ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

Если решение продавать, принятое инвестором, принадлежащим к заданной группе размером s, было независимо от решений всех других инвесторов той же группы, то вероятность, что такая группа размером s станет активной в единичный временной интервал, будет пропорциональна числу s инвесторов в данной группе. Однако уже по определению группы, инвесторы, принадлежащие к данной группе, взаимодействуют друг с другом. Следовательно, решение инвестора распродавать, вероятно, довольно сильно связано с другими инвесторами той же группы. Отсюда вероятность в единицу времени того, что специфическая группа, состоящая из s инвесторов, станет активной, является функцией числа s инвесторов, принадлежащих к данной группе и всех взаимодействий между этими инвесторами. Понятно, что максимальное число взаимодействий внутри группы равно s x (s-l)/2 то есть для большой величины s оно становится пропорционально квадрату числа инвесторов в данной группе. Это происходит, когда каждый инвестор говорит с каждым из его s-1 коллег. Множитель Vz объясняет факт, что инвестор Энн говорит с инвестором Полом, затем Пол тоже говорит с Энн, и их двойное взаимодействие может учитываться только один раз. Конечно, можно представить себе более сложную ситуацию, когда Пол слушает Энн, но Энн не отвечает взаимностью, но это не меняет результат. Несмотря на эти сложности, можно видеть, что вероятность h(t)kt в единицу времени /V, что группа s инвесторов станет активной, должна быть функцией, растущей с размером группы s быстрее, чем s, но, возможно, медленнее, чем максимальное число взаимодействий, (пропорциональное s). Простая параметризация - взять h(t) Af пропорциональным размеру группы s, возведенному в степень а, большую чем 1, но меньшую, чем 2. Данный показатель степени а охватывает коллективную организацию в пределах группы размером s, в связи с многочисленными взаимодействиями между инвесторами. Он глубоко связан с концепцией фрактальных размерностей, о которых пойдет речь в главе 6.  [c.163]


Иерархия, комплексные фрактальные размерности  [c.175]

Фрактальная размерность d количественно точно определяет, как относительная длина ЦЕ) изменяется в зависимости от длины линейки (что мы также называем "разрешением", поскольку детали меньше е по определению не видны). По построению, ЦЕ) пропорциональна Е возведенному в степень 1-d ЦЕ) W. Тот факт, что показатель степени равен 1-d, а не d в данном выражении, следует из определения фрактальной размерности с точки зрения числа элементов, обнаруживаемых при данном разрешении для разрешения Е обычно различимо М(Е)=ЦЕ)/Е элементов. Число элементов, различимых при помощи линейки Е, обратно пропорционально Е в степени d. Для Великобритании d=l,24, что является дробной величиной. В противоположность берегу Британии, береговая линия Южной Африки очень гладкая, фактически дуга окружности, и d-1. В общем, чем "более неровной" является линия, тем больше ее фрактальная размерность, то есть, тем ближе линия к заполнению плоскости (у которой размерность равна 2). Когда d=l длина Це) - W становится независимой от разрешения , поскольку е° =/ только когда фрактальная размерность равна топологической размерности, измерение может не зависеть от масштаба линейки. С данной ситуацией мы лучше всего знакомы из школьных уроков Евклидовой геометрии. Однако, как показывает данное обсуждение, она составляет исключительный и особый случай общая ситуация такова, что любое измерение, производимое на объекте, зависит от масштаба, с которым оно производится.  [c.192]


Давайте применим определение фрактальной размерности к двум иерархическим сетям Рис. 62 и Рис. 66. Для ромбовидной решетки Рис. 62 допустим, что отношение длины четырех связей, заменяющих одну связь к длине связи, равно г, скажем, 2/3. Тогда каждый раз разрешение умножается на множитель 1/г=3/2, наблюдается четыре новых связи. Другими словами, когда разрешение умножается на 3/2, число связей умножается на 4. По определению фрактальной размерности, 3/2, возведенные в степень d должны равняться 4. Это подразумевает, что d=Ln4/Ln3/2=3.42. Таким образом, данный объект имеет большую размерность, чем объект в знакомом нам пространстве. Тот факт, что многомерный объект может быть представлен в (двумерной) плоскости, не является проблемой это просто значит, что иерархическая конструкция очень много раз пересечет сама себя и, в  [c.192]

Выражение (8) определяет так называемую однородную функцию и встречается в теории критических явлений, фазовых переходов жидкостей и газов, магнитной фазы, в гидродинамической турбулентности и во многих других системах [112]. Его решение является простой степенной зависимостью (х) ха, где показатель степени а (который играет такую же роль, что и фрактальная размерность d, обсуждавшееся нами прежде) задается выражением  [c.193]

Мы увидели, что отличительным признаком масштабной инвариантности является существование степенной зависимости, отражающей факт отсутствия предпочтительных шкал. Показатели степени в этих степенных зависимостях определяют фрактальные размерности. Признаком дискретной масштабной инвариантности становится существование логопериодических осцилляции, усложняющих степенные зависимости. Как мы увидим, эти логопериодические структуры могут быть представлены математически, при помощи того факта, что показатель степени а или, что одно и то же, размерность d, является не только нецелочисленным, но и становится комплексным числом.  [c.200]

Сейчас мы попытаемся интуитивно объяснить, что комплексные фрактальные размерности могут привести к логопериодическим осцилляциям, как утверждается выше. Во-первых, вспомним общий результат, проиллюстрированный Рис. 77, что умножение на комплексное число соответствует комбинации сжатия/растяжения и вращения на плоскости. Для нашей цели давайте забудем о сжатии/растяжении и сосредоточимся только на вращении. Возьмем  [c.202]


Возьмите простой объект - полый пластмассовый мячик с отверстиями. Он не является трехмерным, потому что в нем есть отверстия. Он также не является двумерным, потому что он обладает глубиной. Несмотря на то, что он находится в трехмерном пространстве, он меньше чем тело, но больше чем плоскость. Его размерность находится где-то между двойкой и тройкой. Это нецелое число, фрактальная размерность.  [c.25]

Фрактальная размерность характеризует то, как предмет заполняет пространство. Кроме того, она описывает структуру предмета при изменении коэффициента увеличения или при изменении масштаба предмета. Для физических (или геометрических) фракталов такой закон подобного преобразования имеет место в пространстве. Фрактальный временной ряд изменяет масштаб статистически, во времени.  [c.25]

Фрактальная размерность временного ряда измеряет, насколько изрезанным является временной ряд. Согласно ожиданиям прямая линия должна иметь фрактальную размерность 1, равную ее евклидовой размерности. Фрактальная размерность случайного временного ряда составляет 1,50. Один ранний метод  [c.25]

Поскольку линия изменяла бы масштаб согласно прямому линейному масштабу, ее фрактальная размерность была бы равна 1. Однако случайные блуждания имеют 50/50 шансов на повышение или падение следовательно, ее фрактальная размерность составляет 1,50. Тем не менее, если фрактальная размерность находится между 1 и 1,50, временной ряд - больше чем линия и меньше чем случайное блуждание. Он более гладок, чем случайное блуждание, но более изрезан, чем линия. При использовании логарифмов уравнение (1.4) может быть преобразовано следующим образом  [c.26]

Еще раз повторим, фрактальная размерность может быть решена как наклон графика в логарифмическом масштабе по обеим осям. Для временного ряда мы увеличили бы радиус как приращение времени и рассчитали бы количество окружностей необходимых для покрытия всего временного ряда в качестве функции приращения времени. Таким образом, фрактальная размерность временного ряда представляет собой функцию изменения масштаба во времени.  [c.26]

Фрактальная размерность временного ряда важна, потому что она признает, что процесс может быть где-то между детерминистическим (линия с фрактальной размерностью 1) и случайным (фрактальная размерность 1,50). Фактически, фрактальная размерность линии может находиться в пределах от 1 до 2. При значениях 1,50 < d < 2 временной ряд более зазубрен, чем случайная последовательность, или имеет больше инверсий. Само собой разумеется, статистика временного ряда с фрактальными размерностями, отличными от 1,50, сильно отличалась бы от гауссовой статистики и не обязательно находилась бы в пределах нормального распределения.  [c.26]

Эта разница различна статистически, но не фактически. Вспомните, что 2-Н -фрактальная размерность временного ряда. Фрактальная размерность измеряет,  [c.140]

Как показано на рисунке 6.6, уравнение (13.9) производит следы времени с соответствующим значением Н или необходимым количеством зазубренности то есть оно дублирует фрактальную размерность следа времени и эффект Иосифа или долговременной памяти. Черный шум имеет дополнительную характеристику катастрофы. Уравнения (13.8) и (13.9) не вызывают катастрофы, потому что они являются дробными гауссовыми шумами. Они объясняют только один аспект черного шума долговременную память.  [c.181]

Хаотические системы обычно являются нелинейными системами с обратной связью. Они подвержены беспорядочному поведению, усилению событий и разрывам. Дня того чтобы система считалась хаотичной, должны выполняться два требования (1) существование фрактальной размерности и (2) характеристика, называемая чувствительной зависимостью от начальных условий. Более полное обсуждение этих характеристик приводилось в моей предыдущей книге, но было бы целесообразно провести основной обзор, поскольку дробный шум и шумовой хаос трудно отличить друг от друга, особенно при исследовании эмпирических данных.  [c.228]

Представление о том, как четвертое измерение включает бесконечность интервалов между другими измерениями, можно получить путем визуализации пары хорошо знакомых фрактальных размерностей, называемых размерностями Хаусдорффа. Одна из наиболее известных размерностей пролегает между нулевой размерностью и первой размерностью, точкой и линией. Она получена путем стирания средней трети линии. В результате получаем две линии. Затем мы стираем среднюю треть каждой из этих линий и продолжаем этот процесс до бесконечности. То, что остается после удаления всех третей, Мандельброт назвал "пыль Кантора " 8. Она состоит из бесконечного числа точек, а не линий. Рис. 2-3 изображает начало этого процесса.  [c.28]

Глава №6 Иерархия, комплексные фрактальные размерности и логопериодичность 175  [c.6]

Те же вычисления могут быть повторены для древовидной решетки Рис. 66. Давайте предположим, что длина вертикальных отрезков, отделяющих каждый уровень ветвления один от другого, сокращается на тот же самый множитель г=2/3. Теперь каждый раз, когда разрешение увеличивается на множитель 1/г=3/2, можно увидеть в два раза большее количество "веток" нашего дерева. Таким образом, число ветвей удваивается, когда размерность умножается на 3/2. По определению фрактальной размерности 3/2, возведенные в степень d, должны равняться 2. Это подразумевает, что d=Ln2/Ln3/2. Иерархическая сеть с размерностью 1,71, таким образом, является в некотором роде посредником между линией и плоскостью. Вновь обратите внимание, что фрактальная размерность е растет, когда растет г, то есть когда четьфе связи становятся ненамного короче, чем первоначальная связь.  [c.193]

Мы увидели, что непрерывная масштабная инвариантность дает толчок к появлению нецелочисленных (действительных) фрактальных размерностей. Теперь мы утверждаем, что дискретная масштабная инвариантность характеризуется комплексными фрактальными размерностями. Прежде, чем мы подтвердим данное утверждение примерами, давайте немного порассуждаем по поводу чудесного примера невероятной достаточности математики для описания природных явлений поиск более "эстетически" приятной всеобщности и логичной последовательности в математике, в конечном итоге, охватывает всеобщность глубокой концепции. Уигнер (E.P.Wigner), лауреат Нобелевской премии в области физики за работу по симметриям в ядерной физике и квантовой механике, сформулировал ее следующим образом [246] "Невероятная польза математики для естественных наук является чем-то, граничащим с волшебством... Замечательное свойство языка математики подходить для формулировки физических законов является чудесным даром, которого мы не только не понимаем, но и не заслуживаем".  [c.200]

Возвращаясь к комплексным фрактальным размерностям, нам необходимо дополнительно вспомнить интуитивное значение показателя степени. Условные обозначения L3=LxLxL и L2=LxL, использованные нами прежде, предполагают, что показатели степени 3 и 2, использованные здесь, указывают, что L умножается на саму себя соответственно 2 и 3 раза. Красота математики часто заключается в обобщении таких очевидных представлений с целью расширить их использование и подчеркнуть их значение. Здесь обобщение от целых показателей степени к дробным показателям степени, например, L1"5, означает, что L умножается на само себя 1,5 раза Данное любопытное утверждение можно на самом деле сделать точнее, и оно имеет большой смысл. Сходным образом мы можем взять степень комплексного числа с действительным показателем степени результат показан на Рис. 79. Позволим нашему воображению идти дальше мы также можем возвести L в степень с комплексным показателем степени. Поскольку, как мы уже сказали, возведение L в какую-то степень соответствует умножению ее на саму себя определенное число раз, здесь мы должны умножить L на саму себя "комплексное число раз". Поскольку комплексные числа являются парами чисел, мы вносим смысл в данное любопытное утверждение путем разложения действия комплексного показателя степени на два преобразования, как в случае с умножением. Сконцентрировавшись на вращательном компоненте умножения комплексных чисел, мы можем догадаться (безошибочно), что комплексный показатель степени L также будет соответствовать вращению. И, наконец, последний этап исследования поскольку мы рассматриваем действительные числа, такие как цены на фондовом рынке, это соответствует видению только проекции на действительной прямой комплексного множества операций. Как мы сказали и показали на Рис. 78, вращение проектируется на прямую как осцилляция. Таким образом, построение Ld, где d является комплексным числом, соответствует проведению осцилляционного умножения, которое оказывается логопериодическими осцилляциями. Powers of z  [c.204]

Мы проиллюстрируем это удивительное явление на Рис. 80 и Рис. 81, показывающих измерение фрактальной размерности в присутствии дискретной масштабной инвариантности фрактальных объектов. Точнее, мы рассмотрим так называемые канторовы множества, которые являются одними из самых простых геометрических объектов, имеющих фрактальные свойства. Рис. 82 показывает первые пять итераций алгоритма построения так называемого троичного канторова множества. На нулевом уровне конструкция канторова множества начинается с единичного интервала, то есть со всех точек на прямой между 0 и 1. Этот единичный интервал изображается закрашенным черным цветом отрезком на вершине фигуры. Первый уровень получается из нулевого уровня путем удаления всех точек, лежащих в центральной трети отрезка, то есть всех точек между 1/3 и 2/3. Второй уровень получается из первого уровня путем удаления центральной трети каждого оставшегося интервала на первом уровне, то есть всех точек от 1/9 до 2/9 и от 7/9 до 8/9. В общем, алгоритм построения канторова множества может быть описан следующим образом следующий уровень получается из предыдущего уровня путем удаления центральной трети всех интервалов, полученных из предыдущего уровня. Данный алгоритм может быть закодирован при помощи следующего символического правила 1— 101 и 0— 000. Этот процесс продолжается до бесконечности, а результатом его является множество точек, которые тонко "процежены" из единичного интервала. Наи-ном уровне множество состоит из N =2" сегментов, каждый из которых имеет длину 1п=1/3", так что общая длина (то есть, измеренная в математическом  [c.205]

Рис. 81. Степень фрактальной размерности троичного канторова множества, измеренная корреляционным методом. Рисунок изображает логарифм корреляционного интеграла как функцию логарифма размерности. Источник [387]. Рис. 81. Степень фрактальной размерности троичного канторова множества, измеренная корреляционным методом. Рисунок изображает логарифм корреляционного интеграла как функцию логарифма размерности. Источник [387].
Различие между результатом измерения фрактальной размерности этого троичного канторова множества и теоретическим значением 0,6309... показана на левом графике Рис. 80. как функция (логарифмическая ) масштаба . Вместо постоянного значения 0, которое получается в случае, если бы фрактальная размерность была в точности равной d=Ln2/Ltt3=0,6309..., мы, в  [c.206]

Правый график Рис. 80 дает ту же информацию, что и левый для другого канторова множества, полученного по несколько отличающемуся правилу построения единичный интервал делится на девять интервалов длины 1/9 и из них сохраняются только первый, третий, пятый и последний интервалы. Затем это повторяется с каждым из четырех оставшихся интервалов. Данное построение символически изображается как правило 1- 101010001. Обратите внимание, что каждый раз, когда разрешение увеличивается на множитель 9, появляются четыре новых отрезка. Следовательно, фрактальная размерность d данного нового канторова множества должна быть такой, что 9, возведенная в степень d, должна  [c.207]

Рис. 81 иллюстрирует зависимость размерности фрактальной структуры троичного канторова множества как функцию уровня разрешения. Данная величина называется корреляцией и подсчитывает число пар точек в канторовом множестве, отделенных друг от друга расстоянием меньшим, чем разрешение. В таком двойном логарифмическом представлении наклон линии должен быть равен действительной фрактальной размерности d=ln2/ln3=0,6309..., поскольку корреляционная функция растет согласно разрешению, возведенному в степень d. Здесь мы снова видим логопериодические осцилляции, осложняющие линейный в среднем, тренд с положительным, в среднем, наклоном. Данные логопериодические структуры отражают дискретную масштабную инвариантность канторова множества.  [c.208]

В качестве последней иллюстрации приведем функцию Вейерштрасса, показанную на Рис. 74, и обладающую действительным значением фрактальной размерности, равным 1,5. Поскольку она проявляет сильную дискретную масштабную инвариантность с предпочтительным масштабным коэффициентом (для последовательных остроконечных структур), равным 2, то она наделена бесконечным числом комплексных фрактальных размерностей, заданных выражением l,5+i2jm/ln2=l,5+i9,06n, где и принимает любое возможное целочисленное значение. По мере того, как целое и растет до все больших и больших значений, соответствующие комплексные размерности описывают все меньшие и меньшие паттерны с дискретной масштабной инвариантностью.  [c.208]

Эмпирическое определение существования сингулярности в динамике населения или экономических индексов опирается на способ, при которым они увеличиваются до критического момента времени. Оказывается, они это делают в самоподобной или фрактальной манере для данного фиксированного сокращения дистанции до времени сингулярности, популяция умножается на данный фиксированный фактор. Повторение сокращения, чтобы приблизиться к сингулярности ведет к тому же самому умножению популяции на тот же самый фактор. Эти свойства описываются в соответствии с математическим законом, называемым степенным и уже обсуждались в предыдущих главах. Степенные законы описывают самоподобные геометрические структуры фракталов. Как мы видели в главе 6, фракталы - это геометрические объекты, имеющие структуру на всех масштабах, и которые описывают множество комплексных систем, типа изящно изрезанного побережья Бретани или Норвегии, иррегулярную поверхность облаков или преходящую структуру речной дельты. Экспонента степенного закона - так называемое фрактальная размерность, которая в данном контексте, количественно определяет правильную множественную (мультипликативную) структуру, проявляющуюся на популяции, на финансовых индексах и во временном развитии до момента сингулярности.  [c.354]

Тот факт, что график в логарифмическом масштабе по одной оси не охватывает данные, означает, что экспоненциальная модель масштабирования не соответствует этой системе. Модель должна использовать степенную зависимость (вещественное число, возведенное в степень), а не экспоненциал (е, возведенное в степень). Эта особенность масштабирования по степенному закону, которая объясняет масштабную структуру легкого, оказывается вторым свойством фракталов, фрактальной размерностью, которая может описывать либо физическую структуру, такую как легкое, либо временной ряд.  [c.25]

Для обсуждения фрактальной размерности мы должны вернуться к конфликту между Благом и Демиургом. Основное свойство евклидовой геометрии - это то, что размеры являются целыми числами. Линии одномерны. Плоскости двумерны. Тела трехмерны. Даже гиперизмерения, развитые в более поздние эры, обладают размерностью, выражаемой в целых числах. Например, пространственно-временной континуум Эйнштейна является четырехмерным, время является четвертым измерением. Евклидовы формы "совершенны", чего можно ожидать от Блага. Они гладкие, непрерывные, гомогенные и симметричные. Они также неадекватны для описания мира Демиурга, который они могут описывать только как общие упрощения.  [c.25]

Значение R/S уравнения (4.7) называется нормированным размахом, потому что оно имеет нулевое среднее и выражается в терминах местного стандартного отклонения. В общем, значение R/S изменяет масштаб по мере увеличения нами приращения времени п согласно значению степенной зависимости, равному Н, который обычно называется показателем Херста. В этом заключается первая связь явлений Херста с фрактальной геометрией, описанной в Главе 1. Вспомните, что все фракталы изменяют масштаб согласно степенной зависимости. В легком млекопитающих диаметр каждого ответвления уменьшался в масштабе согласно обратному значению степенной зависимости. Это обратное значение степенной зависимости равнялось фрактальной размерности структуры. Однако в отношении временного ряда мы идем от меньших приращений времени к большим, а не от больших поколений ответвлений к меньшим, как в легком. Диапазон увеличивается согласно степени. Это называется масштабированием со степенной зависимостью (power-law s aling). Опять же, это является характерной, хотя и не исключительной, чертой фракталов. Нам нужны другие характеристики, прежде чем мы сможем  [c.64]

Функция Вейерштрасса накладывает бесконечное число синусоидальных волн. Мы начинаем с главной, или основной частоты w с амплитудой 1. Добавляется второй гармонический член с частотой bw и амплитудой 1/а, где а и b больше 1. Третий гармонический член имеет частоту b2w и амплитуду 1/а2. Четвертый член имеет частоту b3w и амплитуду 1/а3. Как обычно происходит с непрерывной функцией, прогрессия продолжается бесконечно. Каждый член имеет частоту, которая является степенью Ь, большей чем предыдущая, и амплитуду, которая является степенью меньшего а. Используя уравнение (1.5) из Главы 1, мы видим, что фрактальная размерность D этой кривой будет ln(a)/ln(b). Формальное уравнение функции Вейерштрасса выглядит следующим образом, будучи записанным в качестве ряда Фурье  [c.94]

Степень нерегулярности и, следовательно, лежащая в основе фрактальная размерность зависит от временного лага п. Однако уравнение позволяет изменять лаг и, следовательно, используемый цикл. Мы можем использовать уравнение Макки-Гласса для проверки нашей гипотезы о том, что R/S-анализ может оценить среднюю длину непериодического цикла.  [c.100]

Вейерштрасса, добавление циклов более высокой частоты делает временной ряд более изрезанным, и таким образом уменьшает показатель Херста (или увеличивает фрактальную размерность). Менее частая выборка "перескакивает" через более высокие частоты.  [c.112]

Почему теперь мы называем эти распределения не только устойчивыми, как называл их Леви, но еще и фрактальными Масштабный параметр с является ответом. Если характеристический показатель а и параметр асимметрии (3 остаются теми же самыми, изменение с просто приводит к изменению масштаба распределения. После внесения поправки на масштаб вероятности остаются одинаковыми во всех масштабах с равными значениями а и р. Таким образом, а и Р не зависят от масштаба, хотя с и 8 от него зависят. Это свойство делает устойчивые распределения самоподобными при изменениях в масштабе. Как только мы вносим поправку на масштабный параметр с, вероятности остаются теми же самыми. Ряды - и, следовательно, распределения - безгранично делимы. Эта самоподобная статистическая структура является причиной, по которой мы теперь говорим об устойчивых распределениях Леви как о фрактальных распределениях. Характеристический показатель а, который может принимать дробные значения между 1 и 2, является фрактальной размерностью пространства вероятностей. Подобно всем фрактальным размерностям, она представляет собой масштабное свойство процесса.  [c.200]

Фрактальная размерность пространства вероятностей таким образом связана с фрактальной размерностью временного ряда. Как это часто бывает, две фрактальных размерности будут иметь подобные значения, хотя они измеряют различные аспекты процесса. Н измеряет фрактальную размерность проекции прямой времени фрактальной размерностью 2 - Н, но оно также связано со статистическим самоподобием процесса через форму уравнения (14.10). Однако 1/Н измеряет фрактальную размерность пространства вероятностей.  [c.205]

Мы уже исследовали одно такое фазовое пространство, аттрактор Лоренца (Глава 6). Здесь фазовая диаграмма никогда не повторяется, хотя она ограничена формой "глаза совы". Они "притягивается" к этой форме, которую часто называют ее "точкой притяжения (аттрактором)". Если мы исследуем линии в пределах аттрактора, мы находим самоподобную структуру линий, вызванную повторным сворачиванием аттрактора. Непересекающаяся структура линий означает, что процесс никогда не заполнит свое пространство полностью. Его размерность, таким образом, является дробной. Фрактальная размерность аттрактора Лоренца составляет приблизительно 2,08. Это означает, что его структура немного больше, чем двумерная плоскость, но меньше чем трехмерное тело. Следовательно, он также является созданием Демиурга.  [c.229]