Задача. Найти алгоритм, который для произвольного заданного конечного набора векторов а1, а1,..., ак, порождающих выпуклый острый т-мерный конус М, дает возможность за обозримое время построить минимальный набор векторов bl, b2,. .., Ь", порождающих двойственный конус С, т. е. таких, что [c.123]
Для упрощения последующего решения поставленный вопрос переведем в плоскость конусов отношений и сформулируем его так возможно ли за счет выбора набора векторов и1, и2,. .., ик получить конус М сколь угодно близким к неизвестному конусу К ) При этом число векторов к не фиксировано и может быть любым конечным числом. [c.133]
Как указано в предыдущем разделе, наличие конечного набора информации об относительной важности критериев равносильно заданию некоторого непротиворечивого конечного набора векторов и[, и2,. .., ик Nm, которые вместе с единичными ортами < , е2,. .., ет порождают многогранный конус М, содержащийся в конусе К. [c.137]
Математическая постановка рассматриваемого вопроса выглядит следующим образом возможно ли за счет выбора набора указанных выше векторов и[, и1,. .., ик (при этом число к векторов конечно, но не фиксировано) добиться того, чтобы расстояние dr(K, М) между конусами К и М было сколь угодно малым [c.137]
Теорема 5.1 (в терминах аппроксимации конусов). Пусть К — произвольный острый выпуклый конус, не содержащий начала координат, и такой, что К с Rm, К э R+, К Я . Выберем и зафиксируем произвольное положительное г. Тогда для любого положительного числа найдется такой конечный набор векторов [c.137]
Теорема 5.1 (в терминах информации об относительной важности критериев). С помощью конечного набора машинно реализуемой информации об относительной важности критериев можно получить сколь угодно точное представление (точность оценивается формулой ( )) о конусе любого бинарного отношения предпочтения, удовлетворяющего аксиомам 2-4. [c.139]
Многогранный (конечный) конус 153, 198 [c.473]
Эта замена оказалась возможной потому, что в искомом решении функция xz (t) должна была быть заведомо монотонной. Независимость / (х, и) от t тоже была полезной, но не очень существенной в крайнем случае можно было бы добавить пятое уравнение dt/dx =l/f2 (ведь программа все равно была рассчитана на пять уравнений). Существенным, конечно, было то, что время процесса Т не было фиксированным. Мы не будем подробно комментировать решение задачи. Оно изображено на рис. 3 в [87], а на рис. 6 (там же) — конус для этой задачи. И здесь принцип максимума оказался выполненным (с той же степенью точности). Приведенные здесь расчеты выполнены в 1963 г. и опубликованы в [83], [89]. [c.255]
Выпуклая оболочка конечного множества лучей, исходящих из одной точки, называется многогранным выпуклым конусом с вершиной в данной точке. [c.23]
Конечный конус все гда замкнут. Пересечение двух конечных конусов снова, является конечным конусом. [c.88]
Свойства с отряженных конусов 1°. Сопряженный конус JK всегда замкнут. 2°. Конус, сопряженный к конечному конусу, сам будет конечным. [c.88]
Кендалла классификация 316 Колмогорова уравнения 319 Комплексные числа 31 Конечные разности 281 Конус выпуклый 87 [c.328]
Сумма выпуклы х конусов в R" является выпуклым конусом, а сумма коне ашных конусов — конечным конусом. Имеют место следуноюдие два утверждения 1) Множество всех решений системы линейных уравнений [c.89]
Если же вместо одного неравенства рассматривать некоторую систему, содержащую определенное конечное число подобного рода неравенств, то множеством решений этой системы однородных линейных неравенств также будет выпуклый конус, представляющий собой пересечение конечного числа замкнутых полупространств. Его называют многогранным (полиэдральным) конусом. В общем случае этот конус не является острым. [c.53]
Введем в рассмотрение множество М — совокупность всех ненулевых неотрицательных линейных комбинаций конечного набора векторов е е2,..., ет, у, где е е2,..., ет — единичные орты пространства Rm. Множество Мявляется выпуклым конусом, не содержащим начало координат (так как коэффициенты линейных комбинаций одновременно в нуль не обращаются). В силу включений е е2,..., ет R+ С К и у е К введенное множество М представляет собой подмножество конуса К. Более того, М — острый конус, так как он — подмножество острого выпуклого конуса К. [c.84]
Двойственный конус для многогранного (или конечнопорож-денного) конуса так же является многогранным конусом, а значит, порождается некоторым конечным набором векторов. Известно также [28], что двойственный для острого /л-мерного конуса сам является острым и т-мерным. [c.123]
Конус А" является произвольным острым выпуклым конусом и не содержит нуля. Что касается конуса М, то он принадлежит тому же классу, что и I, т. е. так же является острым, выпуклым и не содержит нуля. Однако в отличие от К конус М порожден конечным числом векторов, а, значит, он — конечнопорожден-ный, т. е. многогранный (см. [4, 28]). В такой постановке вопрос о полноте информации об относительной важности критериев имеет много общего с известной в выпуклом анализе задачей аппроксимации произвольного выпуклого компактного множества многогранником. Как известно, эта задача имеет положительное решение — произвольное выпуклое замкнутое ограниченное множество можно сколь угодно точно аппроксимировать (приблизить) многогранником. Поэтому есть все основания [c.133]
Случай конечного множества возможных оценок. Когда множество возможных векторов состоит из конечного числа элементов, для точного определения множества недоминируемых векторов (с конусным отношением, у которого конус К — открытый) достаточно располагать лишь определенным конечным набором информации об относительной важности критериев. Об этом свидетельствует следующая ниже теорема. Она имеет важное значение в рамках подхода, развиваемого в данной книге, поскольку теоретически обосновывает исключительную значимость теории относительной важности критериев в вопросах построения множества недоминируемых векторов (недоминируемых решений). В соответствии с этой теоремой, для задач многокритериального выбора определенного класса, используя лишь информацию об относительной важности критериев, можно гочно найти множество недоминируемых векторов (и недоминируемых решений). [c.143]
ПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ ЛУЧ [a tivity ray] — геометрическое место точек, отображающих пропорциональное увеличение количества ресурсов при использовании определенного технологического способа с возрастающей интенсивностью (см. Луч). Напр., если сочетание 3 ед. капитала (фондов) и 2 ед. труда (т.е. комбинация ЪК + 2L) дает 10 ед. некоторого продукта, то сочетания 6К + 4L, 9К + + 6L, дающие соответственно 20 и 30 ед. и т.д., будут лежать на графике на прямой, называемой П.л. или технологическим лучом. При ином сочетании факторов П.л. будет иметь другой наклон. В силу неделимости многих факторов производства количество технологических способов и соответственно П.л. принимается конечным. На рис. П.8 показан технологический конус с пятью лучами [c.290]
Как известно, выпуклый многогранный конус С может быть представлен либо как неотрицательная комбинация конечного числа векторов, либо как пересечение конечного числа полупространств. [c.168]
Таким образом, N( ) представляет собой выпуклый многогранный конус, образованный неотрицательной комбинацией векторов-столбцов матрицы ( — В) и сдвинутый относительно начала координат на b (со). Этот же выпуклый конус может быть при помощи матрицы ( — В ), полярной ( — В), записан как пересечение конечного числа полупространств [c.169]