Собственные векторы и собственные значения матрицы

Найти собственные векторы и собственные. значения матриц.  [c.50]

Собственные векторы и собственные значения квадратной матрицы  [c.271]


Пусть XQ — вещественная симметрическая матрица порядка n, a UQ — нормированный собственный вектор, соответствующий простому собственному значению АО матрицы XQ. Тогда, как известно из 8.8, для каждой матрицы X из окрестности N(XQ] матрицы XQ существуют и единственны число А = А(Х) и вектор и = и(Х), такие что  [c.235]

Доказательство. Пусть В есть произвольная п х (k — 1) матрица и обозначим (нормированные) собственные векторы, соответствующие собственным значениям AI,. . . , Лп матрицы Л, через si, 2,. . . , sn. Пусть R = (si, 52,. . . , SA-), так что  [c.264]

Собственные векторы и собствен ные значения матрицы  [c.66]

Пусть А — вещественная симметрическая матрица порядка п. Тогда существуют ортогональная матрица S порядка п (т.е. Sf S = /п), столбцы которой являются собственными векторами Л, и диагональная матрица Л, диагональные элементы которой являются собственными значениями Л, такие что  [c.38]


Пусть А — квадратная матрица порядка п (возможно, комплексная) ранга п—1. Пусть и и v — собственные векторы, соответствующие нулевому значению (возможно, кратному), такие что  [c.74]

Первая стадия — это нахождение собственных векторов и соответствующих собственных значений дисперсионно-ковариационной матрицы С. Мы должны найти собственные векторы, потому что они дают нам линейно независимые комбинации переменных — главные компоненты, которые влияют на совокупную дисперсию. Мы должны найти собственные значения, потому что они показывают, за какую долю совокупного риска отвечает каждая главная компонента.  [c.497]

Здесь мы умножим матрицу С на вектор, чтобы получить новый вектор. Такой же вектор мы получим при умножении 0,000271 на первоначальный вектор. Таким образом, мы видим, что вектор в левой части — это собственный вектор, и скаляр 0,000271 — это собственное значение.  [c.499]

Используя методы, продемонстрированные в этой главе, и следующую дисперсионно-ковариационную матрицу 2x2, постройте собственные векторы и найдите собственные значения.  [c.518]

Аналогично пусть М е S и det (M) < 0. Теперь среди собственных значений матрицы М найдется Л < 0 — вещественное и отрицательное. Для соответствующего собственного вектора х(Х) = О имеем  [c.12]

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы  [c.272]

Так как собственные векторы известны, по формуле (7.29) можно определить главные компоненты. При этом обычно довольствуются меньшим, чем л, числом главных компонент, но достаточным, чтобы воспроизвести большую часть дисперсии. По мере выделения главных компонент доля общей дисперсии становится все меньше и меньше. Процедуру вычисления главных компонент прекращают в тот момент, когда собственные значения, соответствующие каждый раз наибольшим дисперсиям, становятся пренебрежимо малыми. Количество выделенных главных компонент г в общем случае значительно меньше числа объясняющих переменных т. По г главным компонентам строится матрица Z. С помощью главных компонент оцениваются параметры регрессии  [c.317]


Пусть собственные значения для собственных векторов дисперсионно-ковариационной матрицы равны соответственно 0,000271 и 0,000129. Тогда матрица D будет иметь вид  [c.318]

Как будет видно дальше, из теоремы 4, собственные значения вещественной симметрической матрицы будут вещественными. Однако в общем случае собственные значения (и собственные векторы) могут быть комплексными. В настоящей книге комплексные числа появляются только в связи с собственными значениями и собственными векторами несимметрических матриц (гл. 8). Поэтому подробное изучение комплексных матриц опускается. Все матрицы и векторы в дальнейшем будут предполагаться вещественными, за исключением тех случаев, когда специально оговорено, что они комплексные.  [c.34]

Доказательство. Пусть Л есть собственное значение вещественной симметрической матрицы Л, а х = и + iv — соответствующий собственный вектор. Тогда  [c.35]

Следовательно, матрица Л — это диагональная матрица, у которой на диагонали стоят собственные значения А А (и А А), а матрицы S и Т состоят, по построению, из соответствующих собственных векторов. Часто встречающаяся ошибка в применении теоремы о сингулярном разложении — находить матрицы , Т и Л из (5). Это неверно, поскольку при заданной матрице S матрица Т не определена однозначно Корректно было бы находить S и Л из соотношения AA S = 5Л, а затем определять Т как Т = Л б Л"1/2. Или же можно найти Т и Л из A AT = ТА и определить S = ЛТЛ"1/2.  [c.42]

Пусть х и у — векторы размера п х 1. Доказать, что у матрицы ху имеется собственное значение х у, а остальные п — 1 собственных значений — нулевые.  [c.51]

Пусть А — симметрическая матрица порядка п (п 2) ранга г (А) = п — 1. Пусть и — собственный вектор Л, соответствующий (простому) нулевому собственному значению, т. е. Аи = 0. Тогда  [c.74]

Существуют две проблемы, связанные с дифференцированием собственных значений и собственных векторов. Первая — собственные значения вещественной матрицы Л, вообще говоря, не обязаны быть вещественными, а могут быть и комплексными. Вторая — возможная кратность собственных значений.  [c.207]

Матрица А не симметрическая, и ее собственные значения равны 1 г б. Поскольку оба собственных значения комплексны, то должны быть комплексны и соответствующие собственные векторы. Нетрудно показать, что их можно выбрать в виде  [c.207]

Мы знаем, однако (из теоремы 1.4), что если А — симметрическая вещественная матрица, то ее собственные значения вещественные и собственные векторы также можно выбрать вещественными. Поскольку работать с таким случаем несколько удобнее, он и рассматривается вначале.  [c.208]

Показать, что собственные значения XQ равны 3 (двукратное) и 7. Доказать, что для матрицы XQ дифференциалы функций, задающих собственные значения и собственные векторы, соответствующие собственному значению 7, равны  [c.212]

Пусть х есть случайный р х 1 вектор со средним л и матрицей ковариации 1. Предположим, что 1 известна. Пусть AI A2 . . . Хр > 0 — собственные значения Л, а Т = (ti, 2, tp) — ортогональная матрица порядка р, такая что  [c.443]

Тогда первой аппроксимацией A i, обозначим ее как А , будет pi х г матрица ортонормированных собственных векторов, соответствующих г максимальным собственным значениям X LMU Х- . Далее, возьмем А и А%, . ..,  [c.456]

А-пих - наибольшее собственное значение (число) матрицы суждений, которое чаще всего вычисляется по следующему алгоритму сначала суммируется каждый столбец матрицы суждений, затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты, рассчитанного вектора приоритетов, сумма второго столбца на вторую и т.д. затем полученные числа суммируются и получается зна-  [c.254]

D — это диагональная матрица, где элементы диагонали являются собственными значениями (X), записанными в порядке убывания. Умножая транспонированный вектор подверженностей на матрицу D и затем умножая это произведение на вектор подверженностей, мы получаем совокупную дисперсию, выраженную через главные компоненты следующим образом  [c.509]

Изучение оптимального решения. Когда найдено оптимальное решение (г 2, К, W), возникает вопрос, в какой степени оно исчерпывает информацию, содержащуюся в исходных данных. Ведь у матрицы С (см. (3.27)) есть другие собственные значения и векторы. По аналогии с методом главных компонент [14, 10.5] для ответа на этот вопрос будем использовать величину  [c.138]

В настоящей главе изучаются некоторые оптимизационные проблемы, которые встречаются в психометрике. Большинство этих задач связано со структурой собственных векторов и собственных значений ковариационной матрицы. Теоремы, встречающиеся в данной главе, можно разделить на четыре категории. Параграфы 2-7 имеют дело с методом главных компонент. Здесь применяется линейное ортогональное преобразование к р случайным величинам х, . . . , хр так, чтобы в результате получились новые переменные vi,. . . , vp, некоррелированные между собой. Первая главная компонента vi и есть нормированная линейная комбинация переменных из ж с максимальной дисперсией, вторая главная компонента v — нормированная линейная комбинация, имеющая максимальную дисперсию из комбинаций некоррелированных с v и т. д. Можно надеяться, что первые несколько компонент вносят основной вклад в разброс переменных х. На метод главных компонент можно взглянуть и по-другому предположим, что известна ковариационная матрица ж, скажем 7, и попытаемся приблизить ее другой неотрицательно определенной матрицей меньшего ранга. Если же 1 не известна, то воспользуемся оценкой S для Л, построенной по выборке из ж, и будем приближать S.  [c.442]

Если Аф1, то из (1.10) сдедует, что хп+ =0, в силу чего (1.9) примет вид Ах = Ах. Следовательно, Я — собственное значение матрицы А и, по нашему предположению, А < /. Таким образом Я = 1 является положительным и максимальным по модулю собственным значением, следовательно, является числом Фробениуса. По теореме Фробениуса-Перрона у матрицы А существует неотрицательный собственный вектор хА = (хА, хп+1), соответствующий Я = 1. Очевидно, что хп+1 Ф 0, так как в противном случае из (1.9) следовало бы, что Ах = х А это противоречит тому, что число Фробениуса Ял < 1. Поэтому мы можем считать, что хп+1 = 1 (очевидно, что век-  [c.267]

Из полученной дисперсионно-ковариационной матрицы мы находим собственные векторы и связанные с ними собственные значения. На рынке государственных облигаций три главные компоненты отвечают за 99% риска временной структуры. В вышеупомянутых исследованиях Кана, Кана и Гульраджани и Карки и Рейеса первая компонента может быть интерпретирована как изменение общего уровня временной структуры аналогично параллельному смещению, вторая компонента — как изменение угла наклона кривой временной структуры, третья компонента — как изменение изгиба кривой временной структуры.  [c.507]

В выражении (8.26) D1/2 есть диагональная матрица, диагональные элементы которой служат арифметическими значениями квадратны корней из собственных значений матрицы Ми, а столбцы матриць Р — собственные векторы матрицы Ми. Так как Ми имеет порядок n — k, этот подход требует вычисления п — k собственных значений и векторов, их подстановки в (8.26) для получения матрицы Сь с помощью которой из (8.27) можно найти С , и, наконец, определить е-из (8.25).  [c.255]

О Пример. Найти со-Омстгзвенные значения и собственные векторы матрицы  [c.67]

В случае А > О все неотрицательные собственные векторы матрицы А положительны и принадлежат только ее максимальному по модулю сйбственному значению ХА. Кроме того, в этом случае любые два положительных собственных вектора х и У отличаются лишь числовым множителем у = ССх.  [c.262]

Пусть XQ — вещественная симметрическая матрица порядка п. Пусть UQ — нормированный собственный вектор, соответствующий ее простому собственному значению AQ. Тогда существуют вещественная функция А и векторная функция и, определенные для всех X из некоторой окрестности N(XQ) С Rnxn матрицы XQ, такие что  [c.209]

Пусть АО — простое собственное значение (возможно, комплексное) матрицы ZQ G Спхп (множество комплексных матриц размера п х п), и пусть UQ — соответствующий ему собственный вектор, т.е. ZQUQ = XQUQ. Тогда существуют комплексная функция А и (комплексная) векторная функция и, определенные  [c.212]

Это можно сделать, поскольку каждое собственное значение А А является также и собственным значением Л, a Q есть соответствующая матрица из орто-нормированных собственных векторов.  [c.446]