Для положительно (неотрицательно) определенных матриц используется запись А > 0(А > 0). [c.273]
Свойства положительно (неотрицательно) определенных матриц. [c.273]
Доказательство. Поскольку А А есть вещественная симметрическая (и, более того, неотрицательно определенная) матрица порядка т и в силу (7.3) имеющая ранг г, то все ее ненулевые собственные значения положительны (теорема 8). По теореме 13 существует ортогональная матрица (S 5 ) порядка га, такая что [c.41]
Положительно (неотрицательно) определенные матрицы 45 [c.45]
Если А — неотрицательно определенная матрица порядка п ранга г (А) = г, то существует матрица G размера п х г, такая что [c.45]
ПОЛОЖИТЕЛЬНО (НЕОТРИЦАТЕЛЬНО) ОПРЕДЕЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ [c.45]
Понятие о положительно (неотрицательно) определенных матрицах было введено в 6. Мы уже видели, что матрицы АА и А А — неотрицательно определенные, и по теореме 8 собственные значения положительно (неотрицательно) определенной матрицы положительны (неотрицательны). Представим еще ряд свойств положительно (неотрицательно) определенных матриц. [c.45]
Пусть А — положительно определенная матрица, а В — неотрицательно определенная. Тогда [c.45]
Если В = О, то А + В = А. Если В ф О, то матрица Л"1/25 /Б5 Л"1/2 будет неотрицательно определенной с хотя бы одним положительным собственным значением. Следовательно, / + Л 1/25 /Б5 Л 1/2 > 1 и А + В > А. П [c.46]
Для двух симметрических матриц А и В мы будем писать А В (или В Л), если матрица А — В — неотрицательно определенная, и А > В (или В < Л), если А — В — положительно определенная. [c.46]
Пусть Аи В — положительно определенные матрицы, причем А — В — неотрицательно определенная. Тогда А В, причем неравенство выполняется как равенство тогда и только тогда, когда А = В. [c.47]
Пусть А — положительно определенная матрица с единичным определителем, А = 1. Если при этом / — А — неотрицательно определенная, то А = I. [c.47]
Доказать, что если А — положительно определенная матрица, то А + А 1 — 21 — неотрицательно определенная. [c.51]
Доказать, что собственные значения Л матрицы (А + В) 1 А, где А — неотрицательно определенная, а В — положительно определенная, удовлетворяют соотношению 0 Л < 1. [c.51]
У теоремы 1 есть несколько важных следствий. Во-первых, если А и В — положительно (неотрицательно) определенные матрицы, то матрица А В также положительно (неотрицательно) определена. Далее, поскольку определитель матрицы равен произведению ее собственных значений, то [c.56]
Показать, что если матрицы Л и В являются неотрицательно определенными и АВ = В А, то (Б1/2Л+Б1/2)+ = Б+1/2ЛБ+1/2 (Liu, 1995). [c.68]
Пусть А — неотрицательно определенная матрица порядка п х п, а В — матрица порядка п х k. Симметрическая матрица порядка п + k [c.90]
Более сложная задача) Если матрица А — неотрицательно определенная, то при каких условиях [c.176]
Матрица М является симметрической, идемпотентной и, следовательно, неотрицательно определенной. Поэтому, [c.256]
Если А — неотрицательно определенная матрица, показать, что [c.256]
Для любой симметрической матрицы А и неотрицательно определенной матрицы В [c.266]
Неравенство, касающееся неотрицательно определенных матриц 277 [c.277]
НЕРАВЕНСТВО, КАСАЮЩЕЕСЯ НЕОТРИЦАТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ МАТРИЦ [c.277]
Пусть Л = (aij) есть неотрицательно определенная п х п матрица. Тогда [c.277]
Пусть р > 1, Q = Р/(р — 1), а Д О есть неотрицательно определенная п х п матрица. Тогда [c.280]
Для любых двух неотрицательно определенных матриц Аи В одного порядка, Л О, В О, и 0 < а < 1, справедливо [c.282]
Пусть А и В — неотрицательно определенные матрицы и 0 < а, < 1. Определим симметрическую матрицу [c.282]
Пусть р > 1 и q = р/(р — 1). Показать, что для любых двух неотрицательно определенных матриц Л ф 0 и В ф 0 одного порядка [c.283]
Для любых двух неотрицательно определенных матриц А и В одного порядка и 0 < а < 1 [c.283]
Для любых двух неотрицательно определенных матриц Л и В одного порядка (Л ф О, В ф 0) и р > 1 имеем [c.286]
Понятие положительно (неотрицательно) определенной симметрической матрицы А тесно связано с понятием положительно определенной (полуопределенной) квадратичной формы. [c.273]
Очевидно, что матрицы В В и В В являются неотрицательно определенными /Б, а А — отрицательно (неположительно) определенная матрица тогда и только тогда, когда —А — положительно (полу) определенная матрица. Квадратная нулевая матрица является одновременно неположительно и неотрицательно определенной. [c.27]
Пусть V — неотрицательно определенная матрица порядка п ранга г. Пусть также Л — диагональная матрица порядка г с положительными элементами на главной диагонали, a S — полуортогональная п х г матрица, такая что [c.64]
Показать, что квадратичная форма х Ах (Л = А ) определяет выпуклую функцию тогда и только тогда, когда матрица А — неотрицательно определенная, и вогнутую — тогда и только тогда, когда А — неположительно определенная. [c.112]
Если Л неотрицательно определенная, то по теореме 1.13 можно написать Л = SASf, где Л диагональна с неотрицательными диагональными элементами. Определим теперь р-ю степень Л как Лр = SApSf. В частности, Д1/2 (для неотрицательно определенных А) есть единственная неотрицательно определенная матрица SAl 2Sf. [c.277]
Доказательство. Пусть X есть произвольная неотрицательно определенная пхп матрица, удовлетворяющая условию tr Xq = 1. Пусть S есть ортогональная матрица, такая что SfXS = Л, где Л диагональная и имеет собственные значения X как диагональные элементы. Определим В = (bij = S AS. Тогда [c.280]