Мы увидели, что отличительным признаком масштабной инвариантности является существование степенной зависимости, отражающей факт отсутствия предпочтительных шкал. Показатели степени в этих степенных зависимостях определяют фрактальные размерности. Признаком дискретной масштабной инвариантности становится существование логопериодических осцилляции, усложняющих степенные зависимости. Как мы увидим, эти логопериодические структуры могут быть представлены математически, при помощи того факта, что показатель степени а или, что одно и то же, размерность d, является не только нецелочисленным, но и становится комплексным числом. [c.200]
Комплексные числа составляют самое общее множество чисел, подчиняющихся стандартным правилам сложения/вычитания и умножения/деления. Они содержат, в частности, целые числа О, 1, 2, 3,... и действительные числа, такие как любое число с целой и десятично-дробной частью, как 876,34878278.... Дроби двух целых чисел, такие как 13/8 являются специальными действительными числами, называемыми рациональными, [c.200]
Любое комплексное число эквивалентно паре действительных чисел. Первый член пары называется действительной частью комплексного числа. Второй член пары называется мнимой частью. Если второй член равен 0, то комплексное число редуцируется до чисто действительного числа. В то время, как действительное число может рассматриваться как точка на прямой, комплексное число есть не что иное, как представление точки на плоскости, как показано на Рис. 76, такое, что пара чисел, составляющих комплексное число, соответствует двум координатам или проекциям, соответственно, на горизонтальной и вертикальной осях. "Мнимая часть комплексного числа пропорциональны их основному "представителю", обозначаемому символом "i", который таков, что его квадрат Г=го равен -1. Неспециалисту данное свойство может показаться неестественным, похожим на волшебный фокус, но математикам нравится определять объекты, обладающие самыми общими свойствами, которые, тем не менее, согласуются с предшествовавшими правилами, в данном случае - со стандартными правилами сложения/вычитания и умножения/деления. Свойство = -1 оказывается естественным, если толкуется как действие на плоскости, а не только вдоль оси [c.201]
| Рис. 77. Геометрическое представление умножения комплексного числа z на другое комплексное число ш умножение эквивалентно комбинации растяжения и вращения. |  |
| Рис. 79. Геометрическое представление последовательных степеней п=1,2,3... комплексного числа z для z внутри окружности радиусом 1. Непрерывное изменение показателя степени п как действительного числа дает непрерывную спиралеобразную кривую. |  |
Как будет видно дальше, из теоремы 4, собственные значения вещественной симметрической матрицы будут вещественными. Однако в общем случае собственные значения (и собственные векторы) могут быть комплексными. В настоящей книге комплексные числа появляются только в связи с собственными значениями и собственными векторами несимметрических матриц (гл. 8). Поэтому подробное изучение комплексных матриц опускается. Все матрицы и векторы в дальнейшем будут предполагаться вещественными, за исключением тех случаев, когда специально оговорено, что они комплексные. [c.34]
Период, t Размер реализации у "1" Et о о. I 5 I О Комплексные числа Действительная часть комплексного числа, уа Мнимая часть комплексного числа, ут t of. га с X га 1 о. [c.195]
Период, t Факт Тренд Остатки Комплексные числа У Ул. т [c.436]
П5.1. Функции комплексного числа [c.178]
Re(z) - возвращает реальную часть комплексного числа z. [c.178]
Определение комплексного числа, его вещественная и мнимая части, операции над комплексными числами и их свойства. Извлечение квадратного корня из комплексного числа, модуль комплексного числа. Множество вещественных чисел как часть множества комплексных чисел. Переход к комплексно- сопряженным числам в арифметическом выражении. [c.10]
В предлагаемом учебном пособии мы даем краткое введение в современные методы эконометрического анализа статистических данных, представленных в виде временных рядов, которые учитывают возможное наличие у рассматриваемых переменных стохастического тренда. Основные акценты, как и в работе [Носко (2000)], смещены в сторону разъяснения базовых понятий и основных процедур статистического анализа данных с привлечением смоделированных и реальных экономических данных. Вместе с тем, от читателя требуется несколько большая осведомленность в отношении вероятностно-статистических методов исследования. Предполагается, что читатель имеет представление о совместной функции распределения, многомерном нормальном распределении, методе максимального правдоподобия, свойстве состоятельности оценок, характеристиках статистических критериев (ошибки первого и второго рода, мощность), а также владеет методами регрессионного анализа в рамках начального курса эконометрики. Кроме того он должен иметь некоторое представление о комплексных числах и комплексных корнях полиномов. [c.6]
Если b = 0, то z = а, т. е. комплексное число г равно действительному числу а. Множество действительных чисел, таким образом, есть подмножество множества комплексных чисел. [c.31]
Всякое комплексное число z = a+bi удобно изображать точкой (a, b) или соответствующим радиусом-вектором на комплексной плоскости (рис. 1.23). Оси Ох и Оу прямоугольной декартовой системы координат называют при этом соответственно Действительной и мнимой осью. Величину р—длину рад,иуса-вектора точки г называют [c.31]
Кендалла классификация 316 Колмогорова уравнения 319 Комплексные числа 31 Конечные разности 281 Конус выпуклый 87 [c.328]
Комплексные бригады возглавляют бригадиры из числа наиболее квалифицированных слесарей (машинистов) или мастера по ремонту технологического оборудования. Работой всех комплексных бригад руководит инженер (старший инженер) по ремонту технологического оборудования. [c.158]
Все большее распространение на предприятиях получают комплексные творческие бригады и общественные бригады внедрения из числа инженеров, техников и рабочих. [c.125]
Ограниченные территории, в которых действуют особо льготные экономические условия для иностранных и национальных предпринимателей. Зоны создаются для решения внешнеторговых, общеэкономических, социальных, региональных и научно-технических проблем. Условно могут быть разбиты на следующие виды 1. Свободные торговые зоны, свободные порты, транзитные зоны, беспошлинные склады и таможенные зоны на отдельных предприятиях базируются на отмене (смягчении) таможенных пошлин и экспортно-импортного контроля над товарами, поступающими в зону и реэкспортируемыми из нее нацелены преимущественно на перевалку, подработку и хранение грузов. 2. Экспортные промышленные зоны основываются не только на применении льготного торгового и таможенного режима, но и на льготном финансировании и налоговом режиме, в том числе для иностранного капитала ориентированы преимущественно на производство экспортной частично импортозамещающей продукции. 3. Банковские и страховые зоны с льготным режимом осуществления этих операций (одним из видов подобных зон являются "налоговые гавани"). 4. Технологические зоны (технологические парки, технополисы), обеспечивающие на основе различных льгот разработку и внедрение современной технологии с помощью не только национальных, но и иностранных предприятий и организаций. 5. Комплексные зоны (свободные, или "открытые", города, особые районы и др.), ставящие перед собой широкие задачи и использующие элементы разных видов зон. [c.87]
Число показателей качества и признаков, используемых в химической промышленности для его оценки, очень велико. Например, для оценки качества жидкого топлива используется 49 различных показателей, пластичных смазок—18, резиновой обуви— свыше 30. В зависимости от назначения, роли и степени охвата свойств можно выделить следующие группы показателей качества единичные (относящиеся к отдельным свойствам), комплексные (относящиеся к нескольким свойствам), интегральные (совокупные), базовые (принятые за исходные). [c.113]
Однако, прибавляя константу "с" (комплексное число) к квадратичному процессу, и полагая первоначально "z" равное нулю, можно получить стабильные итерации, которые не будут приводить ни к бесконечно большим, ни к бесконечно малым числам. Эти числа будут находиться в пределах черной зоны набора Ман-дельброта (см. Рис. 2-2). [c.27]
Оказывается, что введение чисел, подобных i, не приводит к какой-либо непоследовательности и могут применяться все стандартные виды вычислений. Комплексные числа, будучи чем-то большим, чем чистое творение воображения, сыграли фантастически важную роль для понимания свойств телекоммуникации с помощью электромагнитных и акустических волн, которыми ежедневно пользуется современная цивилизация, поскольку они удобно кодируют двоичную информацию о волне, а именно ее амплитуду (громкость) и ее частоту и фазу (высоту). Комплексные числа также являются важными элементами простой формулировки одной из самых фундаментальных теорий частиц, в квантовой механике, например, в знаменитом уравнении Шредингера (S hrodinger). Неинтуитивные новейшие явления, описываемые квантовой механикой, например, такие как принцип суперпозиции, прославившийся в связи с кошкой Шредингера, которая одновременно жива и мертва до тех пор, пока этого никто не наблюдает, технически происходит оттого, что квантовая механика является теорией комплексных чисел. Чтобы быть технически более точным, квантовая механика является теорией их непосредственного (некоммутативного) обобщения, называемого кватернионами. [c.202]
Возвращаясь к комплексным фрактальным размерностям, нам необходимо дополнительно вспомнить интуитивное значение показателя степени. Условные обозначения L3=LxLxL и L2=LxL, использованные нами прежде, предполагают, что показатели степени 3 и 2, использованные здесь, указывают, что L умножается на саму себя соответственно 2 и 3 раза. Красота математики часто заключается в обобщении таких очевидных представлений с целью расширить их использование и подчеркнуть их значение. Здесь обобщение от целых показателей степени к дробным показателям степени, например, L1"5, означает, что L умножается на само себя 1,5 раза Данное любопытное утверждение можно на самом деле сделать точнее, и оно имеет большой смысл. Сходным образом мы можем взять степень комплексного числа с действительным показателем степени результат показан на Рис. 79. Позволим нашему воображению идти дальше мы также можем возвести L в степень с комплексным показателем степени. Поскольку, как мы уже сказали, возведение L в какую-то степень соответствует умножению ее на саму себя определенное число раз, здесь мы должны умножить L на саму себя "комплексное число раз". Поскольку комплексные числа являются парами чисел, мы вносим смысл в данное любопытное утверждение путем разложения действия комплексного показателя степени на два преобразования, как в случае с умножением. Сконцентрировавшись на вращательном компоненте умножения комплексных чисел, мы можем догадаться (безошибочно), что комплексный показатель степени L также будет соответствовать вращению. И, наконец, последний этап исследования поскольку мы рассматриваем действительные числа, такие как цены на фондовом рынке, это соответствует видению только проекции на действительной прямой комплексного множества операций. Как мы сказали и показали на Рис. 78, вращение проектируется на прямую как осцилляция. Таким образом, построение Ld, где d является комплексным числом, соответствует проведению осцилляционного умножения, которое оказывается логопериодическими осцилляциями. Powers of z [c.204]
Структура и философия книги не изменилась. Кроме небольших изменений есть и два больших. Во-первых, мы переставили местами 12 и 13 гл. 1, поскольку необходимо обсудить комплексные числа перед собственными числами и собственными векторами, также исправлена ошибка в теореме 1.7. Во-вторых, в гл. 17 по психометрике мы переписали 8—10, относящиеся к теореме Э карта-Юн га. [c.18]
Во многих математических расчетах встречается необходимость вычисления элементарных функций. Math AD содержит расширенный набор встроенных элементарных функций (см. П2). Функции задаются своим именем и значением аргумента в круглых скобках. В ответ на обращения к ним функции возвращают вычисленные значения. Аргумент и значения функций могут быть действительными или комплексными числами. [c.171]
Комплексная плоскость геометрическое изображение комплексного числа, его тригонометрическая форма, аргумент комплексного числа. Умножение и деление чисел в тригонометрической форме, формула Муавра. Извлечение корня n-ой степени и расположение всех его значений. Корни n-ой степени из единицы. Модуль произведения, суммы и разности комплексных чисел. [c.10]
Рассчитать логистическое уравнение можно на персональном компьютере, используя электронную таблицу Mi rosoft Ex el. Для этого в ячейку А1 поместите значение внешнего параметра С. Начните, например, с 0.5. В ячейку В 1 поместите значение комплексного числа X, например, 0.1. Даль -ше в ячейку В2 необходимо будет ввести следующую формулу, которую продлите на максимально возможное для одного столбца количество значений (например, до 65536-й строки) [c.268]
Всякое комплексное число представляют в виде г — —а+Ы (алгебраическая форма записи комплексного числа). Здесь а и b—действительные числа. При этом а называют действительной часпх.ью комплексного числа z (a=Re 2), b—его мнимой частью (u = Imz). [c.31]
Имеет место под- аь эательная форма записи комплексного числа а + Ы — ре4". Ж 1р<и этом еф = os ф + i sin ф (формула Эйлера). [c.32]
В предприятиях, объединениях газо-, нефте- и нефтепродук-топроводного транспорта и организациях нефтеснабжения кредит банка на внедрение новой техники направляется на техническое перевооружение объектов, в том числе и линейной части магистральных трубопроводов, и проведение других мероприятий, позволяющих значительно расширить мощность НС, КС, ГРС, нефтебаз, наливных пунктов и АЗС и увеличить объемы транспортировки и реализации нефти, нефтепродуктов и газа с минимальными капитальными вложениями (без нового строительства) при условии полной окупаемости затрат и погашения ссуды в течение установленного срока. Кредитуются следующие затраты на приобретение, изготовление и установление нового оборудования и демонтаж старого замену отдельных видов оборудования или их частей более усовершенствованными (модернизация) механизацию тяжелых и- трудоемких работ организацию автоматических и телемеханических установок, а также поточных линий механизацию вспомогательных и подсобных работ, внедрение комплексной механизации дополнительное оборудование производственных площадей приобретение специализированных транспортных средств затраты по научной организации труда и т. д. [c.284]
Смотреть страницы где упоминается термин Комплексные числа
: [c.154] [c.202] [c.15] [c.92] [c.164] [c.178] [c.178] [c.462] [c.265] [c.266] [c.31] [c.32] [c.32] [c.32] [c.327] [c.158] [c.115]Смотреть главы в:
Справочник по математике для экономистов -> Комплексные числа