Медленная сходимость. В 15 было выяснено, что шаг h сетки в фазовом пространстве должен быть существенно меньше шага по времени т, например, А=0 (т2). Одна итерация метода локальных вариаций смещает исходную траекторию на расстояние h и для того, чтобы добраться до оптимальной траектории, следует совершить не менее О (-Л = О f- -j О (N2) таких [c.130]
В процессе эксплуатации метода соответствующие приемы были разработаны, и практическая технология выглядит следующим образом сначала интервал [О, Т] разбивается на небольшое число (скажем N—10) частей, и шаг h достаточно велик. Итерации метода локальных вариаций повторяются до тех пор, пока они сопровождаются падением суммы (2). Как только встретилась ситуация, в которой ни одно из х (t ) не было смещено с уменьшением (2), шаг h делится пополам, и с новым шагом h на той же временной сетке снова начинаются итерации. Если после уменьшения h первая же итерация не привела к вариации траектории, сетка по времени дробится, например, число N увеличивается вдвое. После этого шаг h увеличивается, и начинается очередной [c.130]
Другими словами, тривиально неоптимальная траектория оказывается оптимальной относительно неполного множества вариаций управления (7). Но методы локальных вариаций (включая сюда и метод бегущей волны) основаны на просмотре класса вариаций управления еще более узкого, чем класс (7), и подобные ситуации оказываются для них тупиковыми траектория перестает варьироваться. Таким образом, сходимость этих методов доказана быть не может. [c.132]
Минимум сеточного функционала ищется процессом последовательного изменения значений сеточной функции в узлах, причем рекомендуется типичная для метода локальных вариаций технология сначала делаются попытки менять каждую переменную на заданную величину h, они продолжаются (циклически) до тех пор, пока приводят к уменьшению функционала. Затем то же самое делается с шагом А/2, и т. д. Если отвлечься от этой технологии, то метод локальных вариаций, по существу, совпадает с хорошо известным релаксационным методом. Разница лишь в том, что в последнем смещение значения Uj m в узле сетки определяется решением задачи на минимум функцио- [c.135]
Рассмотрим тот же пример, который был использован в 16 для демонстрации аналогичного дефекта метода локальных вариаций. Здесь нам не очень важны детали, важно следующее [c.162]
Мы не будем подробно объяснять физический смысл задачи. Ограничимся лишь указанием, что уравнения (1) описывают вращение твердого тела (спутника), снабженного тремя реактивными двигателями, F0 есть расход топлива, условия (3) — суть условия отсутствия вращения (стабилизация). Эта задача была решена аналитически в [33], точное решение ее известно, и она представляет собой удобный методический пример. В дальнейшем была предпринята попытка численного решения задачи методом локальных вариаций[41 ]. Мы говорим лишь о попытке потому, что, как это станет ясным из дальнейшего, полученные в [41 ] численные результаты оказались очень грубыми. Наконец, в нашей работе [96] была показана возможность эффективного и весьма точного решения задачи методом проекции градиента. [c.276]
Решение задачи методом локальных вариаций описано в [41 ] (это же решение воспроизведено в монографии [86]). Численное решение задачи описывалось сеточными функциями xln (п= =0, 1,.. ., N), м,н /2, связанными конечно-разностными уравнениями (второго порядка точности) [c.276]
Заметим, что задача очень благоприятна для решения ее методом локальных вариаций в ней отсутствуют ограничения и (t) U, [c.277]
В целом одна итерация по затратам времени соответствует, примерно, пятикратному интегрированию прямой системы. Заметим, что эта система (как и сопряженные) интегрировалась не с шагом сетки t = TjN, а с меньшим, обеспечивающим высокую точность вычисления значений xi (t). В [41] нет данных, которые позволили бы составить хоть какое-то представление о трудоемкости решения задачи методом локальных вариаций. Однако сравнение точности полученных решений можно произвести. В [41] найдено решение с / 0 = 169,42, ошибка 2,87 составляет 1,7% от jF0=166. В наших расчетах ошибка не превосходит О, 07, т. е. 0,04 %. В действительности относительная погрешность расчетов больше. Дело в том, что величина F0 состоит из двух частей [c.280]
Здесь [i=2/3, Х = 1/3, сс1=100, а3=331/3 — параметры, в терминах которых в [41] записана система уравнений движения (1). Это не что иное, как то решение, которое мы выше предположили оптимальным ( -функции с полюсами в точках х2 ( )=0). Если провести вычисления, получим min F0=2,5075. В [41] формула (15) приведена с ошибкой пропущен множитель А=1/3 перед вторым радикалом, что и приводит к величине min jF0=3,5 (кроме того, запись (15) в [41] содержит и две легко устранимые опечатки). Таким образом, методом локальных вариаций найдено решение с ошибкой в F0, превышающей 40% в наших расчетах ошибка 0,4%. [c.285]
Сочетание локального решетчатого поиска с методом направленного поиска — одна из вариаций на тему комбинирования некоторых лучших моментов обоих методов способом, призванным компенсировать слабые стороны каждого из них. Этот метод быстрее, чем поиск по узлам решетки, и медленнее, чем чистый направленный поиск. Он менее тщателен, чем поиск по узлам решетки, и более тщателен, чем направленный поиск. Он менее подвержен попаданию в локальный максимум, чем направленный поиск. [c.85]
Метод проекции градиента и скользящие режимы. Следует особо отметить те задачи, в которых конструкция (45) будет иметь значительное преимущество перед методом проекции градиента в форме (46), (43). Это — задачи, где оптимальная траектория содержит участок так называемого скользящего режима (см. 23). В этом случае могут существовать неоптимальные траектории, на которых конструкция (46) при не слишком больших s дает функцию u(t, s)=u (t) такая траектория оказывается тупиковой для методов (46), (43). В то же время конструкция (45) приводит к ненулевой вариации управления и (t, з)фи (t). Пример, рассмотренный в 23, показывает, что эта возможность действительно реализуется при численном решении подобных задач, причем множество тупиковых для локального варианта проекции градиента (46) траекторий достаточно мощно и содержит траектории, далекие от оптимальной. Тем не менее, в дальнейшем мы будем иметь дело именно с локальным вариантом. Это связано с тем, что среди известных автору прикладных задач, решавшихся приближенными методами, нет задач, содержащих скользящие режимы. Более того, в монографиях [39], 1102], посвященных преимущественно обобщению теории вариационных задач, охватывающему и скользящие режимы (что, разумеется, приводит к серьезному усложнению аналитического аппарата теории), подобных примеров тоже нет Речь, разумеется, идет о примерах задач, естественно возникших в приложениях, а не специально сконструированных с целью иллюстрации тех или иных возможных осложнений. С этой точки зрения те предостережения, которые делает инженерам и физикам автор [102] в связи с наивным использованием результатов классического вариационного исчисления, представляются преувеличенными. Разумеется, практика решения вариационных задач может расшириться, и задачи со скользящими. режимами станут обычным, инженерным явлением. В этом случае изменится и отношение к соответствующему разделу в теории, и в вычислительные методы будут внесены необходимые коррективы. [c.155]
Наиболее значительной трудностью использспания методов динамического программирования является то, что не всегда, даже с помощью ЭВМ, удается перебрать необходимое число. стратегий между двумя шагами, однако при некоторых упрощениях можно почти всегда свести число стратегий к величине, которую представляется возможным решить с помощью ЭВМ. В этом случае, в частности, можно использовать метод "трубок" или метод локальных вариаций последний из них легче всего реализуется на ЭВМ. [c.152]
Метод локальных вариаций. Метод, разработанный Ф. Л. Чер-ноусько, представляет собой, видимо, наиболее широко используемую форму метода вариаций в фазовом пространстве. Метод носит итерационный характер, каждая итерация является переходом от некоторой траектории к близкой к ней, лучшей по величине минимизируемого функционала. Пусть х (t) — некоторая траектория системы я=/, удовлетворяющая краевым условиям х (0) = =Х0, х (Т)=Хг и фазовым ограничениям. Эту траекторию можно представить последовательностью точек на временнбй сетке [c.127]
Существенная неполнота локальных вариаций и тупиковые ситуации. Наиболее серьезным дефектом метода локальных вариаций является то, что он использует чрезвычайно узкое множество соседних с данной траекторий. В этом множестве может не оказаться лучшей, однако это не обязательно свидетельствует об оптимальности данной траектории и может быть следст-вием того, что алгоритм иссле-дует не все возможные вариации траектории. Пример подобного рода строится очень просто в задаче о вертикальном подъеме ракеты, подробно описанной в 28, 29, ищет- Рис 13. [c.131]
Сделанные выше утверждения нуждаются в пояснениях. Их не следует понимать в том смысле, что методом локальных вариаций нельзя получить решение задачи ведь дефекты этого метода проявляются лишь в определенных ситуациях в принципе, начав с некоторого достаточно разумного начального приближения, можно последовательными локальными вариациями получить траекторию, сколь угодно близкую к оптимальной, так и не столк- [c.132]
Можно ли доказать подобные теоремы для метода трубки при том бесхитростном способе построения сеток, который показан на рис. 14, или сетки следует строить с учетом структуры области достижимости для траектории x=f за малое время t — неизвестно. Однако и контрпримера, аналогичного контрпримеру для метода локальных вариаций, насколько известно автору, не построено. [c.134]
Метод локальных вар наций и релаксационный метод. В [86 ] метод локальных вариаций был распространен на задачи минимизации функционалов от функций нескольких независимых переменных. Хорошо известно, что многие задачи математической физики (краевые задачи для уравнения Лапласа, для бигармонического уравнения и другие) могут быть сформулированы либо как задачи на минимум соответствующего функционала, либо как задачи с уравнениями в частных производных (эти уравнения — суть уравнения Эйлера для вариационной формулировки). Применительно к таким задачам метод локальных вариаций состоит из двух элементов. [c.134]
Таким образом, оба метода — суть некоторые варианты метода покоординатного спуска для минимизации (9). Следует иметь в виду, что на данном этапе основной проблемой в решении подобных задач является не столько построение аппроксимации типа (9), сколько разработка возможно более эффективных методов минимизации. Создание новой техники минимизации дает право говорить о новом методе решения задачи типа (8) — но лишь в том, разумеется, случае, если эта техника имеет какое-то преимущество по сравнению с уже известными. К сожалению, в публикациях по методу локальных вариаций (например, [41], [55], [56], [86]) нет данных, которые позволили бы оценить трудоемкость расчетов и сравнить с эффективностью стандартного релаксационного метода. К тому же сам по себе релаксационный метод в настоящее время относится к числу наиболее слабых, и при достаточно больших N (> 30) почти не употребляется. Вопросам ускорения процесса минимизации уделялось большое внимание с некоторыми результатами по этому вопросу можно познакомиться по работам [16], [50], [24]. Здесь отметим лишь очень простое усовершенствование релаксационного метода — метод последовательной сверхрелаксации. После того как новое значение uj+]n найдено из условия минимума функционала, оно еще раз пересчитывается по простой формуле [c.135]
Но уравнение для х1 в силу Аг—0 очень просто, и из условий х1 (Т)=0 и и1 (t) 0 следует, что первое слагаемое (144) будет найдено точно, какой бы ни была функция и1 (t) (а в данной задаче имеется семейство решений, дающих одно и то же минимальное значение F0, так что и1 (t) определяется с большой степенью неопределенности). Таким образом, вся ошибка численного решения связана с ошибкой во втором слагаемом, и относительная погрешность в нем составляет 12,5% для метода локальных вариаций и 0,3% в наших расчетах. В [41 ], [86] исходная траектория характеризуется как точка локального минимума вариационной задачи. Это, как показали наши расчеты, неверно. Легко проверить (предоставим это читателю), что исходная траектория является стационарной точкой метода локальных вариаций принятая в этом методе техника варьирования траектории действительно не приводит к изменению значения функционала. Но это есть следствие дефекта метода, а не особенность данной траектории. Ведь если бы мы имели дело с локальным минимумом задачи, то и наш метод не позволил бы эту траекторию проварьировать как и всякий реализуемый метод, он является методом поиска лишь локального минимума. Поэтому замену функционала (2) на функционал [c.280]