Кендалла классификация 316 Колмогорова уравнения 319 Комплексные числа 31 Конечные разности 281 Конус выпуклый 87 [c.328]
Множество А, А с R", называют выпуклым, если оно вместе с каждой парой своих точек содержит и весь отрезок, соединяющий эти точки. Иными словами, подмножество А пространства Rm выпукло, если для всех пар точек у, у" е А и любого числа А е [0, 1] выполнено соотношение у + (1 - А) у" е А. Множество К, К с Rm, называется конусом, если для каждой точки у е К и любого положительного числа а выполняется включение ау е К. Конус, являющийся выпуклым, именуют выпуклым конусом. Иначе говоря, выпуклое множество является выпуклым конусом, если оно вместе с каждой своей точкой содержит и весь луч, исходящий их начала координат (в общем случае без самого начала) и проходящий через данную точку. При этом начало координат (вершина конуса) может как принадлежать, так и не принадлежать данному конусу. Можно проверить, что сумма любых двух (и более) элементов выпуклого конуса всегда принадлежит данному конусу. Конус К называют острым, если не существует такого ненулевого вектора у е К, для которого выполняется включение -у е К. Не являющийся острым конус обязательно содержит, по крайней мере, одну прямую, проходящую через начало координат (вместе с самим началом или же без него). [c.52]
А Действительно, из (с, х) 0 следует справедливость неравенства (ас, х) = (с, ах) 0 для любого положительного множителя а. Значит, L — конус. Убедимся, что это выпуклый конус. С этой целью возьмем две произвольные точки х и х" конуса L. Для них выполнены неравенства с,х ) 0 и (с, х") 0. Умножим первое неравенство на произвольное число X е [0,1], а второе — на 1 - X. Складывая почленно полученные неравенства, придем к неравенству Х(с,х + (1 - Х) с,х") = с,Хх + (1 -- Х)х") 0, устанавливающему выпуклость конуса Z,.v [c.53]
Одномерные грани (т. е. лучи, а также векторы, порождающие эти лучи) называют ребрами выпуклого конуса. Известно [28], что любой острый выпуклый замкнутый конус, не совпадающий с началом координат, порождается своими ребрами. [c.53]
Если выпуклый конус задан в виде решений некоторой однородной системы линейных неравенств, то все его ребра в принципе можно найти, например, методом перебора, рассматривая все возможные подсистемы определенного числа линейных уравнений, получающиеся из исходной системы неравенств заменой всех знаков неравенств равенствами (по этому поводу см. [4]). [c.54]
Еще некоторые два острых плоских конуса Кх и К2 изображены на рис 2.2. Верхняя полуплоскость представляет собой замкнутое полупространство, т. е. выпуклый конус, не являющийся острым. Более подробно с выпуклыми множествами и конусами можно ознакомиться в [4, 28, 31]. [c.54]
Таким образом, отношение К действительно является конусным с конусом К. Необходимо проверить, что конус К — выпуклый, острый и не содержит начало координат. [c.55]
Докажем обратное утверждение. Пусть Jf — произвольное конусное отношение с острым выпуклым конусом К, не содержащим начало координат. Убедимся в том, что оно является ир-рефлексивным, транзитивным и инвариантным относительно линейного положительного преобразования. [c.56]
Проверим транзитивность отношения предпочтения. Для этой цели выберем произвольную тройку векторов у, у", у " Г, удовлетворяющих соотношениям у "Sly" и у" Яу ". Последние два соотношения можно переписать в виде у - у" е К и у" -- у " g К, откуда следует, что имеются два определенных элемента конуса К. Поскольку сумма любых двух элементов выпуклого конуса принадлежит данному конусу, из двух последних соотношений получаем у - у" е К, или, что то же самое, у Шу". Полученное доказывает транзитивность отношения 3 . [c.56]
А Обозначим через К острый выпуклый конус (без нуля) конусного отношения предпочтения >. По условию доказываемой теоремы и в соответствии с определением 2.4 для вектора у, определяемого равенствами (2.4), выполнено соотношение у > 0т. Это соотношение равносильно включению у 6 К. Таком образом вектор у принадлежит конусу К, определяющему конусное отношение предпочтения у. [c.60]
Как было указано в начале доказательства теоремы, имеет место включение у е К. В силу следствия 2.1 справедливо соотношение i " с К. Конус R порождается набором единичных векторов е1, е2,. .., ет. Так как К— выпуклый конус, то он вместе с векторами (2.7) заведомо содержит и все ненулевые неотрицательные линейные комбинации векторов (2.7), т. е. М с К. В итоге приходим к включениям [c.63]
На основании теории двойственности выпуклого анализа ([28], с. 175) образующими конуса С являются внутренние нормали к (т - 1)-мерным граням конуса М, и обратно образующими конуса М служат внутренние нормали к (т - 1)-мерным граням конуса С. [c.84]
Обозначим через М выпуклый конус (без нуля), порожденный векторами е[,. .., ет,у, у". Этот конус порождается тем же самым набором, но без вектора е, так как последний можно представить, например, в виде линейной комбинации векторов е у с положительными коэффициентами. Таким образом, конус М совпадает с множеством всех ненулевых неотрицательных линейных комбинаций вида [c.100]
Пусть М — выпуклый конус (без нуля), порожденный векторами е е2,. .., ё", у, у". Вектор е можно представить в виде линейной положительной комбинации векторов ек и у, а вектор [c.106]
А На основе определения 4.1 и следствия 2. можно заключить, что набор векторов (4.12) будет непротиворечивым тогда и только тогда, когда существует конусное отношение с острым выпуклым конусом М(без нуля), для которого выполняются соотношения [c.113]
Достаточность. Рассмотрим выпуклый конус (без нуля), порожденный векторами (4.13). Обозначим его М. По условию он — острый. Поскольку все единичные векторы е е1,..., ет входят в набор векторов, порождающих М, то R С М. Следовательно, для этого конуса справедливы соотношения (4.14).v [c.114]
Определение 4.2. Для непротиворечивого набора пар векторов (4.12) пару uk+l, vk+[ будем называть существенной, если выпуклый конус, порожденный единичными векторами е ег,..., ет вместе с векторами и - v, i = 1, 2,..., к + 1, не совпадает с выпуклым конусом, порожденным теми же самыми единичными векторами и векторами и - v, i — I, 2,..., к. [c.117]
Перейдем к доказательству второй части, посвященной существенности пары векторов ик+х, vk+l- Согласно определению 4.2 эта пара векторов является существенной тогда и только тогда, когда вектор uk+l - vk+1 не принадлежит выпуклому конусу, порожденному векторами е е2,..., ет, и1 - и1, и2 - и2,..., ик - vk. Последнее имеет место тогда и только тогда, когда неоднородная система линейных уравнений (4.19+) не имеет ни одного неотрицательного решения, v [c.119]
А Как обычно, пусть К означает острый выпуклый конус (без нуля) конусного отношения предпочтения >-. Наличие имеющейся в условиях теоремы информации об относительной важности критериев означает выполнение включения у " е К для каждого р = 1,2,..., /, где у m-мерного вектора у " все компоненты равны нулю, кроме уй и к-й, которые определяются равенствами у. " = 1 - 0,-1 и у, = -6, к. [c.120]
Через U обозначим выпуклый конус (без нуля), порожденный векторами е е2,. .., ет, у 1, yh-,...,y . Вектор е р можно представить в виде линейной комбинации векторов ек и у р с положительными коэффициентами. Следовательно, конус М порождается набором векторов вида [c.120]
Сначала, однако, напомним определение двойственного конуса. Пусть а1, а2,..., ак — конечный набор векторов т-мерного евклидова пространства. Выпуклый конус, порожденный указанными векторами, обозначим [c.123]
Задача. Найти алгоритм, который для произвольного заданного конечного набора векторов а1, а1,..., ак, порождающих выпуклый острый т-мерный конус М, дает возможность за обозримое время построить минимальный набор векторов bl, b2,. .., Ь", порождающих двойственный конус С, т. е. таких, что [c.123]
Введем выпуклый конус М (без нуля), порожденный векторами [c.124]
Мажорантное отношение. Конусное отношение ум с острым выпуклым конусом М (без нуля), порожденным векторами (4.25), будем называть мажорантным отношением. Это наименование обуславливается тем, что на его основе далее будет построена оценка сверху (т. е. мажоранта) для множества выбираемых Векторов (решений). [c.125]
КОНУС (ВЫПУКЛЫЙ) [ one] — выпуклое подмножество векторного пространства, содержащее вместе с каждой точкой х все точки, полученные после умножения х на произвольное неотрицательное число [c.153]
Альтернатива для выпуклого конуса выпуклый конус KF в конечномерном пространстве Ет+1 либо совпадает со всем пространством, либо занимает не более полупространства. В последнем случае существует опорный вектор g Em+l такой, что [c.46]
Если проводить рассмотрение в пространстве условий, то известно, что множество, образующее линейную оболочку векторов а - (где а,- -столбцы матрицы А), является выпуклым полиэдральным конусом. [c.206]
Если же вместо одного неравенства рассматривать некоторую систему, содержащую определенное конечное число подобного рода неравенств, то множеством решений этой системы однородных линейных неравенств также будет выпуклый конус, представляющий собой пересечение конечного числа замкнутых полупространств. Его называют многогранным (полиэдральным) конусом. В общем случае этот конус не является острым. [c.53]
Теорема 2.3. Любое иррефлексивное, транзитивное и инвариантное относительно линейного положительного преобразования бинарное отношение JJ, заданное на пространстве Rm, является конусным отношением с острым выпуклым конусом, не содержащим начало координат. Обратно, всякое конусное отношение с конусом указанного типа является иррефлексивным, транзитивным и инвариантным относительно линейного положительного преобразования отношением, заданным на Rm. [c.55]
Следствие 2.1. Любое бинарное отношение у, удовлетворяющее аксиомам 2, 3 и 4, является конусным с острым выпуклым конусом, содержащим неотрицательный ортант R и не содержащим начало координат. Обратно, всякое конусное отношение с конусом указанного типа удовлетворяет аксиомам 2, 3 и 4. [c.57]
Достаточность. Если конусное отношение порождается острым выпуклым конусом (без нуля), то в силу теоремы 2.3 соответствующее ему конусное отношение является иррефлексивным, транзитивным и инвариантным относительно линейного положительного преобразования (т. е. аксиомы 2 и 4 выполнены). А так как этот конус содержит неотрицательный ортант R , то соответствующее конусное отношение, кроме того, удовлетворяет аксиоме Парето. Нетрудно понять, что из справедливости аксиомы Парето вытекает выполнение аксиомы 3. Следовательно, рассматриваемое конусное отношение удовлетворяет всем аксиомам 2-4.v [c.57]
В соответствии со следствием 2.1, бинарные отношения, удовлетворяющие аксиомам 2-4 (напоминаем, что эти аксиомы предполагаются выполненными), допускают простую геометрическую Интерпретацию — они являются конусными отношениями с острыми, выпуклыми конусами без начала координат, причем эти Конусы разве что шире неотрицательного ортанта R . [c.57]
Введем в рассмотрение множество М — совокупность всех ненулевых неотрицательных линейных комбинаций конечного набора векторов е е2,..., ет, у, где е е2,..., ет — единичные орты пространства Rm. Множество Мявляется выпуклым конусом, не содержащим начало координат (так как коэффициенты линейных комбинаций одновременно в нуль не обращаются). В силу включений е е2,..., ет R+ С К и у е К введенное множество М представляет собой подмножество конуса К. Более того, М — острый конус, так как он — подмножество острого выпуклого конуса К. [c.84]
К > w 2, - w 3) = OD при определенных положительных параметрах w, w, Wj (рис. 3.1). Конкретные значения данных параметров в дальнейшем изложении существенной роли не играют. Неотрицательный ортант (октант) R], — это острый выпуклый конус (без [c.91]
Нуля) ОАВС, порожденный единичными ортами е = ОА, е2 = ОВ и е3 = ОС. Этот конус имеет три двумерные грани, представляющие собой соответствующие части координатных плоскостей ОВС, ОАСк ОАВ. Выпуклый конус М, порожденный единичными ор-тами пространства / 3 и вектором у — это острый выпуклый ко-Иус (без нуля), имеющий уже четыре двумерные грани ОВС, О АС, [c.91]
Необходимость. Пусть набор векторов (4.12) является непротиворечивым. Тогда в силу сказанного в начале доказательства существует острый выпуклый конус М (без нуля), для которого верно (4.14). Векторы (4.13) принадлежат конусу Ми порождают в общем случае некоторый выпуклый подконус конуса М. Поскольку подконус острого конуса сам является острым, то набор векторов (4.13) порождает острый выпуклый конус. [c.114]
Из приведенных доказательств теорем, посвященных учету различного рода информации об относительной важности критериев, можно усмотреть вполне определенную схему, на основе которой получаются соответствующие формулы для пересчета нового критерия. Кратко эту схему можно описать следующим образом. С самого начала, когда еще нет никакой информации об относительной важности критериев, справедливо лишь включение R" с К, где символом А"обозначен острый выпуклый конус (неизвестного) конусного отношения >. Указанное включение выполняется благодаря аксиоме Парето. Наличие в общем случае некоторого набора информации, состоящего из к сообщений об относительной важности критериев, на геометрическом языке означает задание к векторов у1 е Rm, для которых выполнено у > 0т или, что то же самое, у е К, i = 1, 2,..., к. Далее вводится острый выпуклый конус М, порожденный векторами е1, е1,..., ет, у у2,. ..,ук. Этот конус определяет конусное отношение того же самого класса, что и неизвестное отношение предпочтения >, но более широкое, так как М с К. Конус М является конечнопорожденным, а значит многогранным. Число компонент нового векторного критерия в точности совпадает с числом (т - 1)-мерных граней конуса М, а нормальные (направленные [c.122]
Все указанные векторы принадлежит острому выпуклому конусу К, который задает конусное отношение предпочтения >-. Поэтому справедливо включение М с К, а значит конус М — острый. Кроме того, благодаря аксиоме Парето он содержит неотрицательный ортант Я , т. е. j с М. [c.125]
Смотреть страницы где упоминается термин Конус выпуклый
: [c.172] [c.470] [c.5] [c.53] [c.53] [c.54] [c.56] [c.67] [c.84] [c.88] [c.100] [c.106]Справочник по математике для экономистов (1987) -- [ c.87 ]