На втором этапе вновь решена задача определения точных УКУ-решений в форме управления нелинейной динамической системой на основе предложенной комбинации полученных в работе достаточных условий для локальных УКУ и метода моментов Н.Н. Красовского. [c.95]
НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [c.163]
Рис, 1.56. Граф явного метода решения нелинейной динамической системы [c.164]
Проведен численный анализ зависимости ускорения, достигаемого при распараллеливании явного метода решения системы нелинейных динамических систем от параметров ВС — числа процессоров и скорости работы каналов обмена данными. Так как веса всех вершин и дуг графа этого алгоритма суть величины одного порядка по N (где N есть размерность задачи), то увеличение N, в отличие от рассмотренных выше алгоритмов линейной алгебры, на ускорение никак не влияет. По причине больших объемов передаваемых данных при выполнении алгоритма ускорение больше 1 достигается только на очень высоких (относительно производительности процессоров) скоростях каналов, что делает рассмотренный метод мало пригодным к выполнению на большинстве реальных [c.166]
Они могут быть результатом нелинейной динамической системы, или детерминированного хаоса. [c.98]
Точно так же для нелинейной динамической системы число наблюдений не [c.133]
До сих пор мы исследовали рынки, которые имеют некоторую связь с экономической деятельностью. Акции, облигации, и (вероятно) золото имеют непериодические циклы, которые обладают средней длиной. Эта последняя характерная черта тесно связана с нелинейными динамическими системами и фрактальной гипотезой рынка. Однако чистый процесс Херста, как обсуждалось в Части 2, не имеет средней длины цикла. Выпадение "джокера" - случайное событие, которое может случиться в любое время. Поскольку выборка случайных чисел из вероятностной колоды карт происходит с возвращением, вероятность появления джокера со временем не увеличивается. Изменение "смещения" действительно происходит случайным образом. [c.158]
На более длинных частотах рынок реагирует на экономическую и фундаментальную информацию нелинейным образом. Кроме того, предположение о том, что рынки и экономика должны быть связаны, не является неразумным. Это подразумевает, что нелинейная динамическая система была бы подходящим способом моделирования взаимодействия, удовлетворяющим тот аспект гипотезы фрактального рынка, который остался нерешенным с помощью дробного броуновского движения. Нелинейные динамические системы прибегают к непериодическим циклам и ограниченным множествам, называемым аттракторами. Сами системы подпадают под классификацию хаотических систем. Тем не менее, для того чтобы называться хаотическими, они должны отвечать очень специфическим требованиями. [c.228]
Бифуркация. Явление, состоящее в том, что нелинейная динамическая система приобретает вдвое больше возможных решений, по сравнению с тем, что было до достижения критического уровня. Каскад бифуркаций часто называют дорогой к хаосу через удвоение периода, потому что переход от упорядоченной системы к системе хаотической часто происходит, когда число возможных решений начинает возрастать, каждый раз удваиваясь. [c.285]
Динамическая система. Система уравнений, где выход одного уравнения является частью входа другого. Простым примером динамической системы может служить последовательность линейных систем уравнений. Нелинейные системы уравнений являются нелинейными динамическими системами. [c.286]
Предельные циклы. Аттрактор (для нелинейной динамической системы), который имеет периодические циклы или орбиты, в фазовом пространстве. Примером является недемпфированный маятник, который имеет замкнутые круговые орбиты, равные амплитуде раскачиваний маятника. См. аттрактор , фазовое пространство . [c.289]
Хаос. Детерминистическая нелинейная динамическая система, которая может продуцировать кажущиеся случайными результаты. Хаотическая система должна иметь фрактальную размерность и проявлять чувствительную зависимость от начальных условий. См. фрактальная размерность , показатель Ляпунова , странный аттрактор . [c.291]
Эти характеристики указывают на то, что рынки капитала являются нелинейными динамическими системами, и тогда можно ожидать следующего [c.24]
В теории финансового инвестирования нет концепции, которая имела бы такую широкую проверку и так мало доверия к себе, как эффективные рынки . Помимо всего эта концепция является краеугольным камнем количественной теории рынка капитала, и последние тридцать с лишним лет исследований были полностью ей подчинены. В действительности гипотеза эффективного рынка (ЕМН) уходит корнями в начало века. Она выполняет одну первейшую функцию оправдать использование вероятностных расчетов в анализе рынков капитала. Но если рынки являются нелинейными динамическими системами, то тогда использование стандартного статистического анализа может привести к ошибочным результатам, особенно если в основе лежит модель случайных блужданий. Поэтому становится важным пересмотр тех предпосылок, которые стоят во главе угла нынешней теории рынков капитала. [c.28]
Как было сказано в гл. 1, статическое равновесие не является естественным состоянием, и пришло время, когда экономическая теория и инвестиционные финансы стали перед лицом той же проблемы. В нелинейных динамических системах случайность и необходимость сосуществуют. Случай в сочетании с детерминированностью создает статистический порядок. Следовательно, порядок может быть динамическим процессом, в котором случайность и порядок объединены, а не есть периодическое явление с наложенным шумом. [c.63]
В этой части мы рассмотрим нелинейные динамические системы. Мы узнаем, что они означают и как идентифицируются. Мы воочию увидим, что рынки капитала могут быть охарактеризованы как нелинейные Динамические системы во времени. Это спорный результат, но он провоцирует на размышления. Однако, если это действительно так, то теория рынков капитала становится основательной и глубокой. [c.158]
Введение в нелинейные динамические системы [c.159]
Глава 11. Введение в нелинейные динамические системы [c.160]
Визуальная оценка данных в нелинейных динамических системах важна потому, что они, как правило, не имеют единственного решения. Обычно существует множество — возможно, бесконечное количество — решений. Как и в реальной жизни, есть много возможностей. В прошлом это обстоятельство заставляло исследователей избегать рассмотрения нелинейных систем. Нынешние широкие графические возможности персональных компьютеров позволяют нам увидеть это [c.162]
Эмпирический анализ никогда не бывает совершенным — он всегда содержит нечеткости. Аккуратные, упорядоченные странные аттракторы теории редко встречаются в реальной жизни. Тем не менее мы можем установить факт, что перед нами нелинейная динамическая система. Если же мы приходим к такому выводу, то можем создать модели из уравнений с целью установления закономерностей движения. Доказательство нелинейности системы — дело нелегкое, но осуществимое. Оно требует терпения и готовности к проверке различных идей, какими бы странными они ни казались. [c.178]
Прежде всего, размерность аттрактора не изменяется, так как мы помещаем его в размерность более высокую, чем его собственная. Плоскость, выстроенная в трехмерном пространстве, остается двумерным объектом. Линия, выстроенная в двумерном или трехмерном пространстве, остается одномерной. Аттрактор, если мы действительно имеем дело с нелинейной динамической системой, сохраняет свою размерность при увеличении размерности вложения сверх фрактальной размерности. Почему Потому что его точки коррелируют и остаются сгруппированными вместе безотносительно к размерности. Применительно к действительно случайному блужданию точки не коррелируют и заполняют любое пространство вложения, поскольку они перемещаются случайным образом. [c.181]
В этой главе мы продемонстрируем результаты применения методов, описанных в гл. 12, к некоторым рынкам капитала. Данная методология, еще оставаясь в младенчестве, по-новому осветила функционирование рынков капитала, однако не создала еще возможности предсказаний. Есть надежда, что ввиду лучшего понимания динамической природы рынков капитала будет развиваться новая их теория. В гл. 14 мы изучим два новых подхода, используемых для иллюстрации того, что практический анализ рынка возможен уже на этой ранней стадии. Перед тем как мы разовьем эти новые подходы, мы изучим подробнее признаки того, что рынки являются нелинейными динамическими системами. В сочетании с результатами Д/5-анализа, описанного в гл. 9, эти данные создают убедительную картину того, что рынки капитала являются нелинейными динамическими системами. [c.189]
Основываясь на знании реальных фактов, имевших место на биржевом рынке, я выдвинул гипотезу в том, что крахи финансовых рынков вызваны медленным ростом крупномасштабных корреляций (длиннолаговых корреляций), ведущих к глобальному кооперативному поведению рынка что, в конечном счете, заканчивается крахом в очень коротком, критически малом интервале времени. Слово "критический" используется здесь не в буквальном смысле в математических терминах, сложные динамические системы могут проходить через, так называемые, критические точки, определяемые как взрыв в бесконечность обычно хорошо себя ведущего параметра или характеристики. Фактически можно констатировать, что чем дальше развиваются теория нелинейных динамических систем, тем с большим основанием мы можем утверждать, что существование критических точек скорее правило, чем исключение. Учитывая высокую социальную значимость крахов финансовых рынков, необходимо ответить на вопрос, о наличии связи между ними и критическими точками. [c.37]
Данный раздел представляет альтернативное понимание возникновения критических точек (конечно временных сингулярностей), осложненных ускоряющимися осцилляциями. Это альтернативное понимание основывается на описании "динамической системы", в которой данные характеристики возникают динамически. Основным компонентом является сосуществование двух классов инвесторов, "фундаменталистов или стоимостных инвесторов" и инвесторов, следующих за трендом (часто называемых чартистами, техническими аналитиками или шумовыми трейдерами на жаргоне финансовой науки). Вторым важным компонентом является признание того, что оба класса инвесторов ведут себя "нелинейно". Данные два компонента порождают конечно-временную сингулярность с ускоряющимися осцилляциями. Сингулярность степенной зависимости является результатом нелинейно возрастающего темпа роста в связи со следованием тренду. Являющиеся приблизительно логопериодическими, осцилляции с замечательными свойствами масштабирования происходят. от нелинейной возвращающей силы, с помощью которой фундаментальные инвесторы, стремящиеся вернуть цену к ее фундаментальной стоимости, влияют на нее. Можно наблюдать богатое разнообразие поведений как функции степени нелинейности темпов роста и восстанавливающей силы. Мы увидим, что динамическое поведение прослеживается назад к самоподобной спиральной структуре динамики (цены, ценовых изменений) в пространственном представлении, разворачивающейся вокруг центральной фиксированной точки [205]. [c.217]
Это хороший урок, относящийся к Рис. 154 эволюция будущего может иметь несколько сценариев. Динамика фондового рынка выбирает один из них, но другая ветвь вероятно, появилась как модификация в результате различных возмущений, воздействующих на систему. Это возвращает нас в начало главы, где мы подчеркивали, как важно учитывать в предсказаниях множественность сценариев. Как упоминалось в различных контекстах в [6], предсказательные схемы и связанные с ними прогнозы, должны определяться в вероятностных терминах, допускающих множественность сценариев, развертывающихся на основе одного и того же развития в прошлом. В этом подходе глубоко заложено видение будущего, как набора потенциально возможных траекторий, которые в определенные моменты могут ветвиться. В какой-то момент, только одна основная траектория экстраполируется с высокой степенью вероятности из прошлого, ставя будущее в почти детерминистическую (хоть и возможно в нелинейной, хаотической манере) зависимость от прошлого. Иногда же, будущее гораздо менее определенно, с множеством практически равнозначных вариантов. В этом случае, мы возвращаемся к картине случайных блужданий. Существование уникального будущего должно рассматриваться не как признак отдельной динамической системы, а как крушение большого распределения вероятностей. Эта концепция найдена, например, в известной Урновой проблеме Поля, рассмотренной в главе 4, где историческая траектория конвергирует в определенный исход, который, однако, контролируется исключительно совокупностью чисто случайных выборов другой исход мог бы быть выбран историей с равной долей вероятности [20]. Очень важно рассматривать прогнозные схемы в основном как способ характеристики вероятностей для возможных конкурирующих сценариев. Эта точка зрения очень ярко отражена в известном научно-фантастическом произведении Азимова "Основание" [23,22]. [c.336]
См. также Абстрактная система, Адаптирующиеся, адаптивные системы, Большая система, Вероятностная система, Выделение системы, Входы и выходы системы, Детерминированная система, Динамическая система, Дискретная система, Диффузная система, Замкнутая (закрытая) система, Иерархическая структура, Имитационная система, Информационная система, Информационно-развивающаяся система, Кибернетическая система, Координаты системы, Надсис-тема, Нелинейная система, Непрерывная система, Открытая система, Относительно обособленная система, Память системы, Подсистема, Портрет системы, Разомкнутая система, Рефлексная система, Решающая система, Самонастраивающаяся система, Самообучающаяся система, Самоорганизующаяся система, Сложная система, Состояние системы, Статическая система, Стохастическая система, Структура системы, Структуризация системы, Управляющая система, Устойчивость системы, Целенаправленная система, Экономическая система, Функционирование экономической системы. [c.325]
Нелинейные динамические системы являются детерминированными системами, которые могут проявлять беспорядочное поведение. При обсуждении хаоса обычно обращаются к хаотическим отобралсениям. Отображения обычно представляют собой системы итерированных разностных уравнений, таких как известное логистическое уравнение [c.100]
На рисунке 6.7 показаны первые 500 из 8 000 наблюдений, используемых для этого испытания. Обратите внимание на нерегулярные длины цикла, типичные для нелинейной динамической системы. На рисунке 6.8 представлен график R/S для всех 8 000 значений с очевидным Н = 0,93 для п < 50. Однако при п > 50 наклон является фактически нулевым, показывая, что достигнут максимальный диапазон. Уравнение Макки-Гласса, будучи гладкой, детерминированной системой, имеет показатель степени Херста близкий к 1. На рисунке 6.9 приведен график V-статистики для тех же значений. Длина цикла при приблизительно 50 наблюдениях абсолютно очевидна. На рисунке 6.10 отставание было изменено на 100 наблюдений. Разрыв графика R/S теперь происходит при п = 100, подтверждая тот факт, что R/S-анализ может обнаруживать различные длины цикла. Читателю советуется изменить отставание уравнения Макки-Гласса, чтобы проверить это заключение. [c.101]
На Рисунке 16.2 показаны значения Н по мере добавления возрастающего шума к уравнению Макки-Гласса. Показатель Херста быстро понижается до 0,70, а затем постепенно падает до 0,60. Однако после добавления двух стандартных отклонений шума, Н все еще приблизительно составляет 0,60. Это означает, что частые значения Н=0,70, что так интриговало Херста (Hurst, 1951), возможно, обусловлены тем фактом, что добавление шума к нелинейной динамической системе быстро заставляет значение Н упасть до 0,70. С другой стороны, данные Н ниже 0,65, которые обнаруживаются на рынках, вероятно, не вызваны просто добавлением измерительного или аддитивного шума к хаотическому аттрактору, но могут, вместо этого, быть вызваны дробным шумом. Эта возможность также подтверждает идею о том, что в краткосрочной перспективе рынки представляют собой дробный шум, а в [c.231]
Гипотеза шумового хаоса, для наших наблюдений, базируется на идее о том, что, поскольку у нас возникает столько трудностей при измерении системы, двух стандартных отклонений шума все еще недостаточно для генерирования показателей Херста, подобных тем, которые мы видели в Главе 9. Я считаю, что это маловероятно (хотя другие могут считать иначе). Мы уже видели одну систему с показателем Херста, быстро падающим до 0,70 - функцию Вейерштрасса в уравнении (6.2). Функция Вейерштрасса была наложением многочисленных систем, работающих на многочисленных частотах, которые изменяют масштаб самоаффинным образом. Работая в рамках гипотезы фрактального рынка, вероятно, что каждый инвестиционный горизонт имеет свою собственную динамическую систему, которая налагается и добавляется к долговременной нелинейной динамической системе. Такая система имела бы динамику, которая существует на каждом инвестиционном горизонте. Поскольку частотное распределение на каждом горизонте аналогично, мы [c.251]
Критические уровни. Величины управляющих параметров, при которых изменяется природа нелинейной динамической системы. Такая система может бифурцировать или совершить переход от устойчивого состояния к турбулентности. Примером может служить соломинка, переломившая верблюжью спину. [c.287]
Мы установили, что фракталы порождаются нелинейными динамическими системами, однако не обсудили, что это означает. В этой главе мы установим интуитивную связь между этими двумя концепциями, что естественным образом приведет к проблематике части 3. Речь пойдет главным образом о логистическом уравнении — математической модели, которая уже была затронута в гл. 1. Логистическое уравнение — это простая одномерная модель, которая демонстрирует богатство хаотического поведения, включая переходы от порядка к хаосу в определенной последовательности. Это уравнение исследовал Мэй (May, 1976), а Фейгенбаум (Feigenbaum, 1983) нашел новую универсальную константу, встроенную в его систему. В дополнение ко всему изображение его возможных решений образует статистическую структуру, в которой легко увидеть фрактал. Поэтому данная глава будет касаться больше этой математической модели, нежели финансовых инвестиций и экономической теории. Как и в других разделах книги, изложение ведется на интуитивном уровне. Тех, кто заинтересован в более строгом математическом изложении, мы отсылаем к статьям Мэя и Фейгенбаума, а также к учебнику Девани (Devaney, 1989). [c.147]
Динамическая система есть нелинейная система с обратной связью. Основные характеристики динамических систем включают в себя чувствительную зависимость от начальных условий, критические уровни и уже знакомые нам из части 2 фрактальные размерности. Важным моментом в понимании нелинейных динамических систем является их зритель-нор ВООТТрИЯТИР ТВ ИССЛЕДОВАНИИ ХЯ РИ УИЛТ-НЫЙ ЯНЯЛ " [c.162]
Догистическое уравнение с задержкой является важным потому, что оно демонстрирует поведение нелинейной динамической системы в зависимости от управляющего параметра — константы (а). В наших компьютерных экспериментах мы задавали величину управляющего параметра постоянной, пока изучали поведение системы. В физических науках вполне возможно проведение таких управляемых экспериментов. Если управляющий параметр эквивалентен температуре, то температура поддерживается постоянной в процессе лабораторного наблюдения за поведением системы. В экономической теории и инвестиционных финансах мы не способны поддерживать постоянство управляющих параметров и проводить такого рода управляемые эксперименты. Если отношение роста к падению становится накаленным , оно меняет ситуацию на рынке, но мы не можем экспериментировать с другими величинами отношений и при этом наблюдать измененное поведение. Мы можем только изучать исторические данные, относящиеся к периодам, когда управляющий параметр мог меняться ежемоментно. Следовательно, при изучении временных рядов данных в экономической теории и инвестиционных финансах мы должны ясно понимать, что эти данные могут заключать в себе все возможные состояния в смешении точечные аттракторы, предельные циклы и странные аттракторы. [c.173]
Паккард даот математическое объяснение. Я это сделаю на интуитивном уровне. Нелинейные динамические системы являются внутренне зависимыми симультантными система-Ми. Текущие величины каждой переменной есть трансформации прошлых величин. Напомним уравнения (11-1) для отображения Хенона [c.179]