Свойства положительно (неотрицательно) определенных матриц. [c.273]
Положительно (неотрицательно) определенные матрицы 45 [c.45]
ПОЛОЖИТЕЛЬНО (НЕОТРИЦАТЕЛЬНО) ОПРЕДЕЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ [c.45]
Понятие о положительно (неотрицательно) определенных матрицах было введено в 6. Мы уже видели, что матрицы АА и А А — неотрицательно определенные, и по теореме 8 собственные значения положительно (неотрицательно) определенной матрицы положительны (неотрицательны). Представим еще ряд свойств положительно (неотрицательно) определенных матриц. [c.45]
У теоремы 1 есть несколько важных следствий. Во-первых, если А и В — положительно (неотрицательно) определенные матрицы, то матрица А В также положительно (неотрицательно) определена. Далее, поскольку определитель матрицы равен произведению ее собственных значений, то [c.56]
Симметрическая матрица А -го порядка называется положительно (неотрицательно) определенной, если для любого ненулевого вектора х = (х, Х2,..., х ) выполняется неравенство [c.272]
Доказательство. Поскольку А А есть вещественная симметрическая (и, более того, неотрицательно определенная) матрица порядка т и в силу (7.3) имеющая ранг г, то все ее ненулевые собственные значения положительны (теорема 8). По теореме 13 существует ортогональная матрица (S 5 ) порядка га, такая что [c.41]
Если, к тому же, матрица Л положительно (неотрицательно) определенная, AV ф 0, а у — непрерывный случайный вектор, то [c.362]
Предложение, У положительно определенной (неотрицательно определенной) матрицы А все собственные числа положительны (неотрицательны). [c.501]
Пусть А — положительно определенная матрица, а В — неотрицательно определенная. Тогда [c.45]
Если В = О, то А + В = А. Если В ф О, то матрица Л"1/25 /Б5 Л"1/2 будет неотрицательно определенной с хотя бы одним положительным собственным значением. Следовательно, / + Л 1/25 /Б5 Л 1/2 > 1 и А + В > А. П [c.46]
Для двух симметрических матриц А и В мы будем писать А В (или В Л), если матрица А — В — неотрицательно определенная, и А > В (или В < Л), если А — В — положительно определенная. [c.46]
Пусть Аи В — положительно определенные матрицы, причем А — В — неотрицательно определенная. Тогда А В, причем неравенство выполняется как равенство тогда и только тогда, когда А = В. [c.47]
Пусть А — положительно определенная матрица с единичным определителем, А = 1. Если при этом / — А — неотрицательно определенная, то А = I. [c.47]
Доказать, что если А — положительно определенная матрица, то А + А 1 — 21 — неотрицательно определенная. [c.51]
Доказать, что собственные значения Л матрицы (А + В) 1 А, где А — неотрицательно определенная, а В — положительно определенная, удовлетворяют соотношению 0 Л < 1. [c.51]
Экономический смысл этого определения прозрачен матрица А > 0 продуктивна, если существует такой план х > 0, что каждая отрасль может произвести некоторое количество конечной продукции (вектор у > 0). Следует заметить, что в научной литературе требование П.м. формулируется неоднозначно. В ряде случаев матрица называется продуктивной, если вектор х не положительный, как указано выше, а лишь неотрицательный х > 0, соответственно и матрица (/ — А) х > 0 предъявляются также некоторые требования к составу конечного продукта (вектору у) и т.д. [c.285]
Определение. Будем говорить, что А 0, если А — неотрицательно определена, и А > 0, если А положительно определена. Будем говорить, что А В (А > В), если матрица А— В неотрицательно определена (положительно определена). [c.500]
Понятие положительно (неотрицательно) определенной симметрической матрицы А тесно связано с понятием положительно определенной (полуопределенной) квадратичной формы. [c.273]
Очевидно, что матрицы В В и В В являются неотрицательно определенными /Б, а А — отрицательно (неположительно) определенная матрица тогда и только тогда, когда —А — положительно (полу) определенная матрица. Квадратная нулевая матрица является одновременно неположительно и неотрицательно определенной. [c.27]
Пусть V — неотрицательно определенная матрица порядка п ранга г. Пусть также Л — диагональная матрица порядка г с положительными элементами на главной диагонали, a S — полуортогональная п х г матрица, такая что [c.64]
Пусть Qn = (l/n)X X стремится к положительно определенной матрице Q при п — > оо (Рп при этом будет стремиться к неотрицательно определенной матрице Р). Тогда асимптотическая ковариционная матрица ML-оценок и v(S) равна [c.425]
Так как матрица V симметрическая и неотрицательно определеная, то существуют такие ортогональная матрица (S Т) и диагональная матрица Л, имеющая положительные диагональные элементы, что выполняются соотношения [c.343]
Первое доказательство теоремы 1 показывает, что даже если мы не предполагаем симметричности (или положительной определенности) матрицы П, решение И будет симметрично и неотрицательно определено (на самом деле, положительно определено с вероятностью 1). Поэтому нет никакого смысла предполагать симметрию на этом шаге. Тем не менее мы приводим два доказательства теоремы 1, где используется симметричность. Эти результаты нам понадобятся при обсуждении условий второго порядка (матрица Гессе и информационная матрица). [c.394]