Для преодоления этой трудности был предложен альтернативный способ проведения диалога, основанный на построении множества всех достижимых наборов целей. Обозначим через с вектор, описывающий некоторый набор целей (СДГ),. .., AT) . Множество достижимых значений вектора представляется в виде системы линейных неравенств [c.284]
Пусть имеется система линейных неравенств в (k + Л-мерном пространстве Eh+ [c.315]
Недостатком методов представления эффективного множества на основе построения обобщенных множеств достижимости является трудоемкость построения множества G/ в виде (3.25). Для использования методов теории линейных неравенств необходимо иметь ЭВМ с большим объемом оперативной памяти и высоким быстродействием. Впрочем, требования к быстродействию ЭВМ также ограничивают применимость методов представления эффективного множества на основе его точек. Поэтому методы представления эффективного множества, в том числе и на основе G/, разумно использовать для анализа упрощенных математических моделей изучаемой системы, а затем выбранное сочетание критериев уточнить на более подробной и адекватной модели с помощью одной из диалоговых процедур принятия решения. Так, методы представления эффективного множества с помощью построения обобщенного множества достижимости удобно сочетаются с диалоговой процедурой целевого подхода, изложенной выше. [c.318]
Для решения задачи (8)-(10) строим многоугольник решений, определенный системой линейных неравенств (9) и условием неотрицательности переменных (рис. 8.5). [c.133]
При фиксированном f увеличение дисперсий случайных величин a(-.-( j) и bj(
Точных методов решения целочисленных нелинейных задач в настоящее время нет. Однако нелинейные целочисленные задачи можно свести, к линейным целочисленным [122]. Сведем, например, задачу (4.24) — (4.31) к задаче целочисленного линейного программирования. Для этого любое произведение булевых переменных, входящее в условия задачи, необходимо заменить одной новой булевой переменной, а к системе ограничений экономико-математической модели добавить два линейных неравенства соответственно для каждой вновь вводимой булевой переменной. >В нашем случае [c.193]
Решение этой системы линейных неравенств — это выпуклый [c.22]
Заметим, что линейные неравенства (26)-(27) совпадают с не- [c.35]
Если выпуклый конус задан в виде решений некоторой однородной системы линейных неравенств, то все его ребра в принципе можно найти, например, методом перебора, рассматривая все возможные подсистемы определенного числа линейных уравнений, получающиеся из исходной системы неравенств заменой всех знаков неравенств равенствами (по этому поводу см. [4]). [c.54]
Теперь докажем, что конус М совпадает с множеством нену-Левых решений следующей системы линейных неравенств [c.61]
Число уравнений системы (2.10) равно т. Вследствие линейной независимости произвольного набора из т - 1 векторов, полученного из е1,..., eJ у, eJ+1,..., ет удалением какого-то одного вектора, для отыскания фундаментальной совокупности решений системы неравенств (2.8) достаточно просмотреть ненулевые решения каждой подсистемы из т - 1 уравнений системы (2.10) При этом среди них следует отобрать векторы, удовлетворяющие системе линейных неравенств (2.8). [c.62]
Общее (т. е. произвольное) решение системы линейных неравенств имеет вид линейной комбинации определенной конечной совокупности решений этой системы с неотрицательными коэффициентами (см. [4], с. 243). При этом фундаментальная совокупность решений системы линейных неравенств — это минимальная (по количеству) подобная совокупность решений. [c.62]
Пусть х, х е X, у = f(x), у = /(х ) и f(x) /(х ). На основании доказанного выше совпадения конуса М с множеством ненулевых решений системы линейных неравенств (2.8) включение /( ) - /( ) е М имеет место тогда и только тогда, когда вектор у = f(x) - f(x ) является ненулевым решением системы (2.8), т. е. [c.63]
Так как образующими конуса М являются векторы е1, е2,..., ет, у, то множество ненулевых решений системы линейных неравенств [c.85]
Найдем фундаментальную совокупность решений системы линейных неравенств (3.6). Это должна быть такая система векторов, множество неотрицательных линейных комбинаций которой в точности совпадает с множеством решений системы (3.6). При этом ни один вектор фундаментальной совокупности невозможно представить в виде неотрицательной линейной комбинации остальных векторов этой совокупности. [c.85]
Сначала укажем некоторый набор решений системы линейных неравенств (3.6). Прежде всего, заметим, что каждый единичный орт е пространства Rm при / е 1 В является решением (3.6). Далее, введем векторы [c.85]
Для того чтобы проверить, что указанный набор векторов образует фундаментальную совокупность решений системы (3.6), остается убедиться в том, что система линейных неравенств (3.6) не имеет никаких других (с точностью до положительного множителя) решений, кроме всевозможных неотрицательных линейных комбинаций векторов указанного выше набора. С этой целью наряду с системой (3.6) рассмотрим соответствующую ей систему из т + 1 линейных уравнений [c.86]
Любая подсистема из т - 1 векторов системы е е2,..., ет,у является линейно независимой. Следовательно, искомая фундаментальная совокупность решений системы линейных неравенств (3.6) содержится среди (одномерных) ненулевых решений подсистем из т - 1 уравнений системы линейных уравнений (3.7). [c.86]
Несколько слов о втором случае. Когда Л = / , рассуждения аналогичны, но несколько проще приведенных выше. В этом случае следует рассмотреть систему из т уравнений, которая отличается от (3.7) отсутствием уравнения (е, у) = О, соответствующего единичному орту е. Здесь удалять следует лишь одно уравнение, чтобы получить ту же самую фундаментальную совокупность решений системы линейных неравенств (3.6). [c.87]
Итак, в силу доказанного выше, множество решений системы линейных неравенств (3.6), т. е. конус С (вместе с нулем), совпадает с множеством всех неотрицательных линейных комбинаций векторов а1, а2,..., ар. Поэтому включение z e С для вектора z имеет место тогда и только тогда, когда этот вектор можно представить в виде некоторой ненулевой неотрицательной линейной комбинации векторов указанного набора. [c.87]
Установим совпадение конуса М с множеством ненулевые решений системы линейных неравенств [c.100]
Система (4.4) содержит /и + 1 линейное уравнение, причем любая подсистема из т - 1 векторов набора е s e / /, f , У, у", У, участвующих в образовании этой системы, является линейно независимой. Поэтому для отыскания общего решения системы линейных неравенств (4.3) достаточно просмотреть (одномерные) ненулевые решения всех возможных подсистем системы (4.4), получающихся из (4.4) удалением каких либо двух ее Уравнений. При этом найденные таким способом решения должны Удовлетворять системе неравенств (4.3). [c.101]
Аналогично разбирается случай удаления (т - 1)-го уравнения вместе с одним из уравнений вида es, у) = 0. При этом будет найдено еще одно ненулевое решение у" при 5 = i, удовлетворяющее системе линейных неравенств (4.3). [c.102]
В итоге получаем совокупность векторов е . .., е у, у", е + . .., ет, порождающих конус решений системы линейных неравенств (4.3). Полученная совокупность совпадает с системой векторов, порождающих конус М. Тем самым, установлено, что множество ненулевых решений системы линейных неравенств (4.3) совпадает с конусом М. [c.102]
Конус острый, так как является подмножеством острого конуса К. Докажем совпадение конуса М с множеством ненулевых решений системы линейных неравенств [c.107]
В системе (4.10) /л уравнений. Любая подсистема из т - 1 вектора системы векторов е1,..., ек х, у, ек+],..., ет является линейно независимой. Поэтому для отыскания фундаментальной совокупности решений системы линейных неравенств (4.9) достаточно найти по одному ненулевому решению каждой из подсистем системы (4.10), получающейся из (4.10) удалением какого-то одного из ее уравнений (при этом найденное решение должно удовлетворять системе неравенств (4.9)). [c.107]
Таким образом, одна из фундаментальных совокупностей решений системы линейных неравенств (4.9) имеет вид (4.8). Следовательно, конус М совпадает с множеством ненулевых неотрицательных решений системы линейных неравенств (4.9). [c.108]
А Теорема является следствием предыдущей теоремы и одного утверждения из теории систем линейных неравенств (см. [34], с. 269).v [c.114]
С этой целью найдем общее решение системы линейных неравенств (4.23), рассмотрев соответствующую ей систему линейных уравнений [c.120]
Теперь обсудим, каким образом МДЦ можно использовать при наличии дополнительной информации об относительной важности критериев в случае, когда множество возможных решений состоит из бесконечного числа элементов (например, задано в виде множества решений некоторой системы линейных неравенств). Для иллюстрации сначала рассмотрим самую простую ситуацию, — когда имеется всего три критерия и первый критерий важнее второго с некоторым коэффициентом относительной важности. Будем считать, что другой информации нет, причем получающееся в результате учета этой информации множество парето-оптимальных векторов бесконечно. Спрашивается, каким образом произвести дальнейшее сужение области поиска или же более того — остановить выбор на каком-то одном из возможных векторов С этой целью можно по известной формуле 612/1 + (1 - 0i2)/> пересчитать менее важный второй критерий и, тем самым, образовать новый векторный критерий, в котором первый и третий остались прежними. Именно второй, измененный критерий следует взять в качестве некоординатного и задать определенный ряд его значений для получения соответствующих двумерных сечений. Сравнивая представленные на дисплее сечения, можно получить наглядное представление о структуре множества Парето, соответствующем новому векторному критерию, и попытаться выбрать из этого множества какой-то один определенный (компромиссный) вектор у, у, у )- Этот [c.168]
Фундаментальная совокупность решений однородной системы линейных неравенств 62, 108, 121 [c.173]
Черников С.Н. Линейные неравенства. — М. Наука, 1968. — 352 с. [c.175]
Линейное программирование. Этот метод математического программирования объединяет методы решения задач, которые описываются линейными уравнениями. Если предприятие работает на рынке, близком по свойствам к рынку чистой конкуренции, на котором оно вынуждено продавать товары по неизменной, установившейся независимо от предприятия цене, то между выручкой от реализации, издержками и количеством реализованной продукции может существовать линейная зависимость. Ограничения выпуска продукции по загрузке производственных мощностей выпускаемой продукции могут быть описаны линейными неравенствами. В этом случае составление оптимального по прибыли или выручке от реализации плана производства сводится к решению задачи линейного программирования. [c.112]
Линейным программированием называется раздел математики, в котором изучаются методы нахождения минимума и максимума линейной функции конечного числа переменных при условии, что переменные удовлетворяют конечному числу дополнительных условий, имеющих вид линейных уравнений и линейных неравенств. [c.268]
Линейное программирование имеет дело с оптимизацией моделей, в которых целевая функция линейно зависит от переменных решения и ограничения представляют собой линейные неравенства или уравнения относительно переменных решения. [c.47]
Для построения множества Gf в виде (3.24) предлагается использовать методы теории линейных неравенств, разработка которой, была начата еще в начале XIX века в работах великого французского математика Жана Батиста Фурье. Поскольку эти методы недостаточно известны широкому кругу читателей, дадим общее представление о некоторых идеях этой теоршт. [c.315]
Линейное программирование (linear programming) — раздел математического программирования, посвященный методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных неравенств и равенств. Используется менеджерами для принятия решений в ситуациях с ограниченными ресурсами. [c.239]
Линейное программирование (планирование) - математический метод отыскания максимума или минимума линейной функции при наличии ограничений в виде линейных неравенств или уравнений. (Линейное здесь означает, что на графике функции изоб- [c.58]
Множество L всех решений (векторов х Rm) однородного линейного неравенства с, х) = с хх + с2х2 +. .. + стхт 0, где с — фиксированный ненулевой вектор пространства Rm, пред- [c.52]
Если же вместо одного неравенства рассматривать некоторую систему, содержащую определенное конечное число подобного рода неравенств, то множеством решений этой системы однородных линейных неравенств также будет выпуклый конус, представляющий собой пересечение конечного числа замкнутых полупространств. Его называют многогранным (полиэдральным) конусом. В общем случае этот конус не является острым. [c.53]
Поскольку все возможные варианты удаления пар уравнений из системы линейных уравнений (3.7) рассмотрены, то никаких других (с точностью до положительного множителя) решений подсистем из т - 1 уравнений системы (3.7), удовлетворяющих (3.6), не существует. Это означает, что система векторов, составленная из е для всех i е / В и e J для всех / е А и всех j e й, образует фундаментальную совокупность решений системы линейных неравенств (3.6). Следовательно, любое решение системы неравенств (3.6) может быть представлено в виде неот- [c.86]
Итак, фундаментальная совокупность решений системы линейных неравенств (4.23) имеет вид (4.22). Поэтому конус Мдей-ствительно совпадает с множеством ненулевых решений системы линейных неравенств (4.23). [c.121]
Один из наиболее простых способов образования идеального множества восходит к Чарнсу и Куперу и состоит в задании его при помощи линейных неравенств и уравнений [c.163]
В задачах с двумя переменными можно отказаться от перехода от неравенств к уравнениям, так как линейное неравенство o,j ,+ я2х2 < b допускает непосредственную геометрическую интерпретацию все точки, удовлетворяющие этому неравенству, лежат на прямой а х + а2х2 = b и в одной из двух полуплоскостей, на которые эта прямая делит всю плоскость, [c.198]