Математические модели элементарных процессов, физическая природа которых известна, записываются в виде тех формул и зависимостей, которые установлены для этих процессов. Как правило, статические задачи выражаются в виде алгебраических выражений, динамические — в виде дифференциальных или конечно-разностных уравнений. [c.24]
Конечно-разностные уравнения 149 [c.469]
Для численной реализации конечно-разностных уравнений используется немонотонная прогонка [Самарский и др., 1978]. [c.94]
Уровни - параметры системы, получаемые интегрированием соответствующих параметров потоков. Чаще всего - это параметры (факторы) системы, которые численно описывают состояние основных процессов в моделируемой системе, динамику которых мы хотим получить в результате. Закон изменения уровня во времени выражается конечно-разностным уравнением [c.334]
Решение задачи методом локальных вариаций описано в [41 ] (это же решение воспроизведено в монографии [86]). Численное решение задачи описывалось сеточными функциями xln (п= =0, 1,.. ., N), м,н /2, связанными конечно-разностными уравнениями (второго порядка точности) [c.276]
Усовершенствование модели состоит прежде всего в учете фактора физического износа фондов. В. С. Немчинов обратил внимание на рост фондоемкости в модели С. Г. Струмилина. По мнению В. С. Немчинова, этот рост в какой-то мере объясняется тем, что возрастание фондов в модели преувеличено. Износ и выбытие фондов, естественно, снижают темпы роста производственных фондов и уменьшают рост фондоемкости продукции в модели. Кроме того, критерием в этой модели является максимум фондов потребления, созданных за 40 лет (трудоспособный период), а не максимум приростов фонда потребления. Ограничения модели (что очень важно) заданы щ виде приростных соотношений, в виде конечно-разностных уравнений, что существенно отличает модель от обычных линейных неравенств или равенств, используемых в оптимальном планировании, и в то же вре- [c.45]
Дело в том, что экономическая система после внешнего толчка в виде автономных расходов может испытывать колебания, но возможны и монотонные ее изменения. Разнообразные сочетания МРС и v в более продвинутых курсах макроэкономики связаны с решением конечно-разностного уравнения (4) и рассмотрением дискриминанта D D = (МРС + v)2- 4v. Если D > 0, то величина У изменяется монотонно, в случае, когда D < 0, величина У изменяется колебательно. [c.428]
Решение уравнений получаем конечно-разностным методом по неявной конечно-разностной схеме /76,77/. Для этого вводим координатную сетку , / = 02 х с, хх2 -<... = xj с узлами, совпадающими с точками контакта слоев. Шаг сетки задаем в виде массивов --=xl+,-x, i = 0,l...N-l [c.155]
Следующий класс нейронных сетей, который мы рассмотрим, — динамические, или рекуррентные, сети. Они построены из динамических нейронов, чье поведение описывается дифференциальными или разностными уравнениями, как правило, — первого порядка. Сеть организована так, что каждый нейрон получает входную информацию от других нейронов (возможно, и от себя самого) и из окружающей среды. Этот тип сетей имеет важное значение, так как с их помощью можно моделировать нелинейные динамические системы. Это — весьма общая модель, которую потенциально можно использовать в самых разных приложениях, например ассоциативная память, нелинейная обработка сигналов, моделирование конечных автоматов, идентификация систем, задачи управления. [c.39]
Так как антисимметричная форма оператора наиболее предпочтительна при построении энергетически сбалансированных конечно-разностных аппроксимаций, то, используя уравнение неразрывности для несжимаемой атмосферы, преобразуем (2.2.1) к следующему виду [c.93]
Для интегрирования системы дифференциальных уравнений чаще всего прибегают к конечно-разностным схемам. В этом случае решается система [c.199]
Дискретный принцип максимума получается почти по такой же схеме, но вместо дифференциальных уравнений в выкладках участвуют их разностные аппроксимации. И вот здесь появляется упомянутое реальное следствие дискретной теории разностное уравнение для сопряженного уравнения является следствием того или иного выбора аппроксимаций для прямого уравнения и для интеграла в тождестве Лагранжа. Разностная аппроксимация уравнения в вариациях также однозначно определяется выбором аппроксимации исходного уравнения, но это не так важно, так как в вычислительных методах обычно это уравнение не интегрируется. Эту аппроксимацию сопряженного уравнения "мы будем называть согласованной с аппроксимациями исходного уравнения и интеграла в том смысле, что для конечно-разностных решений Sz и ф, полученных по согласованным аппроксимациям соответствующих уравнений, алгебраически точно выполняется тождество Лагранжа (тоже в соответствующей аппроксимации). Это и есть то единственное практическое следствие, которое автор смог извлечь из теории дискретного принципа максимума и которого в своих вычислениях никогда не использовал ни в явной, ни в неявной формах. Автор всегда выбирал для исходного и сопряженного уравнений независимые аппроксимации, причем сопряженное обычно интегрировалось более грубо, с большим шагом по времени. Дело в том, что использование согласованной > аппроксимации связано с определенными техническими неудобствами, необходимость преодоления которых не очевидна. Во всяком случае, автору неизвестны трудности численного решения задач оптимального управления, которые можно было бы преодолеть, используя согласованную аппроксимацию. Чтобы и здесь быть более конкретным, можно все же указать на некоторое следствие использования согласованной аппроксимации. Речь идет о получении минимума функционала с большим числом знаков. Используя для вычисления функциональной производной функцию < >, найденную по произвольной аппроксимации сопряженного уравнения, мы, разумеется, находим не точную производную, а лишь приближенную, искаженную влиянием ошибок аппроксимации. Поэтому получить минимум с очень большой точностью не удастся начиная с некоторого этапа минимизации (например, методом градиента в функциональном пространстве) мы будем в этом случав [c.54]
Ошибка аппроксимации, источником которой является замена дифференциальной постановки задачи аппроксимирующей конечно-разностной. Эта ошибка легко может быть уменьшена за счет, например, измельчения шага сетки и, в какой-то мере, за счет использования более точных разностных уравнений. Последняя оговорка г случайна используемая нами аппроксимация функционала f (13) точна в классе кусочно постоянных и (t) и, если оставаться в этом классе, дальнейшее повышение точности аппроксимации невозможно без увеличения числа N интервалов постоянства и если же мы попытаемся использовать в расчетах другой класс функций и (t), дающий более высокую точность аппроксимации гладких функций (а нам известно, что искомое 15 Р. П. Федоренко [c.225]
Подобное соотношение выполняется уже после нескольких первых итераций, однако в целом управление еще не оптимально. Знак ">о W+g"7 ( ) становится на ( , а), по существу, случайной величиной, зависящей, в частности, и от погрешностей конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений. Следовательно, и u (t) на (tlt t2) становится, в известной мере, случайной. В сочетании с некорректностью задачи эта случайность и приводит [c.350]
ЛЯПУНОВА МЕТОДЫ [Liapunov s methods] — разработанные русским математиком А.М.Ляпуновым приемы исследования устойчивости процессов, описываемых дифференциальными и конечно-разностными уравнениями. Один из Л.м. основан на отыскании и исследовании решений уравнений т.н. "возмущенного" движения, которое вследствие каких-то внешних воздействий отклоняется от невозмущенного другой метод состоит в исследовании устойчивости процесса с помощью специально вводимых функций, называемых функциями Ляпунова. [c.177]
Начальные условия для (2.4.10) s =, so при t = 0. Граничные условия на горизонтальных границах области интегрирования —X х X, — Y у Y и на верхней границе при z = Z ставятся следующим образом. В тех точках границ, где вектор скорости направлен внутрь области определения решения, s = 8ф. Там, где вектор скорости направлен вовне этой области, значения концентраций экстраполируются на границу по приграничным значениям со вторым порядком аппроксимации. На нижней границе при z = А ставится граничное условие третьего рода, учитывающее поглощение и отражение примеси. Здесь SQ и вф — заданные значения. Уравнение (2.4.10) решается численным интегрированием в декартовой прямоугольной системе координат с применением метода фиктивных областей. Конечно-разностные аппроксимации производных по пространственным переменным построены на основе интегро-интерполяционного метода [Марчук, 1980]. Аппроксимация задачи по времени построена с помощью двуци-клического полного расщепления. Используемая схема покомпонентного расщепления дает решение для некоммутативных операторов со вторым порядком аппроксимации по времени и координатам. Для численной реализации конечно-разностных уравнений использована немонотонная прогонка. [c.116]
Построение имитационных моделей, базирующихся на работах Дж. Форрестера, основано на том, что в качестве математического языка здесь выбран язык численного решения систем дифференциальных и конечно-разностных уравнений. При этом, как правило, в модели отсутствуют случайнее величины (не моделируются), а процесс моделирования складывается из этапов а) установления причинно-следственных связей между явлениями б) написания на основании пункта а) конечно-разностных уравнений и в) решение уравнений при различных исследуемых параметрах. В Росси этот метод реализован с помощью специализированных языков моделирования ДИНОМО и ИМИТАК. [c.334]
Программа на языке ДИНАМО (одной из разновидностей этого языка в СССР и России является язык ИМИТАК (ИМИТационно-Анализирующий Комплекс)) представляет собой совокупность конечно-разностных уравнений, описывающих взаимную зависимость параметров моделируемого процесса. [c.336]
Динамический межотраслевой баланс (ДМОБ) схема, балансовые отношения. ДМОБ как система дифференциальных уравнений. ДМОБ как система конечно-разностных уравнений. [c.48]
Соответствующее конечно-разностное уравнение для объема бак 1 может иметь вид [c.290]
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ [differen e equations] —уравнения, содержащие конечные разности искомой функции. (Конечная разность определяется как соотношение, связывающее дискретный набор значений функции у = Дх), соответствующих дискретной последовательности аргументов xv x2,. .., хп.) В экономических исследованиях значения величин часто берутся в определенные дискретные моменты времени. Напр., о выполнении плана судят по показателям на конец планируемого периода. Поэтому вместо скорости изменения какой-либо величины dfldt приходится брать среднюю скорость за определенный конечный интервал времени Д/7ДГ. Если выбрать масштаб времени так, что длина рассматриваемого периода равна 1, то скорость изменения величины можно представить как разность [c.299]
Основой системы моделей являются агрегированные модели региона (третий уровень). Природно-производственная модель достаточно подробно изложена в 3.1. Она рассматривается как инструмент анализа эколого-экономического функционирования региона и выработки рациональной стратегии его развития. Конечно-разностная модель непроизводственной сферы [Матросов и др., 1991 Потороченко, 1994] выполнена в технологии эконометрического моделирования и позволяет прогнозировать различные аспекты изменения социальной сферы в зависимости от развития экономики и капиталовложений в социальную сферу, например, в здравоохранение. Аналогичная по форме уравнений динамики демографическая модель выполнена [Матросов и др., 1991 Потороченко, 1994] в традициях описания половозрастной структуры населения и учитывает процессы рождаемости, смертности, миграции. Она предназначена для прогнозирования структуры народонаселения. Модель финансовой системы призвана описывать формирование приходной и расходной частей бюджета, процессы инфляции и давать оценки возможностей инвестирования производства, природоохранной деятельности, развития социальной сферы и др. [c.252]
Более простая система - уравнение Макки-Гласса (Ma key and Glass, 1977), которое было выведено для моделирования производства красных кровяных телец. Его основная предпосылка заключается в том, что текущее производство основано на прошлом производстве и текущем измерении. Задержка между производством и измерением текущих уровней производит "цикл", связанный с этой задержкой. Поскольку система нелинейна, сверх- и недопроизводство имеют тенденцию к усилению, что приводит к непериодическим циклам. Средняя длина непериодических циклов, однако, очень близка времени задержки. Дополнительная характеристика уравнения Макки-Гласса заключается в том, что оно является дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом оно имеет бесконечное число степеней свободы, подобно рынкам. Эта черта, конечно, делает его хорошим кандидатом для моделирования. Дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом может быть приведено к разностному уравнению следующим образом [c.100]
В этом методе частные производные в дифференциальных уравнениях заменяются на конечные разностные приближения (finite differen e approximations). В определенном методе конечной разницы эти приближения выглядят следующим образом [c.483]
Динамическая система (Dynami system). Система, состояние которой изменяется с течением времени. Простой разновидностью динамической системы является система линейных уравнений. Система нелинейных уравнений определяет нелинейную динамическую систему. В математике система, описываемая дифференциальным или разностным уравнением, — система, изменение состояния которой является функцией времени или параметров системы. В широком смысле слова все является динамической системой Вселенная и все ее составляющие. Начальная точка динамической системы называется начальным состоянием. Конечная точка или точки — это состояние равновесия. В промежутке находятся переходные состояния. Динамическая система может иметь два типа состояний равновесия — периодические и апериодические. Апериодическими состояниями равновесия являются хаотические или странные аттракторы. Если система оказывается в одной из этих областей, она будет двигаться вокруг нее все время или пока нечто не переведет ее новое состояние, причем в этом движении не наблюдается структуры или периодичности. Простейшим примером периодического равновесия является точечный аттрактор. Существуют также аттракторы в виде предельного цикла, когда система повторяет один и тот же путь. См. также Точечный аттрактор, Предельный цикл, Странный аттрактор. [c.306]