Если матрица (10.12) является положительно определенной, т. е. имеет только положительные собственные значения, то модель (10.2) лучше оценивает параметр р, даже если на самом деле верна модель (10.1). [c.246]
Можно показать, что матрица вида (10.12) является положительно определенной в том и только том случае, если выполняется условие [c.247]
Матрица А 1, обратная к А, также симметрическая и положительно определенная. [c.273]
Ниже приводится важная теорема, касающаяся положительно определенных матриц. [c.36]
Понятие о положительно (неотрицательно) определенных матрицах было введено в 6. Мы уже видели, что матрицы АА и А А — неотрицательно определенные, и по теореме 8 собственные значения положительно (неотрицательно) определенной матрицы положительны (неотрицательны). Представим еще ряд свойств положительно (неотрицательно) определенных матриц. [c.45]
Пусть А — положительно определенная матрица, а В — неотрицательно определенная. Тогда [c.45]
Доказательство. Пусть Л — положительно определенная диагональная матрица, такая что [c.45]
Пусть А — положительно определенная матрица и В — симметрическая матрица того же порядка. Тогда существуют невырожденная матрица Р и диагональная матрица Л, такие что [c.46]
Для двух симметрических матриц А и В мы будем писать А В (или В Л), если матрица А — В — неотрицательно определенная, и А > В (или В < Л), если А — В — положительно определенная. [c.46]
Пусть АиВ — положительно определенные матрицы порядка п. Тогда А > В тогда и только тогда, когда В 1 > А 1. [c.46]
Пусть Аи В — положительно определенные матрицы, причем А — В — неотрицательно определенная. Тогда А В, причем неравенство выполняется как равенство тогда и только тогда, когда А = В. [c.47]
Пусть А — положительно определенная матрица с единичным определителем, А = 1. Если при этом / — А — неотрицательно определенная, то А = I. [c.47]
ТРИ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТА ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ МАТРИЦ [c.47]
Пусть А — положительно определенная матрица порядка п, а В — квадратная матрица порядка п + 1 вида [c.47]
Ср. упр. 11.2.) Утверждение (i) теоремы — прямое следствие (5). Чтобы доказать (п), отметим, что В > 0 тогда и только тогда, когда а — b A lb > О (из (5)), что выполняется тогда и только тогда, когда матрица Р ВР положительно определена (из (4)). Это, в свою очередь, верно тогда и только тогда, когда В — положительно определенная. П [c.48]
По индукции из теоремы 27 немедленно вытекает следующий результат. Теорема 28 Если А = (aij) — положительно определенная матрица порядка п, то [c.48]
Симметрическая матрица А порядка п является положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры Ak (k = 1,. . . , п) положительны. [c.48]
Если А — положительно определенная матрица порядка п, то, в соответствии с теоремой 28, [c.49]
Доказать, что если А — положительно определенная матрица, то А + А 1 — 21 — неотрицательно определенная. [c.51]
Доказать, что собственные значения Л матрицы (А + В) 1 А, где А — неотрицательно определенная, а В — положительно определенная, удовлетворяют соотношению 0 Л < 1. [c.51]
Монотонность энтропийной сложности) Пусть Ап — положительно определенная матрица порядка п. Определим [c.51]
Пусть Лп 1 — положительно определенная матрица порядка п + 1, такая что [c.51]
Пусть А — положительно определенная (и, значит, симметрическая) матрица порядка п, а ф Rn — > И определяется как ф(х) = х Ах. Находим первый дифференциал [c.167]
Пусть а — п х 1 вектор и А — положительно определенная матрица порядка п. Доказать, что [c.176]
Вычислить матрицу Якоби функции ф(Х) = log Х. ДХ , где А — положительно определенная матрица, а X АХ не вырождена. [c.235]
Для любой положительно определенной п х п матрицы А с собственными значениями AI А2 . . . Ап [c.271]
Доказательство. Если либо Л, либо В вырождены, результат очевиден. Поэтому предположим, что обе матрицы Аи В положительно определены. Применяя упр. 2 из 21 к собственным значениям AI, . . . , Хп положительно определенной матрицы В 1/2АВ 1/2, получим [c.283]
Другой формулировкой результата теоремы 25 является то, что вещественная функция 0, определенная как ф(Л) = log Д , вогнута на множестве положительно определенных матриц. Это видно, если взять логарифмы обеих частей (2). Заметим, однако, что функция , заданная как ф(А) = Л , никогда не выпукла и не вогнута на множестве положительно определенных матриц. Это легко видеть, положив [c.284]
Показать, что для положительно определенной матрицы А [c.284]
Показать, что обращение матриц является матрично выпуклым на множестве положительно определенных матриц, т. е. показать, что матрица [c.284]
Показать, что log A tr A — п для любой положительно определенной матрицы А порядка п, причем равенство достигается лишь в случае А = 1п. [c.300]
Таким образом, и здесь положительная определенность матрицы (10.12) означает ббльшую предпочтительность короткой модели (10.2) — даже, если истинное значение параметра у не [c.246]
Понятие положительно (неотрицательно) определенной симметрической матрицы А тесно связано с понятием положительно определенной (полуопределенной) квадратичной формы. [c.273]
Определитель этой матрицы называется гессианом. Характеристика Г.м. (ее отрицательная или положительная определенность и полуопределенность) служит условием для определения вида стационарной точки является ли она соответственно максимумом, минимумом или седловой точкой в задаче оптимизации функции. [c.60]
Шестая часть посвящена оценкам максимального правдоподобия, которые, конечно, являются идеальным объектом для демонстрации мощи развиваемой техники. В первых трех главах исследуется несколько моделей, среди которых есть многомерное нормальное распределение, модель с ошибками в переменных и нелинейная регрессионная модель. Рассматриваются методы работы с симметрией и положительной определенностью, специальное внимание уделено информационной матрице. Вторая глава этой части содержит обсуждение одновременных уравнений при условии нормальности ошибок. В ней рассматриваются проблемы оценивания и идентифицируемости параметров при различных (не)линейных ограничениях на параметры. В этой части рассматривается также метод максимального правдоподобия с полной информацией (FIML) и метод максимального правдоподобия с ограниченной информацией (LIML), особое внимание уделено выводу асимптотических ковариационных матриц. Последняя глава посвящена различным проблемам и методам психометрики, в том числе методу главных компонент, мультимодальному компо- [c.16]
Доказательство. По теореме 23 существует невырожденная матрица Р и положительно определенная диагональная матрица Л = diag(Ai,. . . , Лп), такие что [c.46]
Доказательство (существование). Пусть А — т х п матрица с г (А) = г. Если г = 0, тоЛ = 0,и для Л+ = 0 выполнены все четыре условия определения. Поэтому можно считать, что г > 0. В силу теоремы 1.16 существуют полуортогональные матрицы S и Т и положительно определенная диагональная матрица Л порядка г, такие что [c.60]
Таким образом, х Ах > 0 для всех х Г < => Q1AQ — положительно определенная матрица -<=> С > 0 (k = 1,.. . , п — га) < => (—l)m Am+/g > О (k = 1,. . . , п — га). [c.88]
Пусть А = ( tij) есть положительно определенная п х п матрица с собственными значениями AI . . . An, a [c.271]