Если неприводимая неотрицательная матрица имеет всего h характери- [c.25]
Предварительный этап. На этом этапе выполняются два последовательных преобразования матрицы С, в результате которых получается эквивалентная ей неотрицательная матрица С", в каждом столбце и каждой строке которой есть хотя бы один нуль. [c.204]
В результате предварительных преобразований мы переходим от задачи выбора на максимум с матрицей С к задаче выбора на минимум с матрицей С". Наименьшее возможное значение суммы п элементов неотрицательной матрицы равно, очевидно, нулю. Следовательно, наша задача сводится к выбору в матрице С" (или в эквивалентной ей матрице с неотрицательными элементами) п нулевых элементов, по одному в каждой строке и каждом столбце. [c.204]
Предварительный этап. На этом этапе осуществляются два последовательных преобразования матрицы С. Сначала находится максимальный элемент в каждом столбце в первом столбце максимальный элемент равен 5, во втором — 4, в третьем — 6, в четвертом — 5, в пятом — 5. Из максимального элемента вычитаются элементы этого столбца. Получается неотрицательная матрица, в каждом столбце которой есть хотя бы один нуль. Затем из каждой строки полученной матрицы вычитаем минимальный элемент этой строки. В результате подготовительного этапа осуществлен переход к неотрицательной матрице, в каждом столбце и каждой строке которой имеется хотя бы один нуль. [c.208]
Полученный нами критерий продуктивности матрицы А (теорема 1.3) в ряде случаев может быть использован для проверки матрицы А на продуктивность. Покажем, например, что если сумма элементов любого столбца неотрицательной матрицы А < 1 (в стоимостной модели баланса это означает, что при любому = 1,...,п суммарный вклад всех отраслей в выпуск продукции отрасли на 1 рубль j меньше 1, т. е. отрасль рентабельна), то А продуктивна. [c.259]
Собственные векторы неотрицательных матриц [c.262]
Рассмотрим следующую неотрицательную матрицу размера (п+1)(п+1) [c.266]
Продуктивной называется неотрицательная матрица А > 0, если существует хотя бы один такой положительный вектор х > 0, что [c.285]
МОДЕЛЬ НЕЙМАНА — простейшая модель расширяющейся экономики. Иными словами, это модель, задачами которой являются определение максимально возможного темпа роста экономической системы в целом, а также установление пропорций и цен согласно данному темпу роста. Такую модель разработал и предложил Дж. фон Нейман (1937 г.), ее задают две неотрицательные матрицы АиВ порядка х. Матрица А = (а) носит название матрицы затрат, В = (Ь) именуется матрицей выпуска. [c.384]
Имеет место теорема о цепочке если в модели международной торговли структурная матрица А такова, что любые две страны i и j можно связать цепочкой импорта от i к у, то уравнение АХ = X имеет положительное решение Х> 0, единственное с точностью до умножения на число. Заметим, что если А -неотрицательная матрица порядка пхп, то для установления возможности соединения любых i и у цепочкой чисел, в которой любые два соседних числа k и / таковы, что ац > 0, достаточно построить замкнутую цепочку, содержащую (возможно с повторениями) все натуральные числа от 1 до л. [c.19]
Но прежде чем переходить к проблемам планирования на основе межотраслевых балансов, необходимо выяснить, существует ли обратная матрица, используемая в формуле (2.4), а также не получим ли мы когда-нибудь отрицательные значения валовых выпусков отраслей Прежде чем ответить на этот вопрос, установим некоторые свойства коэффициентов прямых затрат. Во-первых, они неотрицательны, т. е. [c.136]
Таким образом, (Е-А)В-Е, т. е. В = (Е — А) 1. Итак, обратная матрица (Е — А 1 существует и представима в виде (2.8ч Из (2.8) следует, что все элементы матрицы (Е — А) 1 неотрицательны, а некоторые положительны. Таким образом, для любого неотрицательного вектора конечного продукта у существует неотрицательный вектор валовых выпусков х, удовлетворяющий соотношению (2.3). В этом случае матрицу прямых затрат А принято называть продуктивной ). [c.266]
Пусть выпуск в году t—i фиксирован. Тогда баланс (3.4) описывает связь между чистым конечным продуктом y(t) и соответствующими валовыми выпусками x(t). Это соотношение отличается от модели (2-.-30, на основе которой при продуктивной матрице А при любом неотрицательном векторе конечного продукта можно было найти неотрицательный вектор валовых выпусков отраслей. Для модели (3.3) неотрицательные значения валовых выпусков отраслей могут быть получены только в весьма узком диапазоне значений векторов чистого конечного продукта. Поэтому модель (3.3) может быть использована для поиска таких зна- [c.271]
Симметрическая матрица А -го порядка называется положительно (неотрицательно) определенной, если для любого ненулевого вектора х = (х, Х2,..., х ) выполняется неравенство [c.272]
Например, матрица А А неотрицательно определена, так как для любого вектора хх (А А)х (х А ) Ах = (Ах) Ах = у у > О, ибо у у представляет скалярный квадрат вектора у = Ах. [c.273]
Для положительно (неотрицательно) определенных матриц используется запись А > 0(А > 0). [c.273]
Соотношение А >В (А > В) означает, что матрица А— В положительно (неотрицательно) определена. [c.273]
Свойства положительно (неотрицательно) определенных матриц. [c.273]
Если А > О (А > 0), то все собственные значения матрицы А положительны (неотрицательны), Т,,е. А,, > О (А,, > 0), / = 1,..., п. [c.273]
Все идемпотентные матрицы неотрицательно определены. [c.274]
Матрицы и.о.п. Amn= // // // (2) являются неотрицательными (at. > 0), [c.71]
А - матрица задолженностей предприятий, неотрицательно [c.84]
Полученная матрица С" является неотрицательной, и в каждом столбце этой матрицы имеется хотя бы один нуль. [c.204]
Так как приведенная матрица содержит только неотрицательные элементы, то сумма приводящих констант может служить нижней границей длины цикла / при исходной матрице С, т. е. является оценкой исходного множества GP (G°)=Aj.. [c.213]
Все компоненты матрицы А и вектора у неотрицательны (это вытекает из экономического смысла А и вектора у и записывается так А > О, у > 0. [c.256]
Матрица А > 0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е-А) 1 существует и неотрицательна. [c.258]
Если (Е - А) 1 существует и неотрицательна, то из формулы (1.6) следует продуктивность матрицы А. [c.258]
Каждая из этих систем в силу продуктивности матрицы А имеет неотрицательное решение, т. е. существуют такие векторы (столбцы), с, > 0,с2 > 0,....с > 0, что [c.258]
Доказательство. Пусть сходится ряд (1.10). Согласно лемме, его сумма равна (Е-А)". При этом сумма указанного ряда будет неотрицательна, поскольку все слагаемые ряда неотрицательны. Итак, матрица (Е-А) 1 существует и неотрицательна. Отсюда по теореме 1.1 следует продуктивность А. Обратное утверждение (если А продуктивна, то ряд (1.10) сходится) доказывать не будем. [c.259]
Данную матрицу называют матрицей коэффициентов полных внутрипроизводственных затрат. Коэффициент bJ выражает стоимость той части валового продукта 0. (i), которая необходима j (О ) Для выпуска ею единицы конечной продукции. Матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е-А) =В неотрицательна. [c.261]
Пусть А — неотрицательная квадратная матрица. Тогда [c.262]
Пусть А = (ау)>0 — положительная матрица, х >О — неотрицательный нулевой вектор. Рассмотрим произведение Ах. Пусть (Ax)i— i-я координата вектора Ах. Тогда [c.263]
Перрона следует, что существует неотрицательный вектор р, такой, что Ар = ЛАр. Выше было доказано, что неотрицательный собственный вектор положительной матрицы является положительным. Поэтому в действительности р >0. Рассмотрим скалярное произведение (р,Ау). Имеем [c.264]
Полученная матрица С" называется приведенной. Она обладает тем свойством, что в каждой ее строке и столбце имеется по крайней мере один нуль. Процесс, позволяющий из неотрицательной матрицы С получить приведенную неотрицательную матрицу С", называется приведением. Сумма вычитаемых в процессе приведения элементов называется приводящими константами и обозначается п . Оптимальный план задачи о коммивояжере с матрицей С" явля- ется оптимальным и для задачи о коммивояжере с матрицей С. Длина цикла l (t) на приведенной матрице будет меньше длины цикла /(/) на исходной матрице на сумму приводящих констант [c.213]
Определение 1.3. Максимальное по модулю собственное значение неотрицательной матрицы А называется числом Фробениуса матрицы А, а соответствующий ему неотрицательный собственный вектор — вектором Фробениуса для А. [c.265]
Понятие собственного значения, а также понятие вектора Фробениуса неотрицательной матрицы А позволяют по-новому подойти к вопросу о продуктивности модели Леонтьева. [c.265]
В соответствии с теоремой Фробениуса-Перрона максимальное по модулю собственное значение АА неотрицательной квадратной матрицы А > О неотрицательно, а среди собственных векторов, принадлежащих ЛА, имеется неотрицательный вектор. В случае А > О все неотрицательные собственные векторы матрицы А положительны и принадлежат только ее максимальному по модулю собственному значению ЛА. Кроме того, в этом случае любые два положительных собственных вектора у и х отличаются лишь числовым множителем, т.е. у= ах. Максимальное по модулю собственное значение ЛА неотрицательной матрицы А называется числом Фробениуса матрицы А, а соответствующий ему неотрицательный собственный вектор - вектором Фробениуса для матрицы А. [c.11]
Поскольку из (2.5) следует неотрицательность элементов матрицы. 42, то alf qz(i = 1,. . ., п / = 1, , т). Аналогичным образом показывается, что для любой матрицы А1 ее элементы ац удовлетворяют условию 0 a.ij q. Поэтому lima / = 0 и, кроме [c.265]
Понятие положительно (неотрицательно) определенной симметрической матрицы А тесно связано с понятием положительно определенной (полуопределенной) квадратичной формы. [c.273]
Особенность матрицы А в модели Леонтьева состоит в том, что все элементы этой матрицы неотрицательны. Теорема 1.1 (Фробениуса-Перрона). [c.262]
В случае А > О все неотрицательные собственные векторы матрицы А положительны и принадлежат только ее максимальному по модулю сйбственному значению ХА. Кроме того, в этом случае любые два положительных собственных вектора х и У отличаются лишь числовым множителем у = ССх. [c.262]