Сумма выпуклых множеств всегда является выпуклым множеством. [c.88]
Сумма выпуклых множеств 88 [c.330]
Множество А, А с R", называют выпуклым, если оно вместе с каждой парой своих точек содержит и весь отрезок, соединяющий эти точки. Иными словами, подмножество А пространства Rm выпукло, если для всех пар точек у, у" е А и любого числа А е [0, 1] выполнено соотношение у + (1 - А) у" е А. Множество К, К с Rm, называется конусом, если для каждой точки у е К и любого положительного числа а выполняется включение ау е К. Конус, являющийся выпуклым, именуют выпуклым конусом. Иначе говоря, выпуклое множество является выпуклым конусом, если оно вместе с каждой своей точкой содержит и весь луч, исходящий их начала координат (в общем случае без самого начала) и проходящий через данную точку. При этом начало координат (вершина конуса) может как принадлежать, так и не принадлежать данному конусу. Можно проверить, что сумма любых двух (и более) элементов выпуклого конуса всегда принадлежит данному конусу. Конус К называют острым, если не существует такого ненулевого вектора у е К, для которого выполняется включение -у е К. Не являющийся острым конус обязательно содержит, по крайней мере, одну прямую, проходящую через начало координат (вместе с самим началом или же без него). [c.52]
Свойства выпуклых (а следовательно, и вогнутых) функций рассматривались нами в Математическом приложении Выпуклые множества и функции (вып. 1). Одно из них применительно к вогнутым функциям сводится к следующему. Пусть xlf x2,. .., хп— произвольные значения аргумента вогнутой функции f(x), числа А , Л,2,. .., — неотрицательны, в сумме равны единице, а в остальном произвольны. Тогда [c.397]
Она является выпуклой функцией С,-. Минимум суммы (11.96) на множестве (11.94) достигается при С, =G2 = G3 и равен 3(2X., + Х.2 - [ J) (l - с). Поэтому [c.423]
Поскольку предпочтения потребителей выпуклы, и множества допустимых потребительских наборов Хг выпуклы, то, как несложно показать, Lz (жг) также выпуклы и, значит, их сумма [c.195]
Предложим ЛПР сыграть в игру, в которой он с. равными шансами получит сумму х или заплатит сумму у. Обозначим множество игр (х,у), в которые ЛПР соглашается играть, — через А. Граница этого множества состоит из пограничных игр и является графиком некоторой функции g(x). Если ЛПР не склонен к риску, то множество А выпукло, а функция g вогнута. Эти моменты уже привычны и на них не останавливаемся (рис. 19.5). [c.163]
Сумма выпуклы х конусов в R" является выпуклым конусом, а сумма коне ашных конусов — конечным конусом. Имеют место следуноюдие два утверждения 1) Множество всех решений системы линейных уравнений [c.89]
Еще более простой в применении оказывается технология, предполагающая максимизацию не одного, "главного", частного критерия, а линейной свертки от всех критериев. Эта технология построена на результатах теоремы, доказанной тремя учеными — Куном, Таккером и Карлиным. Было показано, что если множество альтернатив, задаваемых характеристиками х, выпукло, а все ги.(а) — вогнуты, то для всякой эффективной стратегии а° найдутся такие неотрицательные числа у,, в сумме равные единице, что [c.179]