В частности, если га = 1, векторная функция / S —> Rm сводится к вещественной функции ф S —> R, матрица Якоби — к вектор-строке D0( ) размера 1 х п, а градиент — к вектор-столбцу V(f>( ) размера п х 1. [c.125]
Определим матрицу Якоби F в С следующим образом [c.136]
В 5.15 мы определили матрицу Якоби F в С как тр х nq матрицу [c.158]
Дифференциалы первого порядка и матрицы Якоби [c.223]
Основным инструментом в этой главе будет первая теорема об идентификации (теорема 5.11), которая говорит, как получить производную (матрицу Якоби) из дифференциала. На основании этой теоремы мы действуем следующим образом (i) вычисляем дифференциал матричной функции F(X), (ii) представляем в векторной форме, получая соотношение d ve F(X) = A(X)d ve X, и (iii) заключаем, что DF(X] = A(X). Простота и изящность этого подхода будет продемонстрирована на многих примерах. [c.223]
После всех этих критических замечаний укажем единственно возможное обобщение матрицы Якоби для случая матричной функции. [c.226]
Пусть F = (fst) есть дифференцируемая вещественная матричная функция размера т х р от матрицы X вещественных переменных размера п х q. Тогда матрицей Якоби функции F в точке X называется следующая тр х nq матрица [c.227]
ИДЕНТИФИКАЦИЯ МАТРИЦ ЯКОБИ [c.228]
Будем искать матрицу Якоби функции не путем вычисления каждой частной производной, а с помощью определения дифференциала. Для дифференцируемой векторной функции /(ж), согласно первой теореме об идентификации (теорема 5.6),существует взаимно-однозначное соответствие между дифференциалом функции of / и ее матрицей Якоби. А именно из равенства [c.228]
Используя полученные ранее результаты, вычислить матрицу Якоби для а ХЪ, а XX а и а Х 1а. [c.233]
Вычислить матрицу Якоби функции ф(Х) = tr F(X)AG(X)B. [c.233]
Теперь рассмотрим, как с помощью (1) можно найти дифференциалы и матрицы Якоби определителя некоторых простых матричных функций от X. Начнем с функции ХХ7 , где матрица X не обязана быть квадратной, но должна иметь полный ранг, совпадающий с количеством ее строк. Это нужно для того, чтобы определитель XX был ненулевым (следовательно, положительным). Тогда дифференциал этой функции равен [c.233]
Вычислить матрицу Якоби функции ф(Х) = log Х. ДХ , где А — положительно определенная матрица, а X АХ не вырождена. [c.235]
Вычислить матрицу Якоби функции ф(Х) = AF(X)BG(X) и получить равенства (3), (5), (7) и (8) как частные случаи. [c.235]
Показать, что матрица Якоби для векторной функции f(x) = Ag(x) равна 0/(ж) = ADg(x), и обобщить этот результат на случай, когда А — матричная функция от х. [c.236]
Показать, что матрица Якоби для векторной функции f(X) = X а равна D/pO = 7 а. [c.237]
Следовательно, матрица Якоби этой функции равна [c.238]
Найти матрицу Якоби для матричных функций АХ В и АХ 1 В. [c.240]
Найти матрицу Якоби для матричных функций ХАХ, X АХ, ХАХ [c.240]
Чему равна матрица Якоби для присоединенной матрицы F(X) = Х (см. 8.6). [c.240]
Вторая часть составляет теоретическое ядро книги. Она полностью посвящена строгому изложению теории дифференциалов и основ анализа, сформулированных на языке дифференциалов. Вводятся понятия первого и второго дифференциалов, приводится правило идентификации для матриц Якоби и Гессе. Завершает главу параграф, посвященный теории оптимизации при наличии ограничений, изложенный в терминах дифференциалов. [c.16]
Матрица D/( ) размера га х п в (2), ij-й элемент которой равен Dj/Дс), называется матрицей Якоби функции / в точке с. Она определена во всех точках, в которых существуют частные производные Djfi (г = 1,. . . , га j = 1,.. . , п) (так что матрица Якоби D/( ) может существовать даже тогда, когда функция / не дифференцируема в с). Если га = п, то определитель матрицы Якоби называется якобианом /. Матрица размера п х га, транспонированная по отношению к га х п матрице Якоби D/( ), называется градиентом f и обозначается V/( ) (символ V читается по-русски как набла 1). Таким образом, [c.125]
Ранее мы определили матрицу, которая содержит все частные производные первого порядка. Это была матрица Якоби. Теперь определим матрицу (называемую матрицей Гессе), которая содержит все частные производные второго порядка. Дадим определение этой матрицы сначала для вещественных, а затем для векторных функций. [c.141]
Поскольку функции Djgi непрерывны при и = 0, матрица Якоби А непрерывна в этой точке. По условию, матрица А(0) полного ранга т, а значит, существует i (О, JQ], такое что [c.186]
Мы начнем эту главу с некоторых вопросов, касающихся обозначений. Будем обозначать частные производные матричной функции F(X) как dfst(X)/dxij, что позволит рассматривать матрицу Якоби матричной функции по аналогии с матрицей Якоби векторной функции. [c.223]
Так как DF(X) — непосредственное обобщение традиционной матрицы Якоби df(x)/dxf для случая матричной функции, все свойства матрицы Якоби сохраняются. В частности, вопросы, связанные с необращением определителя (якобиана) в нуль в определенной точке имеют тот же смысл, что и прежде. [c.227]
Найти матрицу Якоби для векторной функции f(x) = V
Чему равна матрица Якоби для обращения Мура-Пенроуза F(X) = Х+ (см. 8.5). [c.240]
Смотреть страницы где упоминается термин Матрица Якоби
: [c.276] [c.72] [c.179] [c.184] [c.225] [c.228] [c.232] [c.233] [c.236] [c.236]Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике (2002) -- [ c.125 , c.136 , c.158 , c.227 ]
Эконометрика начальный курс (2004) -- [ c.506 ]