Если А > О (А > 0), то все собственные значения матрицы А положительны (неотрицательны), Т,,е. А,, > О (А,, > 0), / = 1,..., п. [c.273]
Xi,X2,..., л — собственные значения матрицы А. [c.274]
Собственное значение матрицы 271 [c.305]
Собственные значения матрицы S определяются из уравнений, которые в общем виде записываются как [c.317]
Пусть Ц=ЛА — собственное значение матрицы А, отличное от максимального по модулю собственного значения. Пусть У — собственный вектор А, принадлежащий собственному значению (Л. [c.263]
Собственные значения матрицы Леонтьева [c.265]
Умножая эту матрицу слева на (п+1)-вектор р > где р =(0,...,0,1), легко убедиться, что ртА-рт- Следовательно, одним из собственных значений матрицы А является Я = 1. [c.266]
Уравнение (1) имеет п корней, вообще говоря комплексных. Пусть Л есть собственное значение матрицы А. Тогда существуют векторы жиг/(ж 0,г/ 0), такие что [c.34]
Доказательство. Пусть AI,. . . , Ап — собственные значения матрицы А. Тогда собственные значения матрицы В = А/ — А равны А — А (г = 1,. . . , гг) и, в силу того что А — простое собственное значение Л, ноль является простым собственным значением В. Следовательно, г(В) С п — 1. Кроме того, поскольку у матрицы В имеется п — 1 ненулевое собственное значение, г (В) п — 1 (теорема 18). Следовательно, г (В) = п — 1. Напротив, если г (В) = п — 1, то у В есть по меньшей мере одно нулевое собственное значение, а значит, А = А для хотя бы одного г. П [c.43]
Оба собственных значения матрицы А (и В) равны нулю, и единственным соб- [c.55]
Предположим, наконец, что г (А) = п — 1. Пусть AI, A2,. . . , Ап — собственные значения матрицы Л, и пусть [c.71]
Отметим, что определитель в (7) не равен нулю тогда и только тогда, когда собственное значение АО — простое. При этом он равен произведению п — 1 ненулевого собственного значения матрицы АО/П — XQ, умноженному на (—2) (см. теорему 3.5). [c.210]
Пусть теперь АО — собственное значение матрицы AQ кратности т. Обозначим через С/о матрицу размера п х га, га столбцов которой натянуты на [c.219]
Если Д(9 ( о) — первая из производных А( ), не равная нулю в точке С = Со то 7П производных А ( о) (га- собственных значений, совпадающих при 0) являются собственными значениями матрицы Vo 4 ( o) A)- [c.220]
Пусть А есть га х п матрица ранга г. Пусть Si, . . . , Sr — сингулярные значения А (т. е. положительные квадратные корни ненулевых собственных значений матрицы А Л7), а 6 = Si + 5% +. . . + Sr. Тогда [c.301]
Матрица М является идемпотентной симметрической п х п матрицей ранга п — k. Обозначим все ненулевые собственные значения матрицы MV М как [c.376]
Предложенная Леонтьевым динамическая межотраслевая модель является классическим примером использования систем дифференциальных уравнений в исследовании проблем экономического роста. Эта модель, включающая дополнительно матрицу коэффициентов капиталоемкости , определяет траектории сбалансированного экономического развития. Качественные свойства этих траекторий зависят от матрицы В (I — А 1. При некоторых условиях величина, обратная наибольшему собственному значению матрицы, определяет максимально возможный ( технологический ) темп прироста экономики, а соответствующий этому значению собственный вектор характеризует необходимые пропорции между объемами производства продукции на магистральном (с максимальным темпом прироста) участке экономического развития. [c.448]
Собственные значения матрицы с компонентами Ь , называются кривизнами поверхности П, обратные к ним величины - -радиусами кривизны, Н = /2 b" — средней кривизной, К = det Ьар II / det аар — гауссовой кривизной. [c.57]
В разложении (ЛА.13) диагональная матрица Л состоит из собственных значений матрицы А. [c.500]
АТ-АЕ = А-ЛЕ делитель не меняется при транспонировании. Следовательно, ХА является максимальным по модулю собственным значением матрицы Ат > 0. Из утверждения 1 теоремы Фробениуса- [c.263]
Прежде всего еще раз заметим, что если А — квадратная матрица, а АТ — транспонированная к ней матрица, то характеристические уравнения для А и Ат совпадают. Таким образом, собственные значения матрицы Ат — те же, что и для А. В частности, числа Фробениуса матриц А и Ат тоже совпадают. [c.265]
Если Аф1, то из (1.10) сдедует, что хп+ =0, в силу чего (1.9) примет вид Ах = Ах. Следовательно, Я — собственное значение матрицы А и, по нашему предположению, А < /. Таким образом Я = 1 является положительным и максимальным по модулю собственным значением, следовательно, является числом Фробениуса. По теореме Фробениуса-Перрона у матрицы А существует неотрицательный собственный вектор хА = (хА, хп+1), соответствующий Я = 1. Очевидно, что хп+1 Ф 0, так как в противном случае из (1.9) следовало бы, что Ах = х А это противоречит тому, что число Фробениуса Ял < 1. Поэтому мы можем считать, что хп+1 = 1 (очевидно, что век- [c.267]
Матрица А плохо обусловлена, если малые изменения ее элементов (например, округление) приводят к существенным изменениям элементов матрицы А". Число обусловленности матрицы and(A) - мера зависимости погрешностей вычисления А"1 от погрешности элементов А. Например, можно определить число обусловленности как модуль отношения наибольшего собственного значения матрицы к ее наименьшему собственному значению. [c.90]
Так как матрица S l (8) Т"1 является обратной для S (8) Т7, то из теоремы 1.5 вытекает, что матрицы Л (8) 5 и (б 1 Т )(А (8) B)(S T) имеют одни и те же собственные значения и, следовательно, множества собственных значений матриц А (8) и L М совпадают. Поскольку матрицы L и М являются верхнетреугольными, такой же будет и матрица L (8) М. Следовательно, ее собственные значения — диагональные элементы ifjLj. Теорема доказана. П [c.55]
Теорема о неявной функции (приводимая в приложении к гл. 7) предполагает наличие окрестности N(X ) С Rnxn матрицы XQ, в которой функции А и и существуют и бесконечное число раз (непрерывно) дифференцируемы при условии, что АО — простое собственное значение матрицы XQ. Если же АО — кратное собственное значение Х0, то условия теоремы о неявной функции не выполняются. Это неудобство можно проиллюстрировать на следующем примере. Рассмотрим матричную функцию размера 2x2 [c.208]
Пусть AI, А2,. . . , Ап — собственные значения матрицы ZQ G Спхп и А — простое собственное значение. Тогда существует скалярная функция Л ), определенная в окрестности N(ZQ) С Спхп матрицы Z0, такая что X (ZQ) = i и A(i)(Z) — (простое) собственное значение Z для всех Z N(ZQ). Кроме того, А( ) дифференцируема бесконечное число раз на N(ZQ), и [c.215]
Рассмотрим линейную регрессионную модель (у, Х/3, r2V), где V — неотрицательно определенная п х п матрица с собственными значениями AI А2 . .. Ап, а X — неслучайная п х k матрица ранга k. Предположим, что X содержит столбец г = (1,1,..., 1). Пусть А = 1п — (1/п)гг/, а 0 = AI Х% . . . А являются собственными значениями матрицы AV А. Кроме того, пусть а2 является МНК-оценкой, т. е. [c.376]