В силу (4.31) и (4.32) задачи о форме тела минимального сопротивления на множествах выпуклых тел с ограниченной высотой или с ограниченным объемом правильно поставлены. Решения этих задач неизвестны. Имеются лишь некоторые приближенные подходы, связанные с дополнительными допущениями относительно симметрии тела (сводящие задачу к одномерной) или толщины тела (видоизменяющие функционал). [c.123]
Полупространства. Многогранный конус. Выпуклые множества. Выпуклая оболочка. Системы линейных неравенств. Квадратичные формы, способы их приведения к каноническому виду. [c.11]
Пусть допустимое потребительское множество Х=М+, потребитель имеет начальный запас со=(1,1), цены на товары задаются вектором реМ++. Изобразите графически бюджетное множество потребителя, в случае если в экономике ввели налог с продаж, взимаемый как процент от цены. Является ли бюджетное множество выпуклым [c.54]
Для случая двух товаров изобразите эскиз бюджетного множества, если цена первого товара зависит от объема, а цена второго постоянна, причем цена первого товара убывает при росте объема. Доход потребителя предполагаем фиксированным. Является ли данное бюджетное множество выпуклым [c.54]
Напомним, что в рассматриваемом случае технологию каждого производителя представляет функция издержек. Если технологическое множество выпукло, то функция издержек является выпуклой. В этом параграфе мы приведем постановки задачи потребителя при различных предположениях о типе конкуренции с которым сталкивается производитель. [c.226]
С другой стороны, имеется развитое направление исследований, получившее название математической экономики. В работах, относящихся к этому направлению, изучаются свойства математических моделей, построенных на основе формализации некоторых понятий экономической науки, таких как, например, конкурентное равновесие. Используя некоторые предположения о функциональных зависимостях (например, о выпуклости функций и множеств), исследователи анализируют общие свойства моделей — доказывают теоремы о существовании экстремальных значений тех плп иных параметров, изучают свойства точек равновесия, траекторий равновесного роста и т. д. Эти исследования содействовали становлению экономико-математических методов, помогали п помогают отточить математические методы, используемые в прикладных исследованиях. Однако с развитием математической экономики рассматриваемые в ней проблемы все более уходили от экономической реальности и становились чисто математическими, В результате этого в настоящее время математическая экономика представляет собой своеобразный раздел математики, изучающий специальные математические конструкции, которые лишь с большой степенью произвола можно назвать экономическими моделями. [c.6]
Среди нелинейных статических моделей, используемых в экономико-математическом моделировании, наиболее важную роль играют модели, для которых множество допустимых значений X является выпуклым множеством, точнее говоря, вместе с любыми двумя векторами х X и х е X этому множеству принадлежит весь отрезок х =° ах + (1 — а)х , где а изменяется от нуля д. 1 до единицы. Как легко заметить, [c.34]
Рассмотрим вопрос об условиях, достаточных для того, чтобы множество допустимых значений X, описываемое соотношениями (3.8), было выпуклым. Этот вопрос решается на основе введения понятия выпуклой функции. Функция g(x), где х е Еп,- называется выпуклой вниз (или просто выпуклой), если для любых значений х и ж и при любом числе ос, изменяющемся от нуля до единицы, выполнено неравенство [c.34]
Если же для некоторой функции выполнено обратное условие, то ее называют вогнутой (или выпуклой вверх). Пример выпуклой функции приведен па рис. 1.4, а вогнутой — на рис. 1.5. Можно показать, что в том случае, когда все функции gp(x) (р = 1,. .., пг) выпуклы, множество X также выпукло ). Понятие выпуклости функций и множеств играет важную роль в экономико-математическом моделировании, поскольку позволяет получить интересные качественные результаты. [c.34]
Обратим внимание на то, что множество допустимых значений модели с дискретными переменными не является выпуклым, поскольку переменные не могут принимать любые промежуточные значения. Этим определяется сложность исследования линейных целочисленных моделей и тем более нелинейных целочисленных моделей, которые также встречаются в исследованиях. [c.34]
Здесь A (t), A2(t), i(t), 2(t — заданные матрицы, элементы Которых зависят от времени, a(t) и b(t) — заданные векторы, также зависящие от времени. Соотношение (3.17) является линейным дифференциальным уравнением, описывающим изменение состояния системы, а (3.19) — представлением множества УШ. Как и в статическом случае, исследование линейных систем является более простой задачей, чем анализ модели общего вида. К линейным моделям близки по свойствам модели типа (3.17), (3.18) с ограничениями общего вида (3.16) в том случае, когда множество Y(t) при каждом t выпукло. [c.37]
Как мы уже говорили в предыдущем параграфе, множество, описываемое системой (4.23), (4.24), является выпуклым и многогранным. В связи с линейностью критерия (4.22) можно утверждать, что решение задачи (если, конечно, оно существует) достигается па границе множества допустимых решений (4.23), (4.24), его выпуклость гарантирует, что найденный локальный максимум будет совпадать с глобальным. Поскольку это множество является многогранным, то из линейности критерия следует, что решение достигается в вершине множества. Если решение задачи (4.22) —(4.24) не единственно (например, целая грань множества), то среди решений хотя бы одно является вершиной. На этом. факте основано большинство методов решения задач линейного программирования. [c.50]
Здесь gh(x) — некоторые функции решений, обладающие в различных конкретных задачах теми или иными свойствами. Так, часто функции gh(x) считают выпуклыми, следствием чего является выпуклость множества G. В других случаях рассматривают линейные модели [c.298]
Методы построения эффективных вершин. Эти методы предназначаются для линейных моделей (3.7) с линейными критериями (3.8). Поскольку в этом случае множества G и Gf являются многогранными, то при выполнении предположения об их ограниченности каждая точка этих множеств может быть представлена как выпуклая комбинация вершин. Так, любая точка G, может быть представлена в виде [c.309]
Такая форма представления G, имеет большое преимущество она позволяет легко и быстро изобразить на экране терминального устройства ЭВМ любое двумерное сечение Gf по требованию ЛПР в течение нескольких секунд. Кроме того, имеется возможность строить различные проекции G/ также по требованию ЛПР (это требует уже десятков секунд — задержка зависит от размерности множества Gf и его сложности). Такой диалоговый анализ позволяет ЛПР за непродолжительное,время получить сотни различных проекций и сечений множества G/. Опыт показывает, что анализ э/гого числа проекций и сечений достаточен для создания у ЛПР представления о множестве G/, если число критериев не превышает десяти. При этом важнейшую роль играет выпуклость множества Gt, поскольку представить себе невыпуклое множество в пространстве размерности больше. трех очень трудно. [c.315]
Построение аналитических таблиц является одним из важнейших приемов проведения анализа финансово-хозяйственной деятельности. Любой годовой отчет, аналитическая записка, аналитическое обоснование конкретного управленческого решения, как правило, содержат множество подобных таблиц. На первый взгляд нет ничего принципиально сложного в представлении некоторого материала в табличной форме. Действительно, это так тем не менее недооценивать значимость таблиц не следует, поскольку, во-первых, грамотное построение аналитических таблиц является составной частью общей культуры оформления отчетной документации и, во-вторых, в процессе подготовки и оформления материала в табличной форме нередко более выпукло проявляются некоторые закономерности и характеристики в отношении описываемого субъекта, процесса или явления. [c.95]
Если хотя бы одна из этих функций — нелинейная или содержит произведения искомых переменных, то соответствующая задача — это задача нелинейного программирования. Среди них наиболее изучены задачи выпуклого программирования, в результате решения которых определяют минимум выпуклой (или максимум вогнутой) функции, заданной на выпуклом замкнутом множестве. [c.104]
Предположим, что задача имеет многогранник решений (рис. 8.3). Если наложить требование целочисленности, то допустимое множество решений выразится в систему точек и уже не является выпуклым. [c.126]
Если добавить новые ограничения, связывающие внешние целочисленные точки, а затем в качестве многогранника использовать все выпуклое множество, ограниченное осями координат и новым контуром, то получим новую задачу линейного программирования со следующими свойствами [c.126]
Аналогичная по математической постановке задача линейного программирования с переменными вектор-столбцами, заданными на выпуклых множествах, приведена в работе [14]. Показана принципиальная возможность применения декомпозиционной процедуры для данного типа задач. В результате решения определяются как основные переменные, так и значения элементов матрицы условий. Применение принципа декомпозиции для решения задачи линейного программирования с переменными параметрами модели (обобщенная задача линейного программирования) рассмотрено в работах [15, 16]. Особенностью алгоритма является то, что в процессе решения осуществляется одновременный поиск вершин выпуклых многогранников, на которых заданы варьируемые векторы, и значений интенсивностей технологических процессов. [c.15]
Другое направление решения задачи линейного программирования с переменными векторами условий, заданными на сепарабельных выпуклых множествах, связано с предварительным определением всех вершин" допустимых значений технологических коэффициентов и последующим формированием и решением задачи линейного программирования, в которой для процессов с переменными технологическими коэффициентами рассматривается несколько вариантов, полученных в результате определения вершин" [17-20]. Одна из первых задач подобного типа [17] включала элементарный случай варьирования технологических коэффициентов, когда область их допустимых значений представляла собой многогранник, образованный пересечением и-мерного параллелепипеда одной гиперплоскостью. [c.15]
Как показано в [16], при ограниченных и выпуклых допустимых множествах (2.14) вектор х% 0, удовлетворяющий ограничению A xk bk, можно представить в виде выпуклой линейной комбинации конечного множества крайних точек [c.24]
Упражнение 5. Для производства 200 кг говядины и б кг говяжей печени требуется 1 корова технологии раздельного производства этих продуктов не существует. Как выглядит МПВ общества, располагающего 1000 коров Будет ли это множество выпукло [c.671]
Многое в теории конкурентной экономики базируется, однако, на более решающем и жестком условии, чем ограниченность, а именно на предположении о выпуклости. Производственное множество выпукло, если отрезок, соединяющий любые две точки а и b множества, содержит лишь точки, принадлежащие производственному множеству. Или, говоря неформально, множество не содержит ни дыр, ни зубцов на своих границах. Основное преимущество постулатов выпуклости состоит в том, что они, по словам Купманса, представляют в некотором смысле минимальные допущения, гарантирующие существование системы цен, которая допускает или способствует децентрализованному принятию эффективных и согласованных решений [57]. Никаких допущений о дифференцируемости не требуется. Максимум на выпуклом производственном множестве — не просто наибольшее значение в малой окрестности это максимум по всему диапазону возможных производственных планов, отображенных в модели. [c.161]
Также можно в качестве технологического множества Y можно взять выпуклую оболочку У2 точек г/1, т/2,. ..,уп (если мы предполагаем, что технологическое множество выпукло). Если мы предполагаем выпуклость и свободу расходования, то в качестве Y можно взять разность между Yl и R+ У3 = У1-М+, и между У2 и R+ У4 = У2-М+. Еще один вариант — пересечение полупространств, отсекаемых соответствующими гиперплоскостями [c.136]
Математически это требование формулируется следующим образом / (х) — вогнутая (выпуклая вверх) функция своих аргументов на неотрицательном ортанте. Напомним, что функция называется вогнутой на множестве X, если для любых двух точек (векторов) xt и л 2 из множества X и любого числа а е [О, 1] справедливо неравенство [c.93]
Методы второй группы направлены на.то, чтобы дать человеку представление об эффективном множестве в целом. Далее, человек может сам выбрать то эффективное решение, которое устраивает его в наибольшей степени. Надо сказать, что в том случае, когда число показателей превышает два, эта задача является весьма сложной. Она усугубляется тем, что даже для линейных задач множество эффективных точек является певыпуклым. Для систем с выпуклыми множествами допустимых решений п линейными показателями эту трудность можно преодолеть, если дать представление о всем множестве достижимых значений показателей. В указанном случае это множество является выпуклым, поэтому его структуру можно понять па основе анализа различных двумерных сечений этого множества. Заметим, что при этом одновременно дается представление о структуре эффективного множества, которое является частью границы множества достижимых показателей. [c.61]
Подводя итог описанию методов представления эффективного множества в виде совокупности эффективных вершин, можно сказать, что все они недостаточно эффективны при анализе ситуаций типа представленной на рис. 6.10. В двумерном случае можно, конечно, задать все эффективные точки как выпуклую комбинацию точек А и В, но в многомерном случае это сделать очень трудно, так как, скажем, в пятимерпом пространстве критериев совсем непросто определить, какие из точек являются соседними, чтобы на их основе построить четырехмерный многогранник эффективных точек. [c.312]
Основная идея метода — построение множества Gt вместо множества эффективных точек Pf — позволяет избежать многих трудностей, связанных с невыпуклостью множества Pf. Поскольку множество Gf — многогранное выпуклое, оно может быть построено в виде [c.315]
Рассмотрим множество Gy реализуемых векторов у. Это выпуклое многогранное множество. Для случая двух продуктов (k = 2) характерный вид этого множества приведен на рис. 7.5. ЗХесь сделано предположение, что система может производить лишь второй продукт. Множество Gy аналогично множеству G на рис. 7,3. Множество Gv отличается от множества G тем, что УЧ может быть положительным лишь при отрицательных значениях yl (что связано с отрицательностью переменной, отра- [c.347]
В отличие от метода Данцига — Вульфа, в котором производственные возможности отдельных предприятий представляются в виде линейной комбинации всех базисных решений х (s= , М ), в аппроксимаци-онных моделях выпуклые многогранники ооычно задаются на базе ограниченного множества опорных плановых решений. Ограниченность числа рассматриваемых в аппроксимационных моделях вариантов позволяет сократить размерность задач и объем обрабатываемой информации. [c.25]
Варьируемость векторов R f представляет дополнительные возможности улучшения решения, поскольку может быть поставлена задача целенаправленного поиска в пределах выпуклых множеств GJ таких значений R при которых максимизировались бы / -е относительные оценки с/. [c.31]
В моделях с переменными параметрами, допускающих в некоторых случаях эффективную линеаризацию, в зависимости от алгоритма решения предусмотрена 1) генерация аппроксимационных вариантов, осуществляемая по ходу реализации алгоритма решения, или 2) предварительное определение множества аппроксимирующих вариантов путем разложения варьируемых векторов технологических параметров по вершинам выпуклых многогранников, определяющих допустимые области технологических параметров. [c.43]
Смотреть страницы где упоминается термин Множество выпуклое
: [c.57] [c.141] [c.675] [c.420] [c.205] [c.163] [c.34] [c.34] [c.34] [c.151] [c.310] [c.310] [c.342] [c.463] [c.36]Справочник по математике для экономистов (1987) -- [ c.83 ]