Условие неотрицательности вектора х характерно для экономико-математических моделей, поэтому его удобно выписать отдельно. Задачу лилейного программирования можно записать и в развернутой, координатной форме [c.50]
Таким образом, (Е-А)В-Е, т. е. В = (Е — А) 1. Итак, обратная матрица (Е — А 1 существует и представима в виде (2.8ч Из (2.8) следует, что все элементы матрицы (Е — А) 1 неотрицательны, а некоторые положительны. Таким образом, для любого неотрицательного вектора конечного продукта у существует неотрицательный вектор валовых выпусков х, удовлетворяющий соотношению (2.3). В этом случае матрицу прямых затрат А принято называть продуктивной ). [c.266]
Точнее говоря, матрица прямых затрат А называется продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор х°, что (Е — А)х° > 0. Поскольку для этого необходимо и достаточно, чтобы (Е — 4) 5гО, то неотрицательность матрицы В = (Е — А)"1 также может браться в качестве определения продуктивности матрицы прямых затрат. [c.266]
Пусть выпуск в году t—i фиксирован. Тогда баланс (3.4) описывает связь между чистым конечным продуктом y(t) и соответствующими валовыми выпусками x(t). Это соотношение отличается от модели (2-.-30, на основе которой при продуктивной матрице А при любом неотрицательном векторе конечного продукта можно было найти неотрицательный вектор валовых выпусков отраслей. Для модели (3.3) неотрицательные значения валовых выпусков отраслей могут быть получены только в весьма узком диапазоне значений векторов чистого конечного продукта. Поэтому модель (3.3) может быть использована для поиска таких зна- [c.271]
Среди собственных векторов, принадлежащих ХА, имеется неотрицательный вектор. [c.262]
Перрона следует, что существует неотрицательный вектор р, такой, что Ар = ЛАр. Выше было доказано, что неотрицательный собственный вектор положительной матрицы является положительным. Поэтому в действительности р >0. Рассмотрим скалярное произведение (р,Ау). Имеем [c.264]
Таким образом, в качестве основного параметра линейной производственной системы можно принять вектор основных производственных способов /, ,..., Рк. При этом характеристикой внутреннего состояния системы следует считать неотрицательный вектор их [c.59]
В рамках обсуждаемой модели МПВ представляет собой множество неотрицательных векторов конечных продуктов (х), компоненты которых [c.677]
Умножая неравенство (25.7) справа почленно на неотрицательный вектор Y T , мы получаем [c.84]
X + aU)A = ХА + aUA B, а на основании (25.19) и неотрицательности вектора X [c.87]
Задача выбора наилучшего распределения капиталовложений — это частный случай задачи выбора наилучшего варианта капиталовложений. Действительно, каждый неотрицательный вектор Лл, Кг,. .., Ki), удовлетворяющий ограничению (3.68), является вариантом капиталовложений обозначим его как (вар) , а зависимость суммарной дополнительной прибыли от варианта капитальных вложений как [c.91]
Согласно замечанию к теореме 1.2, оптимальные значения целевых функций взаимно двойственных задач совпадают, т. е. иЪ-ск. Последнее означает, что (и А - с)х = 0. Однако скалярное произведение двух неотрицательных векторов может быть равно нулю только в том случае, когда все попарные произведения их соответствующих координат равны нулю. Следовательно, если х > О, то и а1 - с. = 0, если же х = О, то возможно и a -GJ > О, что и утверждается в теореме. [c.62]
В рамках обсуждаемой модели МПВ представляет собой множество неотрицательных векторов конечных продуктов (х), компоненты которых удовлетворяют балансовым соотношениям (1) при условии, что валовые объемы (у) удовлетворяют ограничениям [c.422]
Пусть выполнено соотношение (р). Тогда решение Задачи 3 существует при любом неотрицательном векторе цен благ. [c.127]
Это условие выполнено, например, если Xi состоят из неотрицательных векторов, и суммарные начальные запасы любого блага положительны. Поскольку суммарные начальные запасы положительны, то в равновесии всегда существует потребитель г, который предъявляет спрос на некоторое благо k в каком-то из состояний мира, а, следовательно, и во всех состояниях мира, и этого блага [c.294]
Геометрически задача (1.1), (1.2) состоит в поиске неотрицательного вектора, образ которого при заданном аффинном преобразовании также неотрицателен и ортогонален ему. [c.5]
Геометрически нелинейная задача о дополнительности состоит в поиске неотрицательного вектора х такого, что образ F(x) также неотрицателен и ортогонален х. [c.32]
Итерации делятся на большие и малые. Каждая большая итерация начинается с определения нового значения параметра z0. Затем следует серия малых итераций, во время которых значение z0 не меняется. Цель малых итераций — создать условия для возможного снижения этого значения. Ввод и вывод из базиса переменных производится так, чтобы поддерживать неотрицательность вектора q. Эта неотрицательность поддерживается и при переопределении z0. [c.85]
Целевая функция обычно монотонна и выпукла, аргументы — целочисленные неотрицательные, вектор-функция G(X) состоит из линейных компонент (стоимость, вес, объем). Чаще всего ограничение одно. [c.187]
Доказательство. Это следует из уравнения 3.6 и неотрицательности вектора р. Доказательство закончено. [c.28]
Действительно, пусть пара векторов у, Я является решением сформулированной задачи, т. е. эти векторы неотрицательны, удовлетворяют соотношению (2.8), и на [c.138]
Заметим, что среди I неравенств могут быть и неравенства, отражающие требования неотрицательности элементов вектора х. Часто такие неравенства выписывают отдельно. [c.151]
На вектор спроса у можно заранее наложить некоторые ограничения. Во-первых, компоненты этого вектора могут принимать лишь неотрицательные значения [c.115]
Прежде всего для простоты часто предполагают, что количество товаров может изменяться непрерывно, т. е. элементы вектора у могут принимать любые неотрицательные значения. Далее предполагают, что функция и(у) меняется непрерывно и имеет все необходимые частные производные. Эти предположения по своей природе аналогичны соответствующим предположениям о производственных функциях и имеют математическую природу. [c.116]
Симметрическая матрица А -го порядка называется положительно (неотрицательно) определенной, если для любого ненулевого вектора х = (х, Х2,..., х ) выполняется неравенство [c.272]
Например, матрица А А неотрицательно определена, так как для любого вектора хх (А А)х (х А ) Ах = (Ах) Ах = у у > О, ибо у у представляет скалярный квадрат вектора у = Ах. [c.273]
Часто вместо условия (2.13) формулируется более сильное математическое требование, близкое к (2.13). по смыслу f(x) — вогнутая (выпуклая вверх) функция своих аргументов на неотрицательном ортанте, т. е. для любых двух неотрицательных векторов х и х и любого числа a tO, 11 справедливо неравенство [c.73]
Таким образом, как и в модели Блэка, в модели Марковица наличие отрицательной корреляции между доходностями активов позволяет добиться существенного снижения риска в том смысле, что оптимальный портфель будет лучше одного актива и не хуже другого. Нахождение параметра /, который задает пропорции инвестиций оптимального портфеля, сводится к решению уравнения da21 dt = 0. Поскольку в модели Марковица требуется неотрицательность вектора х (t, 1 - / ), постольку при / g [0 1] получается портфель, состоящий из какого-то одного актива. [c.477]
Существуетли решение этой системы И если существует, то принадлежит ли оно области неотрицательных чисел Иными словами, существуют ли неотрицательные векторы цен и количеств, удовлетворяющие уравнениям (1) — (6) [c.220]
Однако точка х предполагалась допустимой, что означает выполнение баланса Si %i < w Умножая это векторное неравенство на неотрицательный вектор цен р и пользуясь условием дополняющей нежесткости (17) (законом Вальраса) получим оценку, противоречащую (25) [c.18]
Теорема 6.1. Завершение метода Лемке на луче влечет существование такого ненулевого неотрицательного вектора z, что [c.23]
В соответствии с теоремой Фробениуса-Перрона максимальное по модулю собственное значение АА неотрицательной квадратной матрицы А > О неотрицательно, а среди собственных векторов, принадлежащих ЛА, имеется неотрицательный вектор. В случае А > О все неотрицательные собственные векторы матрицы А положительны и принадлежат только ее максимальному по модулю собственному значению ЛА. Кроме того, в этом случае любые два положительных собственных вектора у и х отличаются лишь числовым множителем, т.е. у= ах. Максимальное по модулю собственное значение ЛА неотрицательной матрицы А называется числом Фробениуса матрицы А, а соответствующий ему неотрицательный собственный вектор - вектором Фробениуса для матрицы А. [c.11]
Математически это требование формулируется следующим образом / (х) — вогнутая (выпуклая вверх) функция своих аргументов на неотрицательном ортанте. Напомним, что функция называется вогнутой на множестве X, если для любых двух точек (векторов) xt и л 2 из множества X и любого числа а е [О, 1] справедливо неравенство [c.93]
Обычно относительно производственной функции (2.8) делают предположение, очень удобное с математической точки зрения,— предположение о непрерывном изменении переменных х и достаточно плавном изменении выпуска при изменении затрат ресурсов. В математической форме эти предположения имеют следующий вид функция (2.8) задана при всех неотрицательных значениях составляющих вектора х (как принято говорить, на неотрицательном ортанте) и является непрерывной (или нужное число раз дифференцируемой) функцией своих аргументов. На практике ресурсы и продукция зачастую не могут меняться непрерывно — их количество дискретно и измеряется, например, в штуках. Описание с помощью переменных, принимающих любые вещественные значения, и непрерывных функций означает в таких-случаях, что число выпускаемых и потребляемых единиц достаточно велико, чтобы дискретностью МОЖНО было пренебречь. [c.70]
Постановка (3.1) —(3.3) включает статистические ограничения (3.2), характеризующие неотрицательность в среднем функции/(со, х), и вероятностные ограничения (3.3), устанавливающие принадлежность вектора неременных х заданной области G° (to) в большинстве случаев при у > 0,5. Условия (3.3) для 7 1 описывают так называемые жесткие вероятностные и (или) детерминированные ограничения [c.55]
Пусть уа - некоторая точка неотрицательного ортанта Е1. На f-м шаге закрепим все компоненты у 1, кроме i -й. Тогда у =yt— 1 +0,-ег, где вектор е Ет -единичный вектор (/-я компонента его равна 1, а остальные —нулю), а в,- определяется из условия [c.133]