Квадратная матрица А называется симметрической (симметричной), если А = А, т. е. а д//, / = 1,..., n j = 1,..., п. [c.272]
Симметрическая матрица А -го порядка называется положительно (неотрицательно) определенной, если для любого ненулевого вектора х = (х, Х2,..., х ) выполняется неравенство [c.272]
Матрица А 1, обратная к А, также симметрическая и положительно определенная. [c.273]
Вообще говоря, требование симметричности матрицы А не строго обязательно для определения идемпотентной матрицы, но именно симметрические идемпотентные матрицы встречаются в эконометрике. [c.274]
Если ф(х)= х Ах, где А — симметрическая квадратная матрица я-го порядка, то [c.277]
Обозначения. LM X-версия следует в основном обозначениям переработанного издания 1999 г. со следующими тремя исключениями. Во-первых, обозначения для вектора, состоящего из единиц (1,1,.. . , I)7, изменилось от каллиграфического s на г (г без точки) во-вторых, обозначение для мнимой единицы изменилось с i на более употребительное г и, в-третьих, обозначение v(A) для вектора, состоящего из существенно различных компонент симметрической матрицы Л, заменено на v(A). [c.19]
Пусть а есть п х 1 вектор, А есть п х п матрица и В — п х га матрица. Выражение а х называется линейной формой по ж, выражение х Ах называется квадратичной формой по ж, а выражение х By — билинейной формой по х и у. В квадратичных формах без потери общности можно считать матрицу А симметрической, поскольку в противном случае А можно заменить на (А + А /2 [c.26]
Таким образом, пусть А есть симметрическая матрица. Будем говорить, что А является [c.26]
Пусть Л — матрица размера т х п, В и С — квадратные матрицы порядка п, причем В — симметрическая. Тогда [c.27]
Как будет видно дальше, из теоремы 4, собственные значения вещественной симметрической матрицы будут вещественными. Однако в общем случае собственные значения (и собственные векторы) могут быть комплексными. В настоящей книге комплексные числа появляются только в связи с собственными значениями и собственными векторами несимметрических матриц (гл. 8). Поэтому подробное изучение комплексных матриц опускается. Все матрицы и векторы в дальнейшем будут предполагаться вещественными, за исключением тех случаев, когда специально оговорено, что они комплексные. [c.34]
Хотя собственные значения в общем случае являются комплексными, собственные значения вещественной симметрической матрицы всегда вещественные. [c.35]
Вещественная симметрическая матрица имеет только вещественные собственные значения. [c.35]
Доказательство. Пусть Л есть собственное значение вещественной симметрической матрицы Л, а х = и + iv — соответствующий собственный вектор. Тогда [c.35]
Симметрическая матрица положительно определена (неотрицательно определена) в том и только том случае, когда все ее собственные значения положительны (неотрицательны). [c.36]
Наиболее важный случай теоремы Шура о разложении относится к симметрической матрице А. [c.38]
Пусть А — вещественная симметрическая матрица порядка п. Тогда существуют ортогональная матрица S порядка п (т.е. Sf S = /п), столбцы которой являются собственными векторами Л, и диагональная матрица Л, диагональные элементы которой являются собственными значениями Л, такие что [c.38]
Пусть А — вещественная симметрическая матрица порядка п с собственными значениями AI J А2 J. . . Ап. Используя теорему 13, доказать, что для х ф О [c.39]
Доказательство. Поскольку А А есть вещественная симметрическая (и, более того, неотрицательно определенная) матрица порядка т и в силу (7.3) имеющая ранг г, то все ее ненулевые собственные значения положительны (теорема 8). По теореме 13 существует ортогональная матрица (S 5 ) порядка га, такая что [c.41]
Если матрица А — симметрическая с г ненулевыми собственными значениями, [c.43]
Отметим, что в теореме 21 матрица А не обязательно симметрическая. Если А — идемпотентная и симметрическая, тогда она неотрицательно определена. Поскольку ее собственные значения равны 0 либо 1, то, по теореме 13, матрица А может быть записана как [c.44]
Пусть А — положительно определенная матрица и В — симметрическая матрица того же порядка. Тогда существуют невырожденная матрица Р и диагональная матрица Л, такие что [c.46]
Доказательство. Пусть С = А 1/2ВА 1/2. Поскольку С — симметрическая, то, по теореме 13, существуют ортогональная матрица S и диагональная матрица Л, такие что [c.46]
Для двух симметрических матриц А и В мы будем писать А В (или В Л), если матрица А — В — неотрицательно определенная, и А > В (или В < Л), если А — В — положительно определенная. [c.46]
Симметрическая матрица А порядка п является положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры Ak (k = 1,. . . , п) положительны. [c.48]
Вещественная симметрическая матрица является диагональной тогда и только тогда, когда ее собственные значения и диагональные элементы совпадают. [c.50]
Доказательство. Пусть А = (а -) — симметрическая матрица порядка п. Достаточность очевидна. Чтобы доказать необходимость, предположим, что i(A) = ац, г = 1,. . . , п, и рассмотрим матрицу [c.50]
Доказать, что если матрицы Аи В — симметрические, то матрица АВВА — кососимметрическая. [c.51]
Пусть А = А = А2 и А В = В. Тогда А — ВВ+ — симметрическая идемпотентная матрица, имеющая ранг г (Л) — г (В). В частности, если г (Л) = г(В), то А = ВВ+. [c.63]
Пусть А — симметрическая идемпотентная матрица порядка п и пусть А В = 0. Тогда если г (А) + г (В) = п, то А = 1п - ВВ+. [c.63]
Доказательство. Обозначим С = 1п — А. Тогда матрица С является симметрической идемпотентной и С В = В. Далее, г (С) = п — г (А) = г (В). Поэтому, в силу теоремы 8, С = ВВ+, т.е. А = 1п — ВВ+. П [c.63]
Пусть А — симметрическая матрица порядка т, В — т х п матрица, [c.68]
Пусть А — симметрическая матрица порядка п (п 2) ранга г (А) = п — 1. Пусть и — собственный вектор Л, соответствующий (простому) нулевому собственному значению, т. е. Аи = 0. Тогда [c.74]
Доказательство. Пусть X — симметрическая матрица порядка п. Тогда [c.81]
Понятие положительно (неотрицательно) определенной симметрической матрицы А тесно связано с понятием положительно определенной (полуопределенной) квадратичной формы. [c.273]
Отметим, что выражение (4.4.27) представляет собой один из возможных вариантов так называемых энергетических тождеств, широко используемых при исследовании симметрических гиперболических систем уравнений. В частности в [Мизо-хата, 1977] оно применялось для обоснования существования и единственности обобщенного решения. Учтем, что матрица 5+(s, t) неотрицательно определена, а элементы матриц, t)]si-> i = 1, 2,. .., m, ограничены в Р, т.е. существует [c.346]
Конечно, если обе матрицы D и Е не вырождены, то блоки в (6) и (7) взаимозаменяемы. Результаты (6) и (7) легко распространяются на случай 3x3-разбиения матриц. Мы рассмотрим здесь только один симметрический случай, когда два внедиагональных блока являются нулевыми. [c.32]
Квадратная комплексная матрица Z называется эрмитовой, если Z = Z (комплексный эквивалент симметрической матрицы), и унитарной, если = / (комплексный эквивалент ортогональной матрицы). [c.34]
Теорема 30 определяет необходимые и достаточные условия для диаго-нальности симметрической матрицы. [c.50]
Для симметрической матрицы А вектор v(A) содержит только неповторяющиеся элементы А. Поскольку ve А содержит повторяющиеся элементы v(A), существует единственная матрица размера гг2 х п(п + 1), переводящая (для симметрических матриц A) v(A) в ve А. Эта матрица называется дуплици-рующей 1 и обозначается Dn. Тогда [c.80]
Поскольку симметричность X не накладывает ограничений на v(X), мы получаем (а). Для доказательства (б) введем Nn = ( n2 + Кп)- Тогда из (а) получаем, что NnDn = Dn. Nn — симметрическая идемпотентная матрица ранга r(Nn) = r(Dn) = n(n + l) (теорема 11(6)). Тогда по теореме 2.8 Nn = DnD+. Наконец, (в) следует из (б) и того, что Кп(Ъ 0 А) = А 0 Ь. П [c.81]
Пусть AI — симметрическая матрица порядка п + 1. Мы хотим представить матрицы Dfn l(Ai 0 Ai)Dn+i и D l(Ai 0 i)D +1 в виде блочных матриц. В частности, нас будет интересовать, является ли матрица Dfn(A 0 A)Dn подматрицей D n+l(Ai 0 i)Dn+i, а (Л 0 A)D+ — подматрицей D +l(Ai [c.82]
Смотреть страницы где упоминается термин Матрица симметрическая
: [c.56] [c.84] [c.96] [c.337] [c.33] [c.49] [c.60] [c.60]Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике (2002) -- [ c.25 , c.34 ]
Справочник по математике для экономистов (1987) -- [ c.60 ]