Теорема 8.2. При выполнении условий (а) — (в) существует единственная точка x -Rr, для которой (х )=х, и существует единственное решение x(t) стохастического дифференциального уравнения [c.378]
Зе. Стохастические дифференциальные уравнения . ..........320 [c.230]
Так, броуновское движение выступает в роли "базисного" в конструкции диффузионных марковских процессов X = (-Xt)t o как решений стохастических дифференциальных уравнений [c.289]
В финансовой математике важную роль играет геометрическое броуновское движение S = (St)t 0t подчиняющееся стохастическому дифференциальному уравнению [c.290]
Ряд других интересных процессов, управляемых стохастическими дифференциальными уравнениями, приводится в разделе 4 в связи с построением моделей для описания динамики рыночной цены P(t, Т) облигаций (см. 1Ь,гл. I). [c.293]
Из формулы Ито ( 3d) непосредственно следует, что Xt = ( B)t удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению [c.298]
Это соотношение можно рассматривать как стохастическое дифференциальное уравнение (см. За и, далее, Зе), решение которого задается формулой (19). [c.317]
Зе. Стохастические дифференциальные уравнения [c.320]
Можно, однако, изменить точку зрения, а именно, рассматривать (4), (6) и (8) как стохастические дифференциальные уравнения относительно неизвестных процессов S = (Sj), Y = (Yj), Z = (Z ) и попытаться установить, что найденные их решения (3), (5) и (7) являются (в определенном смысле) единственными решениями этих уравнений. [c.321]
Естественно, надо придать точный смысл самому понятию "стохастическое дифференциальное уравнение" определить, что есть его "решение" в каком смысле следует понимать "единственность" решения. [c.321]
Определение 1. Говорят, что стохастическое дифференциальное уравнение [c.321]
Тогда стохастическое дифференциальное уравнение (9) имеет, и притом единственное (с точностью до стохастической неразличимости), непрерывное решение X = (Xt, t), являющееся марковским процессом. [c.322]
Это обстоятельство может рассматриваться как объяснение целесообразности вводимой ниже концепции слабых решений стохастических дифференциальных уравнений, суть которых раскрывает следующее [c.324]
Рассмотрим вопрос о существовании слабого решения одномерного стохастического дифференциального уравнения [c.327]
Этот замысел был реализован им конструированием соответствующих процессов как решений стохастических дифференциальных уравнений [c.330]
Перейдем теперь к изложению ряда хорошо известных результатов о том, как с помощью броуновского движения и решений стохастических дифференциальных уравнений можно дать вероятностное представление решений параболических уравнений (15) для ряда классических задач теории дифференциальных уравнений с частными производными. [c.332]
Рассмотренные выше модели динамики процентных ставок г = (r(t))f Q основывались на стохастических дифференциальных уравнениях с некоторым базисным винеровским процессом. [c.341]
Соответствующим примером может служить гауссовский стационарный процесс с рациональной спектральной плотностью, который можно рассматривать как компоненту многомерного марковского процесса, удовлетворяющего линейной системе стохастических дифференциальных уравнений. (См., подробнее, теорему 15.4 и систему уравнений (15.64) в [303].) [c.349]
Суть предложенного в [219] подхода состоит в том, чтобы искать стоимости P(t,T) как решения стохастических дифференциальных уравнений (ср. с (4) в 4Ь) [c.354]
Веретенников А. Ю. О сильных решениях стохастических дифференциальных уравнений // Теория вероятностей и ее применения. 1979. Т. 24. №2. С- 348-360. [c.480]
Стохастическое дифференциальное уравнение 320 [c.486]
Стохастическое дифференциальное уравнение с частными производными 880, 921 [c.486]
Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение (ср. с 3е, гл. III) [c.375]
Другое априорное предположение для описываемого метода состоит в том, что функция Y(t, x) считается функцией класса С1 2. Это предположение дает возможность применить к Y(t, St) формулу Ито, что приводит к следующему стохастическому дифференциальному уравнению с частными производными (для простоты записи аргументы у функций опускаются) [c.390]
В 4с, гл. III, были рассмотрены некоторые модели временной структуры стоимостей семейств облигаций. В частности, там отмечалось, что при описании динамики стоимостей P(t, Т) облигаций имеются два основных подхода - опосредованный (когда в качестве "базисного" процесса берется некоторый процесс "процентной ставки" г = (r(t))t o и считается, что P(t,T) = F(t,r(t),T)), и прямой (когда P(t,Т) задаются непосредственно как решения стохастических дифференциальных уравнений). [c.396]
В случае опосредованного подхода будем считать, что (неотрицательный) процесс процентной ставки г = (r(t))f o является решением стохастического дифференциального уравнения (ср. с (5) в 4с, гл. III) [c.396]
В отличие от прямого подхода в описании динамики цен (стоимостей) облигаций P(t, Т) с помощью стохастических дифференциальных уравнений (см. 5а), в опосредованном подходе предполагается, что стоимости P(t,T) имеют вид [c.411]
Следует сразу подчеркнуть, что этот метод "работает" лишь в предположении, что процесс процентной ставки г = (r(t))t o является марковским процессом, удовлетворяющим некоторому стохастическому дифференциальному уравнению [c.411]
Оператор L(s, r) является обратным оператором диффузионного марковского процесса г = (r(t))t 0i удовлетворяющего стохастическому дифференциальному уравнению [c.413]
В [212] построен непрерывный многомерный аналог процедуры стохастической аппроксимации Кифера — Вольфовица для вычисления экстремума функции регрессии. При этом предполагается, что ошибка наблюдения в момент времени t скалярной функции f(x) равна
Хазен Э. М. О стохастических дифференциальных уравнениях для апостериорного распределения вероятностей в задачах адаптивной фильтрации и обнаружения сигналов. — Автоматика и телемеханика , М., 1971, № 11, с. 86—93. [c.391]
Будучи "большой" и "сложной" системой, рынок ценных бумаг требует для своего анализа и довольно-таки сложных, далеко продвинутых математических методов, методов статистической обработки данных, численных методов и компьютерных средств. Не удивительно поэтому, что в финансовой литературе используются самые современные результаты стохастического анализа (броуновское движение, стохастические дифференциальные уравнения, локальные мартингалы, предсказуемость,...), математической статистики (бутстреп -bootstrap, метод складного ножа - ja kknife,. . -), нелинейной динамики (детерминистический хаос, бифуркации, фракталы), и, конечно, трудно себе представить финансовую деятельность без современной компьютерной техники. [c.85]
В формулах (12) и (13) через (Яс) и (Яс) обозначены квадратические характеристики непрерывных мартингальных составляющих у семимартин-галов Я и Я см. раздел 5 в гл. III. По поводу стохастических дифференциальных уравнений для случая, когда Я является броуновским движением, см. 3е,гл. III.) [c.107]
Модели семейства AR H, эволюционирующие в дискретном времени, имеют соответствующие аналоги и в случае непрерывного времени. Более того, при подходящей нормировке можно получить (слабую) сходимость решений стохастических разностных уравнений, определяющих AR H, GAR H,. . . -модели, к решениям соответствующих стохастических дифференциальных уравнений. [c.199]
Другими известными примерами процессов, которые можно получить как решения стохастических дифференциальных уравнений (1) при подхо-дяшемвыборе коэффициентов a(t, x) и r(t, x), являются следующие. [c.290]
Процесс Бесселя порядка а > 1, по определению, есть процесс X = (Xt)f Q, управляемый (нелинейным) стохастическим дифференциальным уравнением [c.293]
Приведем из различного рода обобщений лишь один, несколько неожиданный, результат А. К. Звонкина, [485], утверждающий, что для существования сильного решения стохастического дифференциального уравнения [c.322]
Говорят, что стохастическое дифференциальное уравнение (9) с начальным условием XQ таким, что Law(Xo) = м, имеет слабое решение, если найдется фильтрованное вероятностное пространство (П, , ( t)t 0i P)i найдутся броуновское движение В = (В , t)t o на нем и непрерьтный случайный процесс X = (Xt, t)t o такие, что Law(Jf0 Р) = А и для каждого t > О (Р-п.н.) выполнено равенство (12). [c.325]
Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев Наукова думка, 1968. [c.465]
Смотреть страницы где упоминается термин Стохастическое дифференциальное уравнение
: [c.468] [c.107] [c.200] [c.282] [c.289] [c.291] [c.328] [c.375]Основы стохастической финансовой математики Т.2 (1998) -- [ c.320 ]