В последнее десятилетие для анализа экономико-математических моделей стал широко использоваться имитационный подход, на основе которого удается преодолеть некоторые из трудностей, связанных с использованием оптимизационного подхода. В имитационном подходе, вообще говоря, не требуется заранее задавать критерий развития изучаемого объекта. Вместо него задается управление — либо в виде функции времени и (t), либо в виде функции состояния системы и (х). Подставляя эти заранее сформулированные функции в систему дифференциальных уравнений (4.5) с начальными данными (4.7), можно построить траекторию системы. Если при этом не нарушается ограничение (4.6), то управление и (t) (или и (х)) является допустимым. Сформулировав заранее некоторое число вариантов управления, можно построить траекторию системы для каждого из вариантов и представить результаты развития системы Заказчику, чтобы он сам выбрал наиболее подходящий ему вариант управления системой. В этом подходе вместо проблемы формулировки единственного критерия возникает проблема выбора вариантов управления, которые будут изучаться в исследовании. Очевидно, что такой способ исследования, называемый обычно методом вариантных расчетов, не очень экономичен. Подчеркнем, что имитация свелась к вариантным расчетам в случае уже сформулированной модели (4.5) — (4.7). В действительности же имитация, понимаемая как эксперимент с математической моделью, проводимый на основе ЭВМ, является новым мощ- [c.44]
До сих пор мы говорили об основных методах исследования систем типа (4.5) — (4.7), т. е. систем без случайных возмущений и неопределенностей. В таких моделях управление однозначно определяло траекторию системы. Если же мы будем учитывать случайные возмущения , то траектория будет зависеть от того, какие конкретные значения случайных величин реализовались. Если удастся сформулировать критерий развития системы, то его значение будет случайной величиной, распределение которой будет зависеть от управления. Методы исследования таких моделей бывают теоретическими (когда пытаются построить распределение некоторых показателей данной модели), оптимизационными (когда пытаются найти управление, приводящее к максимуму, скажем, математического ожидания критерия), и имитационными, причем в данном случае задаются не только варианты управления системой, но и варианты реализации случайных воздействий . [c.45]
Подведем предварительный итог исследования модели (4.1) — (4.6) при постоянной норме накопления s. В любом случае траектории системы асимптотически сходятся к сбалансированному росту, темп роста на котором равен темпу роста населения страны. Такой результат довольно неутешителен, поскольку потребление на душу населения при сбалансированном росте экономики остается постоянным. Возникает вопрос о том, нельзя ли добиться лучших результатов, если использовать изменяющееся во времени управление — норму накопления s (/) Проведем соответствующий анализ. Будем рассматривать модель (4.1) — (4.6) или, что то же самое, модель (4.10) — (4.12) с управлением s (f). [c.80]
Как уже говорилось, большинство математических моделей производственно-технологического уровня экономических систем содержат управляющие переменные, отражающие возможные воздействия на изучаемую систему. В связи с этим в зависимости от конкретных величин управлений реализуются различные варианты развития изучаемой системы. Так, например, выбирая в модели народного хозяйства различные допустимые (т. е. удовлетворяющие ограничениям (7.1)) управления st(i) п s2(t), получаем различные траектории системы — различные функции времени Kit), A(t), Y(t) и (t). Заказчик не может рассмотреть бесконечное число возможных вариантов развития системы, ему удается пред- [c.148]
Таким образом, каждый абсолютный или относительный показатель изменяется во времени, т. е. можно говорить о траектории системы в абсолютных или относительных показателях. [c.218]
Если малые погрешности в начальных условиях способны резко изменить намеченную траекторию, система называется неустойчивой по начальным данным. Если же, наоборот, погрешности начальных условий автоматически гасятся системой, она называется асимптотически устойчивой. [c.373]
При этом различается глобальная У. с. — когда свойство устойчивости выполняется для любой траектории системы (из числа тех, которые рассматриваются в данном исследовании), и локальная У.с, если это свойство относится только к траекториям, лежащим вблизи равновесной траектории (см. Равновесие). Впрочем, некоторые авторы определяют локальную У.с. иначе как такую, которая относится лишь к малым изменениям начальных условий. [c.373]
Пусть s(ts,s0,z°,
Таким образом, используя траекторию. ( ) системы (1.52), можно с достаточной степенью точности определить характер выполнения соотношения (1.37) на отрезке времени Р( ), в том числе и на последующих [c.35]
Вместе с тем допустима инвертированная постановка в пространстве состояний задается совокупность областей С, фактическая, траектория системы в которых должна отсутствовать. Здесь С описывается набором неблагоприятных для системы ситуаций. [c.181]
Структура и организация динамической базы оперативных состояний управляющей системы тесно связана с языком и формой представления модели процесса управления, хранящейся в БЗЗ, с моделями из Б32, Б31 и с математической моделью описания целевой траектории системы. В частности, для этого база управляющей системы должна хранить предысторию временных состояний наблюдаемых объектов. Таким образом, можно считать, что понятие состояния отображается в интеллектуальной управляющей системе в виде определенной динамической информационной модели. [c.184]
Интегрируя это равенство вдоль траектории системы, получим общее количество извлеченного базисного ресурса [c.232]
Прием замены независимой переменной t одной из переменных состояния можно обобщить на тот случай, когда среди функций / (у — 1,...,п) не найдется функции для любого t Е [О, Т], отличной от нуля. В этом случае можно подыскать такую функцию у(а ), что скорость ее изменения вдоль траектории системы уравнений задачи (9.264) не равна нулю [c.399]
Помимо условий равенств, определяющих механизм функционирования системы, могут быть заданы статистические, вероятностные или жесткие ограничения на компоненты векторов x(t) и составляющие векторов управления и(1). Ограничения на x(t) исключают нежелательные состояния и траектории системы. Ограничения на u(t) учитывают наличные энергетические и другие ресурсы и технические возможности управления. [c.45]
Модели стохастического управления, в которых закон управления или механизм управления учитывает последовательный характер накопления информации и может уточняться в процессе управления, описываются многоэтапными стохастическими задачами. Целевой функционал динамической задачи зависит от состояния системы на конечном (.S-M) этапе или от всей траектории системы. Область определения задачи отдельного этапа описывается жесткими или условными статистическими или условными вероятностными ограничениями. Оптимальные решающие правила или решающие распределения этих задач определяют законы управления или механизмы стохастического управления. [c.46]
Обычно в качестве целевого функционала задачи принимают среднее значение функции риска или функции полезности, зависящей от траектории системы или от ее конечного состояния. Можно указать, однако, задачи, в которых любая траектория, не выходящая из некоторой заранее заданной области изменения состояний системы, является приемлемой. В таких задачах естественно принимать в качестве целевого функционала затраты (энергии или ресурсов), связанные с управлением. В общем случае критерий качества решения задач стохастического управления при неизвестных характеристиках управляемого объек- [c.49]
Теорема i. Если управление u(t) возмущено на множестве М малой меры р., то соответствующее возмущение фазовой траектории системы имеет оценку 8ж( ) = 0(ц) при всех t и удовлетворяет уравнению в вариациях [c.56]
Задачи для уравнений с запаздыванием [21]. Рассмотрим вариационную задачу, в которой управление определяет фазовую траекторию системы задачей Коши для уравнения с запаздыванием [c.72]
Функция ф (t) либо фиксирована, либо является искомым элементом управления мы будем иметь в виду этот последний, более общий случай. Если ф (t) — фиксированная функция, 8<р (t) следует считать нулем. Пусть F [и ( ), Ф ( )> т(0)1 — некоторый дифференцируемый функционал, определенный на траектории системы (15) нашей целью является вычисление его производной. Основным моментом этого вычисления является вывод формулы типа [c.73]
Существование оптимального управления. Итак, ищется управление и ( ), минимизирующее значение F0 [и ( )] при условиях. Fi[и ( ) 1=0, i=l,2,.. ., т, где F — функционалы, определенные на траектории системы [c.81]
Перейдем к вопросам сходимости в вычислительной схеме Н. Н. Моисеева. Основное осложнение связано с тем, что теперь в разностной задаче (7) точки х могут принимать лишь дискретные значения а ., принадлежащие сетке 5. Поэтому в принципе может оказаться, что ни для какой пары точек из соседних сеток я., ж +1 не удастся построить соединяющей их траектории (1) на малом интервале [tt, t +1]. В этом случае разностная задача просто не имеет решения. Чтобы избежать этой опасности, следует наложить определенные ограничения на /г-шаг сетки по фазовым координатам. Кроме того, нужно гарантировать разрешимость элементарной операции. Эти вопросы исследовались в работах [56], [37]. Разрешимость разностной задачи и сходимости численного решения к решению задачи (1)—(5) была доказана в предположении некоторых свойств непрерывности функции Беллмана решаемой задачи. Однако для практики вычислений более существенным является другое условие шаги сетки hr по r-й компоненте фазового пространства должны быть связаны с шагом сетки по времени т соотношением ftr=T1+P>-, где рг 1 — некоторые числа, зависящие от строения области достижимости за малое время т для системы (1). Напомним, что областью достижимости D (Z, t) называется совокупность правых концов траекторий системы x=f (х, и), х (0)=z при произвольных измеримых и (t), и ( ) U, О t т. В работе автора [93] те же вопросы были решены только с одним предположением h—0 (t2). При этом под элементарной операцией следует понимать решение следующей простой геометрической задачи, являющейся аппроксимацией дифференциальной на малом интервале времени. Для расширенной системы (1) (пополненной уравнением x°=f(x, u), х° (0)=0) строится в каждой точке х область x- -tf (х, U) (если / (х, U) не выпукла, следует заменить ее выпуклой оболочкой). Далее эта область расширяется присоединением всех сфер радиуса ft2 с центрами в ж+т/ (x1U), Полученную область в пространстве х°, х1,.. ., хп обозначим DT (х), а ее проекцию на гиперплоскость х1, а 2,. ... . ., х" — jD (х). Если шаги сеток А=ста, то при определенном соотношении между с и С можно утверждать, что для любой точки xlj 5" найдется хотя бы одна точка xj.+i 5 41 такая, что [c.125]
Заметим, что при таком определении элементарной операции сеточная траектория является аппроксимацией с точностью до О (т) какой-то траектории системы (2). Функционал (7) также аппроксимирует (1) с точностью О (т). Кстати, можно брать и A= t1+e, 1 > е > 0 но в этом случае аппроксимация имеет порядок 0(т ). [c.126]
В работе [78 ] приведен пример решения описанным выше методом следующей задачи найти min Т на траектории системы [c.139]
Важную роль в дальнейшем играют следующие объекты D (t) — область достижимости за время t — это совокупность всех точек х, в которые траектория системы (14) может попасть под воздействием какого-то управления за время t t G (t)—dtD (t) — граница D (t) ). [c.192]
Пусть (и ( ), х ( ) — некоторая невозмущенная траектория системы. Пусть управление возмущено малой функцией м(-), следствием чего явилось малое возмущение фазовой траектории х (t) -+x(t)+fa(t). [c.202]
Заметим, что если траектория системы, т. е. последовательность ситуаций (z1, z2, z3,. ..), сходится к некоторому равновесному состоянию z, то это будет равновесие по Нэшу. Обобщением описанной схемы выбора рациональных стратегий в повторяющихся играх является так называемая гипотеза индикаторного поведения. В случае индикаторного поведения элемент использует стратегию 5 + (4.18.5) как индикатор , показывающий направление изменения предыдущей стратегии zf, и делает шаг в этом направлении. В формальной записи [c.187]
Точка Нэша 186 Траектория системы 302 [c.383]
Если при некотором законе управления О1" (s,f) её траектория удовлетворяет соотношению (1.37), то для ИС (1.25) должен существовать такой закон управления U(X,f) (см. (1.61)), что траектория системы (1.57) доста- [c.36]
Задачи управления комплексами дискретных распределенных объектов в реальном времени. Эти задачи являются наиболее функционально емкими и включают в себя задачи мониторинга, контроля и принятия решений. Наиболее простым развитием рассмотренных выше систем контроля, в том числе интеллектуальных, является управление компенсацией выявленных нежелательных отклонений от заданной идеальной целевой траектории системы в пространстве состояний. Необходимым дополнительным элементом здесь становится модель, описывающая структуру комплекса объектов, их свойства и среду функционирования, а также динамику их поведения. Такие модели должны содержать сложноструктурированный декларированный компонент, а описания процессов будут иметь вид логико-динамических моделей. В связи с этим процедуры обработки целесообразно строить как решающие процедуры определенных интеллектуальных систем. [c.181]
Задача стохастического управления рассматривается как одноэтап-ная задача стохастического программирования, если описываемая моделью ситуация требует выбора закона управления для всей траектории системы (/ = 0, 1,. .., s—1) в один прием и коррекции по ходу управления в процессе накопления информации не допускаются. Априорные решающие правила определяют закон управления, зависящий только от детерминированных параметров и статистических характеристик случайных параметров условий задачи. Закон управления, определяемый апостериорными решающими правилами, зависит, кроме того, от реализации случайных исходных данных. Закон управления, соответствующий решающим распределениям, представляет собой случайный механизм формирования решения со статистическими характеристиками, зависящими (при апостериорных решающих распределениях) или не зависящими (при априорных решающих распределениях) от реализации случайных параметров условий задачи. Механизм управления, отвечающий решающим распределениям, может при одних и тех же реализациях исходных данных приводить к различным траекториям управления и, [c.45]
Пусть управление возмущено функцией su ( ), соответствующее вов-мущение фазовой траектории системы есть sy(t). Тогда [c.39]
Метод локальных вариаций. Метод, разработанный Ф. Л. Чер-ноусько, представляет собой, видимо, наиболее широко используемую форму метода вариаций в фазовом пространстве. Метод носит итерационный характер, каждая итерация является переходом от некоторой траектории к близкой к ней, лучшей по величине минимизируемого функционала. Пусть х (t) — некоторая траектория системы я=/, удовлетворяющая краевым условиям х (0) = =Х0, х (Т)=Хг и фазовым ограничениям. Эту траекторию можно представить последовательностью точек на временнбй сетке [c.127]
Соответствующие экономич. модели являются важным элементом автоматизированных систем управления. Требования к разным моделям различны. Теоре-тпч. модели абстрактны. От них требуется отображение лишь самых общих свойств экономич. систем. При этом с помощью математич. методов доказывается существование эффективного (равновесного, оптимального) состояния (траектории) системы, а затем изучаются его свойства. Если возможно, определяется алгоритм отыскания эффективного состояния. Как показывает опыт, алгоритм решения экономич. задачи — это часто отображение процессов, реально протекающих в моделируемом объекте. Модели, используемые для конкретных расчётов, имеют в качестве своей теоретпч. базы абстрактные модели и результаты их анализа. Конкретные модели достаточно полно отражают спецпфич. особенности исследуемого объекта, ибо в противном случае расчёты, осуществляемые на их основе, нц могут быть использованы на практике. Рассматриваемый этап завершается экономич. интерпретацией полученных результатов. При этом математич. понятия переводятся на язык изучаемого объекта. Качественные результаты интерпретируются как свойства и закономерности развития экономич. системы, алгоритм — как механизм её планирования и функционирования, числовые результаты — как планы или прогнозы. [c.524]
Смотреть страницы где упоминается термин Траектория системы
: [c.43] [c.146] [c.167] [c.25] [c.86] [c.28] [c.30] [c.34] [c.36] [c.36] [c.92] [c.110] [c.126] [c.136] [c.201]Смотреть главы в:
Популярный экономико-математический словарь -> Траектория системы
Механизмы функционирования организационных систем (1981) -- [ c.302 ]