Дисперсионно- ковариационная матрица

Представим портфель, состоящий из двух активов А и В. Дисперсия доходности актива А равна 0,00015, дисперсия доходности актива В равна 0,00025, и ковариация между А и В равна 0,00005. Дисперсионно-ковариационная матрица С будет иметь вид  [c.300]


Пример приведен ниже. Матрица 2 х 2 в левой части — это дисперсионно-ковариационная матрица, использованная ранее. Если эта матрица может быть помножена на вектор, так, что произведение будет равно произведению собственного вектора на скалярную величину, например  [c.303]

Запомним, что существует столько же собственных векторов, сколько переменных в дисперсионно-ковариационной матрице.  [c.304]

Теперь рассмотрим дисперсионно-ковариационную матрицу С. Мы предположим, что она относится к двум активам  [c.305]

Факторный анализ (ФА) представляет собой иной способ толкования структуры дисперсионно-ковариационной матрицы. Чтобы уяснить использование ФА, мы должны начать с более близкого рассмотрения понятия дисперсии. Совокупную дисперсию портфеля разделяют на систематическую и несистематическую. Систематическая дисперсия (риск) — это такой риск, от которого нельзя избавиться при помощи диверсификации, в то время как от несистематического риска можно избавиться. (Диверсификация — это внесение в портфель новых активов, имеющих коэффициент корреляции с уже входящими в портфель активами, максимально близкий к -1). По сути систематический риск — это общий риск для всех активов в портфеле, в то время как несистематический риск уникален для каждого отдельного инструмента.  [c.310]


Рассмотрим стандартизованную дисперсионно-ковариационную матрицу четырех активов, которые мы рассматривали в качестве примера применения метода главных компонент  [c.311]

Есть активы А и В. Дисперсия доходности актива А=0,00015, дохода В=0,00025, ковариация между А и В = =0,00005. Дисперсионно-ковариационная матрица С будет иметь вид  [c.317]

Пусть собственные значения для собственных векторов дисперсионно-ковариационной матрицы равны соответственно 0,000271 и 0,000129. Тогда матрица D будет иметь вид  [c.318]

Дисперсионно- ковариационная матрица  [c.66]

Часто ковариации нескольких переменных изображаются в виде дисперсионно-ковариационной матрицы. В табл. 2.13 показаны ковариации всех возможных пар из группы трех активов.  [c.100]

Каждый элемент-дисперсия в дисперсионно-ковариационной матрице умножен дважды на соответствующий ему вес актива, поэтому веса, связанные с дисперсиями, имеют возведенное в  [c.442]

Портфельная задача, таким образом, состоит в минимизации дисперсии портфеля при каком-то минимальном уровне дохода. Как мы видели выше, дисперсия портфеля Z может быть выражена как произведение транспонированного вектора W, т.е. Жт, дисперсионно-ковариационной матрицы Q и вектора W, т.е. W. Следовательно, поставленная -задача является задачей квадра-тического программирования и может быть формально записана как  [c.446]

Предположим, что мы имеем три актива — А, В и С с ожидаемыми доходами 0,11, 0,15 и 0,08 соответственно. Дисперсионно-ковариационная матрица, которая будет обозначена как Q, имеет следующий вид  [c.446]

Рассмотрите три актива А, В и С с ожидаемыми доходами 8%, 18% и 7%. Дисперсионно-ковариационная матрица выглядит как  [c.458]

Хотя в методе главных компонент и факторном анализе используется дисперсионно-ковариационная матрица, они отличаются от анализа дисперсии — математического ожидания, рассмотренных в гл. 4 и 9, тем, что анализ дисперсии — математического ожидания измеряет общую изменчивость группы переменных без определения особого вклада подгруппы переменных в эту изменчивость. Метод главных компонент определяет и ранжирует подгруппы по их вкладу в совокупную изменчивость. Каждая из этих подгрупп — это "главная компонента" и определяется степенью ковариации между компонентами подгруппы. Вклад каждой из главных компонент в совокупную изменчивость ранжируется согласно совокупной дисперсии подгруппы.  [c.494]


Из гл. 2 мы знаем, что дисперсия портфеля равна сумме взвешенных ковариаций каждой пары активов, где дисперсия считается ковариацией актива с самим собой. Представим портфель, состоящий из двух активов А и В. Дисперсия доходности актива А равна 0,00015, дисперсия доходности актива В равна 0,00025, и ковариация между А и В равна 0,00005. Дисперсионно-ковариационная матрица С будет иметь вид  [c.495]

Первая стадия — это нахождение собственных векторов и соответствующих собственных значений дисперсионно-ковариационной матрицы С. Мы должны найти собственные векторы, потому что они дают нам линейно независимые комбинации переменных — главные компоненты, которые влияют на совокупную дисперсию. Мы должны найти собственные значения, потому что они показывают, за какую долю совокупного риска отвечает каждая главная компонента.  [c.497]

Запомним, что существует столько же собственных векторов, сколько переменных в дисперсионно-ковариационной матрице. Таким образом, в матрице 2x2 будут два собственных вектора, а в матрице п х п — п собственных векторов.  [c.499]

Теперь рассмотрим дисперсионно-ковариационную матрицу С. Мы предположим, что она относится к двум активам X и Y. Дисперсия этого портфеля из двух активов может быть записана как  [c.500]

Если мы соберем временные ряды доходностей за период владения для каждой вершины временной структуры, то мы сможем построить дисперсионно-ковариационную матрицу избыточных доходностей.  [c.507]

Теперь, используя метод главных компонент, определим темы совместных изменений, которые имеют влияние на дисперсию, преобразуем дисперсионно-ковариационную матрицу в группу из трех матриц Q, D и Q l и определим совокупную дисперсию, умножая вектор весов 1 х п на матрицы Q, D и Qr п x n и затем полученное произведение — на вектор весов п х 1  [c.508]

Факторный анализ (ФА) представляет собой иной способ толкования структуры дисперсионно-ковариационной матрицы. Чтобы уяснить использование ФА, мы должны начать с более  [c.509]

Используя методы, продемонстрированные в этой главе, и следующую дисперсионно-ковариационную матрицу 2x2, постройте собственные векторы и найдите собственные значения.  [c.518]

Найдите подверженности, выраженные как линейные комбинации переменных X и Y для дисперсионно-ковариационной матрицы из п. 3.  [c.518]

Предположим, что мы имеем три актива — 1, 2 и 3 с ожидаемыми доходами 0,14, 0,16, 0,10 соответственно. Известна дисперсионно-ковариационная матрица Q  [c.432]

Используя метод п. 6.2, вычисляем дисперсионно-ковариационную матрицу Q. Отметим еще раз, что ковариация ценной бумаги самой к себе является дисперсией, так как коэффициент линейной корреляции ценной бумаги самой к себе равен 1.  [c.437]

Построим дисперсионно-ковариационную матрицу  [c.150]

Среднее квадратическое отклонение определить сложнее, поскольку в нем учитывается степень корреляции между двумя видами ценных бумаг. Уравнение для расчета среднего квадра-тического отклонения портфеля с двумя видами ценных бумаг составляется в виде дисперсионно-ковариационной матрицы 2x2, где сумма всех элементов дает дисперсию доходности портфеля  [c.159]

Риск портфеля с четырьмя видами ценных бумаг измеряется средним квадратическим отклонением доходности портфеля. Для получения этой величины мы должны сначала составить дисперсионно-ковариационную матрицу. Дисперсия (т. е. квадрат среднего квадратического отклонения) доходности портфеля задается (i) взвешенной суммой дисперсий каждого вида ценных бумаг  [c.162]

Соответствующая дисперсионно-ковариационная матрица имеет следующий вид  [c.162]

ЕСЛИ бы инвестор мог оценивать средние значения доходности и формировать дисперсионно-ковариационную матрицу для этих доходов по всем видам ценных бумаг на рынке, он мог бы создавать эффективный набор из этих видов ценных бумаг. При допущении возможности свободного от риска получения кредитов или предоставления займов на рынке инвестор смог бы определять единственный портфель на кривой эффективного множества портфелей, который имеет такие же характеристики риска-доходности, как и линия рынка капитала (это портфель, находящийся в точке касания линии рынка капитала с кривой эффективного множества).  [c.168]

Использование АГК позволяет нам извлекать из дисперсионно-ковариационной матрицы число линейных комбинаций дисперсий и ковариаций активов, которое объясняет ковари-ационность активов, причем каждая комбинация не зависит от других комбинаций. Это возможно благодаря тому, что симметричная структура дисперсионно-ковариационной матрицы позволяет это сделать при помощи процесса диагонализа-ции. Диагонализация — это процесс, при помощи которого мы определяем линейные комбинации переменных, дисперсий и ковариаций, в данном случае независимых от других линейных комбинаций. Процесс включает три стадии  [c.302]

Математически собственные векторы — это векторы X., каждый из которых обладает4 соответствующим скалярным значением Я. — собственным значением, таким, что когда дисперсионно-ковариационная матрица С умножается на вектор  [c.302]

Рассмотрим портфель, содержащий в равных долях четыре актива — индексы FTSE 100 и S P 500, британские государственные облигации (GILT) и обменный курс фунт/доллар. Используя ежемесячные значения доходности за период с сентября 1989 по декабрь 1993 г. (см. Приложение 6.3.1), получаем следующую дисперсионно-ковариационную матрицу  [c.307]

Из полученной дисперсионно-ковариационной матрицы мы находим собственные векторы и связанные с ними собственные значения. На рынке государственных облигаций три главные компоненты отвечают за 99% риска временной структуры. В вышеупомянутых исследованиях Кана, Кана и Гульраджани и Карки и Рейеса первая компонента может быть интерпретирована как изменение общего уровня временной структуры аналогично параллельному смещению, вторая компонента — как изменение угла наклона кривой временной структуры, третья компонента — как изменение изгиба кривой временной структуры.  [c.507]

Каждый элемент — дисперсия в дисперсионно-ковариационной матрице умножен дважды на соответствующий ему вес актива, поэтому веса, связанные с дисперсиями, имеют возведенное в квадрат влияние, т.е. V . Каждая ковариация умножается один раз на вес каждого актива из пары активов и существуют две ковариации для каждой возможной пары, т.е. 2 ovF,-F/.  [c.419]