициенты дифференциального уравнения (4.10) не зависят от времени, поэтому возникает вопрос о существовании таких значений фондовооруженности k, что при /г0 =k решением уравнения (4.10) будет функция k (t) == k. Такие значения величины k принято называть равновесными (стационарными) точками уравнения (4.10). Для того чтобы найти все такие точки k, надо найти все решения уравнения k — 0, т. е. [c.74]
Сами по себе стационарные точки дифференциального уравнения (4.13) особого интереса не представляют. Они важны тогда, когда к этим точкам сходятся траектории уравнения (4.13). Попытаемся проанализировать качественную картину поведения траекторий на основе характерной ситуации, изображенной на рис. 11. [c.76]
Считается, что состояние каждой из работ Рц в момент < можно охарактеризовать некоторым неотрицательным числом г,-, (t), причем если гг, (t) = 0, то в момент / работа Рц еще не начала выполняться, если же г / (t) — 1, то работа Рц к моменту / уже завершена. Изменение состояния каждой работы описывается с помощью дифференциального уравнения [c.191]
Вспомним кибернетические системы, описываемые дифференциальными уравнениями (об этих системах мы говорили в четвертом параграфе первой главы). При отсутствии случайных и неопределенных воздействий имитационные эксперименты с моделями подобного типа сводятся к вариантным просчетам. Если же есть случайные воздействия, то при имитации их заменяют последовательностью величин, которые в целом могут интерпретироваться как реализация [c.234]
Наряду с регрессионными уравнениями в эконометрические модели обычно включаются так называемые дифференциальные уравнения, или тождества. Например, объем производства моделируется по отраслям, а тождественное уравнение выводит общий объем производства (ВНП или ВВП) как сумму объемов производства и услуг по отраслям. [c.136]
Рассмотрим сначала модели с непрерывным временем. Пусть система изучается на отрезке времени от t0 до ti, что принято записывать в виде t< [ta, tj. В моделях с непрерывным временем изменение в состоянии системы описывается с помощью дифференциальных уравнений [c.36]
Здесь A (t), A2(t), i(t), 2(t — заданные матрицы, элементы Которых зависят от времени, a(t) и b(t) — заданные векторы, также зависящие от времени. Соотношение (3.17) является линейным дифференциальным уравнением, описывающим изменение состояния системы, а (3.19) — представлением множества УШ. Как и в статическом случае, исследование линейных систем является более простой задачей, чем анализ модели общего вида. К линейным моделям близки по свойствам модели типа (3.17), (3.18) с ограничениями общего вида (3.16) в том случае, когда множество Y(t) при каждом t выпукло. [c.37]
Рассмотрим теперь динамические модели экономических систем, в которых время принимает дискретные значения (так называемые многошаговые модели). Необходимо подчеркнуть, что модели с дискретным временем играют в экономических исследованиях значительно более важную роль, чем при моделировании природных процессов. В физике подавляющее большинство моделей динамических процессов основано на использовании аппарата дифференциальных уравнений, а модели с дискретным временем возникают лишь как аппроксимация, позволяющая приближенно представить истинное течение процесса. Такие дискретные аппроксимации в настоящее время широко используются для расчета природных явлений и технических систем с помощью вычислительных машин. [c.38]
В экономике многие явления имеют дискретный характер (например, обработка детали на станке занимает определенный промежуток времени). Поэтому описание динамики экономической системы на основе дифференциальных уравнений основано на довольно грубой аппроксимации реальных явлений и не дает преимущества по сравнению с использованием многошаговых моделей. В итоге уравнения динамики системы часто с самого начала формулируются в многошаговом виде. Время в таких моделях считается принимающим конечный ряд значений с заданными начальным моментом t0, промежутком между двумя любыми соседними моментами времени т и конечным моментом времени Т. Обычно для удобства полагают t = 0, т = 1. В этом случае вместо уравнения (3.11) используют многошаговое уравнение, имеющее, например, вид [c.38]
В середине пятидесятых годов Л. С. Понтрягин выдвинул так называемый принцип максимума, дающий необходимые условия оптимальности для управляемых систем типа (3.11) с ограничениями на управление типа (3.13). В дальнейшем принцип максимума был обобщен на системы с ограничениями (3.14), характерными для экономических задач (см. [90J). Принцип максимума позволяет качественно проанализировать задачу оптимального управления, выявить особенности оптимальных воздействий на систему и оптимальных траекторий движения. В том случае, когда в исследовании необходимо найти оптимальное воздействие на систему, дифференциальные уравнения (3.11) обычно аппроксимируются многошаговыми уравнениями типа (3.21) и проблема сводится к решению статической задачи оптимизации. [c.59]
В случае постоянной доли капиталовложений коэффициенты дифференциального уравнения (3.10) не зависят от времени, поэтому имеет смысл поставить вопрос о существовании таких значений фондовооруженности ft, что при 0 = решением уравнения (3.10) будет являться функция k(t)=k. Такие значения величины k принято называть равновесными состояниями модели или стационарными точками дифференциального уравнения (3.10). Для того чтобы найти все такие значения и, достаточно найти все решения уравнения [c.245]
В данной работе предпринята попытка описания пенного процесса удаления жидкости на основе дифференциальных уравнений движения газожидкостных систем [c.58]
Потери давления в зоне дренажа скважины зависят от многих взаимосвязанных факторов форма границы дренажа, форма линий тока, граничные условия и др. В принципе, для каждого конкретного случая необходимо составить систему дифференциальных уравнений, решение которых даст ответ о зависимости [c.153]
Научные задачи Решение дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта , Генерирование равномерно распределенных случайных чисел и др. [c.107]
Решение подобных задач требует определенности в формулировании их условий установления количества игроков и правил игры, выявления возможных стратегий игроков, возможных выигрышей (отрицательный выигрыш понимается как проигрыш). Важным элементом в условии задач является стратегия, т. е. совокупность правил, которые в зависимости от ситуации в игре определяют однозначный выбор данного игрока. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным и бесконечным, отсюда и игры подразделяются на конечные и бесконечные. При исследовании конечной игры задаются матрицы выигрышей, а бесконечной - функции выигрышей. Для решения задач применяются алгебраические методы, основанные на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также сведение задачи к некоторой системе дифференциальных уравнений. [c.51]
Для того чтобы определить значение P,(t), приведенной формулы недостаточно/Кроме нее составляется еще система дифференциальных уравнений Колмогорова, решение которой и дает искомые значения P t). Чаще всего реальные вычислительные системы быстро достигают установившегося режима, и тогда вероятности состояний перестают зависеть от времени и практически показывают, какую долю достаточно длинного промежутка времени система будет находиться в том или ином состоянии. Например, если система имеет три возможных состояния Р,=0,2, Р2=0,6, />3=0,1, то это означает, что в состоянии 5, система в среднем находится 20 % времени, в S2 -60 %, а в S3 -10 % времени. Такие не зависимые от времени вероятности называют финальными. [c.74]
Для прогнозирования народнохозяйственной потребности (потребность внутреннего рынка страны) используется динамическая модель, представляющая собой систему дифференциальных уравнений или уравнений в конечных разностях. Коэффициентом уравнений служит скорость изменения потребности, зависящая от времени и факторов, влияющих на изменение потребности. Решение дифференциальных уравнений дает возможность найти зависимость потребности в средствах производства от скорости ее изменения. Таким образом, в такой постановке проблемы задача прогнозирования потребности в средствах производства сводится к задаче прогнозирования скорости ее изменения или темпов прироста (снижения) потребности. [c.136]
Если период времени А/ стремится к нулю А/ -> 0, то, переходя к пределу, получим следующее дифференциальное уравнение [c.136]
Решив дифференциальное уравнение, находим зависимость потребности в промышленной продукции от скорости ее изменения, которая, например, для первого этапа цикла жизни записывается следующим образом [c.137]
Тс = -18 °С. В его нижний вход подается газожидкостная смесь. Причем, фаза содержит смесь двух газов, которая является основным сырь-получения целевого продукта. Растворяясь в жидкости, газы вступают в реакцию. При этом несущая жидкость является продуктом реакции. При получении дифференциальных уравнений в одномерном гидравлическом приближении предполагалось, что интенсивность растворения пропорциональна степени недонасыщения жидкости, а испарения - не-донасыщения газовой фазы. Эти процессы сопротивлением жидкой и газовой фаз. [c.242]
С учетом выше приведенных допущений выведена следующая сис-дифференциальных уравнений, включающая в себя уравнения сохра-масс (1), уравнения сохранения масс для отдельных компонент в газовой (2) и жидкой (3) фазе, сохранения числа частиц и импульса (4) и [c.243]
Для описания динамики детонационных волн используется система дифференциальных уравнений [3], состоящая из уравнений масс фаз, числа пузырьков, импульсов в односкоростном [c.251]
Из известного структурно-кинематической схемы ВЭНА-400-320 разработаем приведенную динамическую модель как жестком так деформирующийся машинный агрегат состоящем из трех сосредоточенных масс. При этом дифференциальное уравнения жесткой машины имеет вид [c.163]
Существует несколько основных методов анализа экономических моделей. Мы проиллюстрируем эти методы на примере одного класса кибернетических систем ), которые характеризуются тем, что их состояние однозначно описывается конечномерным вектором х, а изменение состояния — системой дифференциальных уравнений [c.41]
Книга, предлагаемая читателю, является учебным пособием такого типа. Она предназначена для всех, кто хочет получить общее представление о методах экономико-математического моделирования и знаком с основными понятиями линейной алгебры, математического анализа, теории дифференциальных уравнений и теории вероятностей. Книга может быть использована при преподавании экономико-математического моделирования в инженерно-экономических высших учебных заведениях,- а также как учебное пособие для студентов младших курсов экономико-математи-%ческих специальностей. Книга может быть использована также на факультетах и курсах переподготовки, на которых специалисты с высшим техническим или. экономическим образованием изучают современные методы управления. [c.11]
Синергетику можно рассматривать как стратегию, позволяющую успешно справиться со сложными системами в гуманитарных областях знания. Например, с микроскопической точки зрения эволюция населенности отдельного городского района описывается системой дифференциальных уравнений, в которых отдельные переменные означают производственные мощности, экономическую производительность и другие характеристики. Макроскопическое развитие такой системы в целом успешно и очень наглядно моделируется и иллюстрируется компьютерной графикой фрактальных кластеров с изменяющимися центрами индустриализации, отдыха, возникающими в результате нелинейных взаимодействий отдельных городских районов, например, вследствие преимуществ или неудобств дальних и ближних транспортных связей, коммуникационной сети и др. Существенным результатом си-нергетической модели является вывод о том, что развитие городов не может быть объяснено индивидуальными стратегиями, планами, желаниями и т.д. Глобальное развитие всегда выступает как результат нелинейных взаимодействий. [c.385]
Как известно, задача может быть решена с помощью функций Лагранжа. В более простых случаях задача сводится к нахождению либо максимума прибыли, либо минимума затрат. В этих случаях можно обойтись дифференциальными уравнениями. Но вернемся к вопросу о характере ограничений — о свойствах изокосты. [c.105]
В качестве методологической основы используются методы полумарковских процессов и теории операционного исчисления. Данные методы позволяют свести решение, систем интегро-дифференциальных уравнений, описывающих эксплуатацию объектов связи, к решению систем алгебраических уравнений с последующим определением оригиналов полученных выражений для основных показателей надежности при помощи известных методов обращения. В случае, когда нахождение оригинала в явном виде затруднено, применяется усовершенствованный алгоритм численного обращения двумерного преобразователя Лапласа, в котором для оценки оригинала используются полиномы Лагерра. Получено дальнейшее развитие подходов к формализации процесса эксплуатации технических объектов средств связи в виде аналитических выражений для основных показателей надежности, [c.167]