Пусть а есть п х 1 вектор, А есть п х п матрица и В — п х га матрица. Выражение а х называется линейной формой по ж, выражение х Ах называется квадратичной формой по ж, а выражение х By — билинейной формой по х и у. В квадратичных формах без потери общности можно считать матрицу А симметрической, поскольку в противном случае А можно заменить на (А + А /2 [c.26]
МАКСИМУМ БИЛИНЕЙНОЙ ФОРМЫ [c.272]
Теорема 6 вместе с неравенством Коши-Шварца допускает обобщение с квадратичных на билинейные формы. [c.272]
На пространстве Н определена симметричная билинейная форма, если любым двум элементам и, и е Н поставлено в соответствие число Е (и, и) = (и, ), при каждом фиксированном и функционал E(u,v) линеен по и и при каждом фиксированном и линеен по и. Функционал Е (и), задаваемый формулой [c.13]
Рассмотрим квадратичный функционал Е(и), т.е. функционал, кото рый может быть получен из симметричной билинейной формы Е (и, v) [c.84]
Поэтому, если билинейная форма положительна, Е(и, и)>0 и Е(и, w) = 0 только при и = 0, то, отбрасывая в левой части (1.35) неотрицательное [c.84]
Примеры 1—4 (продолжение). Квадратичные функционалы ( ) в примерах 1—4 могут быть получены из билинейных форм, которые, если исключено ядро, положительны. Следовательно, эти функционалы строго выпуклы. Линейный функционал L(u) выпукл. Поэтому строго выпукл функционал /(и) = Е(и) — L(u). Множество J в примерах 1—4 выпукло. [c.84]
Во-вторых, отсюда же следует, что на X(s ) выражение ХА Y T представляет собой единую линейную форму от У, и на X(s ) система (13.2) оказывается системой именно линейных (а не билинейных ) неравенств, и множество ее решений составляет выпуклый многогранник, который зависит опять-таки не от конкретной стратегии X, и лишь от ее спектра ь% — ь Обозначим этот многогранник через 61 (s). [c.177]