Третьей важной теоремой о разложении является сингулярное разложение. Теорема 16 (сингулярное разложение) [c.41]
Следовательно, матрица Л — это диагональная матрица, у которой на диагонали стоят собственные значения А А (и А А), а матрицы S и Т состоят, по построению, из соответствующих собственных векторов. Часто встречающаяся ошибка в применении теоремы о сингулярном разложении — находить матрицы , Т и Л из (5). Это неверно, поскольку при заданной матрице S матрица Т не определена однозначно Корректно было бы находить S и Л из соотношения AA S = 5Л, а затем определять Т как Т = Л б Л"1/2. Или же можно найти Т и Л из A AT = ТА и определить S = ЛТЛ"1/2. [c.42]
Доказать теорему 5, используя сингулярное разложение. 10. Показать, что если Л ф 0, то (ЛБ)+ = Б+(ЛББ+) +. [c.62]
Доказать теорему 6, используя сингулярное разложение. [c.64]
Заметим, что наилучшая аппроксимация X (обозначим ее X), задается в (18) как X = ХАА. Очень важно, что X является частью сингулярного разложения X, соответствующей г максимальным собственным значениям Х Х. Чтобы это увидеть, предположим, что г(Х) = р и что AI A2 . . . Хр > О [c.451]
Вместо того чтобы аппроксимировать , которая зависит от матрицы наблюдений X (выборка значений случайных величин ж), можно пытаться приблизить непосредственно X, например матрицей X, имеющей меньший ранг. Используя сингулярное разложение, можно записать X = ZA, где А — полуортогональная матрица. Тогда X = ZА + Е, где Z и А определяются из [c.442]
Весьма замечательно, что в определенном смысле всякая "регулярная1 стационарная (в широком смысле) последовательность h = (hn) может быть представлена в виде (15) с выполнением свойства (16). По поводу точной формулировки этого результата, а также всего комплекса проблем, связанных с разложением Вольда стационарных последовательностей на сумму "сингулярной" и "регулярной" составляющих (с "регулярной" составляющей, представимой в виде (15)) см. далее 2d и, более подробно, например, [439 гл. VI, 5]. [c.155]