Производной скалярной функции
ММО, использующие целевую функцию (функцию ценности) [92, 87 и др.]. В этих методах предполагается, что структуру предпочтений ЛПР можно формализовать в виде скалярной функции F(y(x), k), где Я, — вектор параметров. Вид функции задается [c.71]
Градиентные методы (ММО, использующие функцию полезности [89, 21, 91 и др.]. Здесь предполагается, что предпочтения ЛПР могут быть, описаны некоторой скалярной функцией U(x) (априори неизвестной). На функцию налагается ряд свойств считается, что известна сравнительная полезность любых двух альтернатив х, у, отличающихся не более чем по двум координатам [c.72]
В этой главе X всегда будет обозначать матрицу (обычно квадратную) вещественных переменных, a Z — матрицу комплексных переменных. Мы рассмотрим дифференциалы скалярных функций X (собственные значения, определитель), векторных функций X (собственные векторы), а также матричных функций X (обратная, МП-обратная, сопряженная матрицы). [c.196]
Мы будем рассматривать скалярные функции 0, векторные функции / и матричные функции F. Каждая из них может зависеть от одной вещественной переменной , вектора вещественных переменных х или матрицы вещественных переменных X. Таким образом, мы получаем классификацию функций и переменных, представленную в табл. 1. [c.223]
Безусловно, определение 2 имеет некоторые достоинства. Во-первых, если F является матричной функцией только одной переменной , то dF( )/д имеет тот же размер, что и F( ). Во-вторых, если ф — скалярная функция матрицы X, то размер дф(Х /дХ снова совпадает с размером X. В частности, если ф — скалярная функция вектор-столбца ж, то дф/дх — вектор-столбец, а дф/дх — вектор-строка. Кроме того, это определение предлагает четыре способа для упорядочения тп частных производных векторной функции f(x) размера т х 1, где х — вектор переменных размера п х 1 df/dx (матрица размера га х n), df /dx (матрица размера п х га), df/dx (тп х 1 вектор) и df /dx ( 1 х ran вектор). [c.225]
Пусть ф есть скалярная функция от п х 1 вектора х. Мы уже встречались с производной ф, определяемой как [c.226]
В этой таблице ф — скалярная функция, / — векторная функция размера 7П х 1 и F — матричная функция размерности т х р — скаляр, х — п х 1 вектор и X — матрица размера п х q а — скаляр, а — вектор-столбец и А — матрица, которая может быть функцией от X, х или . [c.230]
Прежде чем проиллюстрировать на примерах первую теорему об идентификации, необходимо ввести следующее обозначение. Пусть ф — дифференцируемая скалярная функция п х 1 вектора х. Предположим, что х разделен на блоки следующим образом [c.230]
СКАЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЕКТОРНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [c.230]
Рассмотрим несколько примеров. Два наиболее важных случая скалярных функций от вектора х — это линейная форма а х и квадратичная форма х Ах. Пусть ф(х) = а х, где а — постоянный вектор. Тогда 6ф(х) = a dx, следовательно Оф(х) = а . Далее, пусть ф(х) = х Ах, где А — постоянная квадратная матрица. Тогда [c.230]
Скалярные функции от матрицы, I. След 231 [c.231]
СКАЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦЫ, I. СЛЕД [c.231]
В интересных примерах скалярных функций от матриц нет недостатка. В этом параграфе рассматриваются дифференциалы от следа для некоторых матричных функций. В 10 будут рассмотрены определители, а в 11 — собственные значения. [c.231]
Скалярные функции от матрицы, II. Определитель 233 [c.233]
СКАЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦЫ, П. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ [c.233]
Скалярные функции от матрицы, III. Собственное значение 235 [c.235]
СКАЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦЫ, III. СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ [c.235]
В этой таблице ф есть скалярная функция, / — векторная функция размера т х 1 и F — матричная функция размера т х р — скаляр, ж — n x 1 вектор и X — n x g матрица /3 — скаляр, b — вектор-столбец и В — матрица, которые могут зависеть от X, х или . В случае векторной функции / имеем [c.247]
Критерий оптимальности (3) имеет очевидный недостаток он не дает метода построения оценки — мы не можем минимизировать матрицу. Однако можно минимизировать скалярную функцию от матрицы ее след, определитель или наибольшее собственное значение. Подход, использующий минимизацию следа, оказывается наиболее привлекательным с практической точки зрения. [c.322]
Здесь g и go — заданные скалярные функции. [c.165]
Результаты, полученные в [9], позволяют при некоторых предположениях построить схему стохастической аппроксимации для решения более общей задачи — для вычисления безусловного минимума функции R(f(x)). Здесь f(x)= fi(x) , i = l,. .., г, по-прежнему вектор-функция векторного аргумента х, осуществляющая непрерывно-дифференцируемое отображение Rr на себя R(f) — скалярная функция. В задаче требуется вычислить вектор х, на котором достигается минимум R(f(x)) по наблюдениям систем случайных величин y(x)=f(x) + [c.375]
Пусть ( р t2) — решение краевой задачи (1) в возмущенной области D = D[u( )- -Ъи( )]. Функции х и определены в разных областях, поэтому нельзя определить Ъх — х — х для того чтобы корректно ввести вариацию 8ж, рассмотрим еще функцию x (tlt tz), определенную в невозмущенной области D и отличающуюся от х на величину О( 8ц 2) в тех точках, где существуют и х, и х, т. е. в D = Dr D. Для x (tr, f2) мы получим некоторую краевую задачу для уравнения Лапласа. Сейчас нам удобно будет описать возмущенную границу АЕ скалярной функцией
Пусть AI, А2,. . . , Ап — собственные значения матрицы ZQ G Спхп и А — простое собственное значение. Тогда существует скалярная функция Л ), определенная в окрестности N(ZQ) С Спхп матрицы Z0, такая что X (ZQ) = i и A(i)(Z) — (простое) собственное значение Z для всех Z N(ZQ). Кроме того, А( ) дифференцируема бесконечное число раз на N(ZQ), и [c.215]
Вторая теорема об идентификации (теорема 6.6) позволяет найти матрицу Гессе скалярной функции по ее дифференциалу второго порядка. Более точно, она утверждает, что равенство [c.245]
Теорема 3.4. Пусть заданы случайный процесс хп , определяемый рекуррентным соотношением (3.11), и последовательности скалярных функций ип, vn, удовлетворяющих условиям А и Б. Тогда lira vn = Q [c.356]
Пусть у(х) — r-мерная векторная случайная величина с ограниченной дисперсией, зависящей от r-мерного векторного параметра х. Пусть f(x) — вектор-функция регрессии случайного вектора у(х), a R(z) — некоторая скалярная функция r-мерного векторного аргумента z. Задача состоит в минимизации функции R(f(x)) при х, принадлежащем некоторому множеству XaRT. Предполагается, что значения функции R(z) при данном значении аргумента z можно наблюдать точно, но значения составляющих f(x) ненаблюдаемы наблюдаемы лишь компоненты случайного вектора у(х). [c.373]
В [212] построен непрерывный многомерный аналог процедуры стохастической аппроксимации Кифера — Вольфовица для вычисления экстремума функции регрессии. При этом предполагается, что ошибка наблюдения в момент времени t скалярной функции f(x) равна
Здесь Р [t] и ц [t] — матрицы 1 -> 4, вычисление которых очевидным образом определяется прямым варьированием исходной системы уравнений. Вводя в дополнение к четырехмерной вектор-функции