Производной скалярной функции
Производной векторной (т х 1) функции f(x) от векторного (я><1) аргумента х = (х, х ,..., х ) называется тп-матрица [c.276]
По использованию производных. Некоторые методы требуют вычисления первой производной целевой функции. В многомерном случае первая производная представляет собой векторную величину, называемую градиентом. [c.186]
Рассмотрим векторную функцию / S — > Rm, определенную на множестве S из Rn со значениями в Rm. Пусть / S — > R (г = 1,. . . , т) есть г-я компонента функции / и предположим, что / имеет частные производные не только во внутренней точке с из 5, но также в каждой точке из открытой окрестности с. Тогда мы можем рассмотреть ее частные производные, т.е. предел [c.140]
Если / есть 7п х 1 векторная функция от ж, то производная (или матрица [c.226]
Будем искать матрицу Якоби функции не путем вычисления каждой частной производной, а с помощью определения дифференциала. Для дифференцируемой векторной функции /(ж), согласно первой теореме об идентификации (теорема 5.6),существует взаимно-однозначное соответствие между дифференциалом функции of / и ее матрицей Якоби. А именно из равенства [c.228]
Определение. Производной скалярной функции уэ(х) от векторного п х 1 аргумента х = (xi,..., хп) называется 1 х п вектор (вектор-строка) [c.505]
Определение. Производной векторной m х 1 функции /(х) от векторного п х 1 аргумента х (х, .,., жп) называется m x n [c.505]
Основным инструментом в этой главе будет первая теорема об идентификации (теорема 5.11), которая говорит, как получить производную (матрицу Якоби) из дифференциала. На основании этой теоремы мы действуем следующим образом (i) вычисляем дифференциал матричной функции F(X), (ii) представляем в векторной форме, получая соотношение d ve F(X) = A(X)d ve X, и (iii) заключаем, что DF(X] = A(X). Простота и изящность этого подхода будет продемонстрирована на многих примерах. [c.223]
Для наших целей этого достаточно, и дальнейших итераций можно будет не проводить, поскольку они дают поправки к Ьх, имеющие формально третий порядок малости. Разумеется, как всегда, мы считаем, что функции / (х, и), Ф (х, и), R (х) имеют непрерывные производные нужных порядков fx, fu, fxx и т. д. — суть функции t (векторные и матричные), определенные на невозмущенной траектории (и (t), x (t) . [c.202]
Дифференциальное уравнение в частных производных для матрицы ковариационных функций (ковариационная функция векторного случайного процесса) [c.174]
В этой главе рассматриваются понятия вторых производных, дважды диф-ференцируемости и второго дифференциала. Особое внимание уделяется связи между дважды дифференцируемостью и аппроксимацией второго порядка. Мы определяем матрицу Гессе (для векторных функций) и находим условия для ее (столбцовой) симметрии. Мы также получаем цепное правило для матриц Гессе и его аналог для вторых дифференциалов. Доказывается теорема Тейлора для вещественных функций. Наконец, очень кратко обсуждаются дифференциалы высших порядков и показывается, как анализ векторных функций можно распространить на матричные функции. [c.140]
Ранее мы определили матрицу, которая содержит все частные производные первого порядка. Это была матрица Якоби. Теперь определим матрицу (называемую матрицей Гессе), которая содержит все частные производные второго порядка. Дадим определение этой матрицы сначала для вещественных, а затем для векторных функций. [c.141]
Пусть / S —> Rm, S С Rn есть векторная функция, а с есть точка из , в которой существуют ran2 частных производных второго порядка Dj ./ ). Тогда ran x n матрица Гессе Н/(с) определяется как [c.142]
Мы начнем эту главу с некоторых вопросов, касающихся обозначений. Будем обозначать частные производные матричной функции F(X) как dfst(X)/dxij, что позволит рассматривать матрицу Якоби матричной функции по аналогии с матрицей Якоби векторной функции. [c.223]
Минимизируемая функция G является квадратичной относительно неизвестных величин at. Необходимым условием ее минимума является равенство нулю всех ее частных производных по аг Частные производные квадратичной функции являются линейными функциями, и, приравнивая их всех к нулю, мы получим систему из (т+1) линейных уравнений с (/я+1) неизвестными. Такая система имеет обычно единственное решение (за исключением особого еду чая, кргда столбцы ее линейно зависимы и решения,"нет или их бесконечно много однако данные реальных статистических наблюдений к такому особому случаю, вообще говоря, никогда не приводят). Данная система называется системой нормальных уравнений. Ее решение в явном виде удобнее всего выписать в векторно-мат-ричной форме, иначе оно становится слишком громоздким. Вектор-но-матричная запись и вывод решения системы нормальных уравнений приведены в Приложении при начальном ознакомлении с проблемой оно может быть опущено. [c.309]
По построению функция V положительно определена, а ее производная вдоль векторного поля L/V — — gradffV 2 = onst, т.е. XD - асимптотически устойчивая особая точка интегральные кривые векторного поля / являются геодезическими в метрике q и ортогональны поверхностям уровня функции V в этой метрике. [c.133]