В данной книге впервые принцип Эджворта-Парето получает определенную математическую формулировку, и что самое главное — четко очерчивается класс задач многокритериального выбора, в которых применение этого принципа является обоснованным. За пределами указанного класса на его основе можно получить далеко не лучшие результаты. [c.9]
Для того чтобы сформулировать принцип Эджворта-Парето, постановку обычной многокритериальной задачи, включающей множество возможных решений и набор критериев (векторный критерий), необходимо дополнить бинарным отношением предпочтения лица, принимающего решение (ЛПР). Расширенная подобным образом многокритериальная задача названа задачей многокритериального выбора. Ее решение заключается в отыскании так называемого множества выбираемых решений, которое может состоять из одного элемента, но, в общем случае, оно является подмножеством множества возможных решений. [c.9]
Итак, постановка всякой задачи многокритериального выбора включает три объекта — множество возможных решений, векторный критерий и отношение предпочтения ЛПР. Решить эту задачу — означает, на основе векторного критерия и имеющихся сведений об отношении предпочтения ЛПР, найти множество выбираемых решений. [c.9]
В рамках рассматриваемой модели многокритериального выбора принцип Эджворта-Парето может быть сформулирован в виде утверждения о том, что множество выбираемых решений содержится в множестве Парето. Иначе говоря, каждое выбираемое решение является парето-оптимальным. Математический эквивалент этому высказыванию — включение одного множества в другое. Для того чтобы доказать это включение, следует определенным образом ограничить весь класс задач многокритериального выбора, наложив специальные требования на указанные выше три объекта. Эти требования (аксиомы) относятся главным образом к отношению предпочтения ЛПР и могут быть интерпретированы как рациональное (или разумное , последовательное ) поведение в процессе выбора. Кроме того, среди этих требований имеется условие согласованности отношения предпочтения ЛПР и векторного критерия, поскольку каждый из этих двух объектов выражает определенные устремления (цели) одного и того же ЛПР, и потому они обязаны быть каким-то образом связаны друг с другом. [c.10]
В этой главе вводятся и обсуждаются базисные понятия, связанные с принятием решений в многокритериальной среде множество возможных решений, векторный критерий и отношение предпочтения лица, принимающего решение. Дается постановка задачи многокритериального выбора. Кроме того, здесь определяются такие принципиально важные для дальнейшего изложения понятия, как множество недоминируемых решений и множество Парето, без которых невозможна формулировка и строгое обоснование принципа Эджворта-Парето. [c.15]
Именно формулировка и обоснование этого принципа составляет центральный результат первой главы. Устанавливается, что принцип Эджворта-Парето следует применять лишь для решения задач многокритериального выбора из некоторого, хотя и достаточно широкого класса. Этот класс составляют такие задачи, которые удовлетворяют определенным трем требованиям (аксиомам), выражающим рациональность поведения лица, принимающего решение. За пределами указанного класса использование принципа Парето сопряжено с риском и может привести к далеко не лучшим результатам. [c.15]
Задача многокритериального выбора [c.15]
ЗАДАЧА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА 17 [c.17]
ЗАДАЧА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА 19 [c.19]
ЗАДАЧА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА 21 [c.21]
Задача многокритериального выбора. Теперь можно сформулировать все основные элементы задачи многокритериального выбора. Итак, постановка всякой задачи многокритериального выбора включает [c.21]
Само ЛПР в постановку задачи многокритериального выбора не включено. В этом нет необходимости. Подразумевается, что все его устремления, вкусы, пристрастия и предпочтения, оказывающие влияние на процесс выбора, материализованы в терминах векторного критерия и отношения предпочтения. [c.21]
Следует, однако, заметить, что приведенный список основных компонентов задачи многокритериального выбора в дальнейшем при необходимости может быть расширен за счет добавления каких-то новых объектов, с помощью которых дополнительно удастся учесть интересы, мотивацию и пристрастия ЛПР. [c.21]
Приведенная выше задача многокритериального выбора сформулирована в терминах решений. Нередко данную задачу [c.21]
Требование, предъявляемое к отношению предпочтения. Рассмотрим задачу многокритериального выбора, включающую множество возможных решений X, векторный критерий/и отношение предпочтения >х- Поскольку отношение предпочтения задается на парах возможных решений, то, как нетрудно понять, оно представляет собой некоторое бинарное отношение. [c.25]
Рассмотрим ситуацию, когда одно решение предпочтительнее второго, а оно, в свою очередь, предпочтительнее некоторого третьего решения. В таком положении здравомыслящий человек при сравнении первого и третьего решения всегда выберет первое. Здесь происходит примерно то же самое, что и при сравнении чисел с помощью отношения строгого неравенства. Например, если 5 > 3 и 3 > 1, то непременно выполнено 5 > 1. В терминах возможных решений это свойство может быть сформулировано следующим образом для любой тройки возможных решений х, х", х " из выполнения соотношений х >х х" и х" >х х " обязательно следует справедливость соотношения х >-х х ". На языке бинарных отношений это означает, что отношение предпочтения, используемое в задачах многокритериального выбора, должно быть подчинено требованию транзитивности. [c.26]
Множество недоминируемых решений. Как указано в разд. 1.1, решение задачи многокритериального выбора заключается в отыскании множества выбираемых решений Sel X. Выясним, каким образом сведения об отношении предпочтения могут быть использованы в процессе решения задачи многокритериального выбора. [c.26]
Включение (1.2) устанавливает, что для достаточно широкого класса задач (а именно, для тех задач, для которых выполнена аксиома 1) выбор решений следует производить только среди недоминируемых решений. Кроме того, поскольку все последующие требования (аксиомы), предъявляемые к рассматриваемому здесь классу задач многокритериального выбора, как мы увидим далее, не содержат множества выбираемых решений (и выбираемых векторов), включение (1.2) показывает, что выбранным может оказаться любое подмножество множества недоминируемых решений. [c.29]
Согласование отношения предпочтения с критериями. Совершенно очевидно, что в задаче многокритериального выбора отношение предпочтения, равно как и критерии оптимальности, выражают интересы одного и того же ЛПР. Поэтому они должны быть каким-то образом взаимосвязаны (сопряжены) друг с другом. Настало время обсудить эту взаимосвязь. [c.34]
Внимательный анализ доказательств приведенных утверждений, в совокупности приводящих к теореме 1.2, показывает, что если хотя бы одна из аксиом 1, 2 или 3 нарушается, то выбираемое решение не обязано быть парето-оптимальным 1). Отсюда следует, что принцип Эджворта-Парето не является универсальным, т. е. применимым во всех без исключения задачах многокритериального выбора. Более того, на основе аксиом I, 2 и 3 (точнее говоря, на основе отрицаний этих аксиом) при желании можно сделать определенный вывод и о том, в каких именно задачах этот принцип может не работать . [c.37]
Здесь также обсуждаются различные типы шкал и обосновывается применимость упомянутой теоремы 2.5 к любым задачам многокритериального выбора с критериями, значения которых измеряются в произвольных количественных шкалах. [c.43]
Исходная задача многокритериального выбора. Последующее рассмотрение будет посвящено задаче многокритериального выбора, включающей [c.43]
Следует отметить, что многие вопросы приобретают более простой вид, если их формулировать и решать в терминах векторов. Как было отмечено в предыдущей главе, практически все результаты, полученные в терминах решений, можно легко переформулировать в терминах векторов и обратно. Поэтому в дальнейшем изложении часто будет рассматриваться задача многокритериального выбора в терминах векторов, содержащая [c.43]
Во многих практически важных задачах многокритериального выбора отношение предпочтения >- можно считать инвариантным [c.51]
В соответствии с принципом Эджворта-Парето (см. раздел 1.4) все выбираемые векторы должны содержаться во множестве Парето или, что то же самое, любой парето-оптимальный вектор может оказаться выбранным. Если в задаче многокритериального выбора имеется дополнительная информация о том, что какой-то один из критериев важнее другого, то, в соответствии с теоремой 2.5, на основе этой информации множество Парето может быть сужено без потери выбираемых векторов. Иначе говоря, некоторые векторы из множества Парето можно удалить, так как они заведомо не должны быть выбранными. Осуществленное таким образом сужение множества Парето на основе информации об относительной важности критериев в некоторых задачах может существенно облегчить последующий поиск выбираемых векторов. [c.64]
Последнее включение выражает собой принцип Эджворта-Парето, согласно которому выбор следует производить в пределах множества Парето. Как было указано в первой главе, этот принцип применим в любой задаче многокритериального выбора, удовлетворяющей аксиомам 1-3. Иначе его можно сформулировать так множество Парето представляет собой определенную оценку сверху для множества выбираемых векторов. [c.67]
Количественные и качественные шкалы. Как было указано ранее, все критерии/b/2,. ..,/m, участвующие в постановке задачи многокритериального выбора, принимают числовые значения. Тем самым, включение у, = ft(x) б R выполняется для любого х е X и каждого / = 1, 2,..., т. Для строгой постановки математической задачи многокритериального выбора этих сведений о критериях вполне достаточно. [c.69]
Следствие 3.3. Включения (3.4) и (3.12) инвариантны относительно линейного положительного преобразования критериев /ь f2,. .-,/ ,, а значит, результаты теоремы 3.4 могут быть использованы для задач многокритериального выбора, в которых значения указанных критериев вычисляются в количественных шкалах (интервалов, отношений и разностей). [c.91]
При решении реальных задач принятия решений, когда в наличии имеется целое семейство различного рода сообщений об относительной важности критериев, может оказаться так, что векторы, участвующие в задании набора информации, образуют противоречивый набор. Это связано с тем, что информация об относительной важности, как правило, не точна и чаще всего отражает лишь желательную, а не действительную картину предпочтений ЛПР. Кроме того, ЛПР, само того не желая, иногда может несколько отклоняться от класса задач многокритериального выбора, ограниченных аксиомами 2-4, и в таком случае его поведение следует подкорректировать, объявив о противоречивости его предпочтений, выраженных в форме набора информации об относительной важности критериев. [c.113]
Прежде чем продолжить рассмотрение, отметим следующее. Благодаря лемме 1.2 множество выбираемых векторов должно содержаться в множестве недоминируемых векторов. Более того, имея дело с классом задач многокритериального выбора, ограниченных рамками аксиом 1-4, ясно, что выбранным может оказаться любое подмножество множества недоминируемых векторов. Иными словами, информация об отношении предпочтения ЛПР и наличие набора критериев, удовлетворяющих аксиомам 1-4, не позволяют исключить как заведомо неприемлемый ни один из недоминируемых векторов. Поэтому самой узкой оценкой сверху для множества выбираемых векторов в рассматриваемой модели будет множество недоминируемых векторов. По этой причине мы будем далее говорить об аппроксимации (приближении) не множества выбираемых, а множества недоминируемых векторов. [c.132]
Более точно поставленный выше вопрос можно сформулировать следующим образом возможно ли, используя лишь конечный набор информации об относительной важности критериев, получить сколь угодно тонное представление о неизвестном множестве недоминируемых векторов Оказывается, на этот вопрос в принципе можно ответить положительно. В принципе — так как придется несколько сузить класс рассматриваемых задач многокритериального выбора, уже ограниченных рамками аксиом 1-4. [c.132]
Ниже будет показано, что для определенного класса задач многокритериального выбора нужно лишь научиться успешно извлекать и грамотно использовать информацию об относительной важности критериев. Этого вполне достаточно для того, чтобы, по крайней мере, теоретически получить сколь угодно точное представление о неизвестном множестве недоминируемых векторов (и недоминируемых решений). Такое положение свидетельствует о важной роли информации об относительной важности критериев в процессе принятия решений. [c.132]
Собственно выбор решения (решений) осуществляет лицо, принимающее решение (ЛПР). Оно же несет всю ответственность за принятое решение. Результат решения задачи многокритериального выбора именуют множеством выбираемых решений и обозначают Sel X. Нередко в реальных задачах это множество содержит лишь одно решение. Однако можно указать немало ситуаций, когда оно должно включать несколько (а иногда и бесконечное число) элементов. Например, при выборе кандидатов на вакантные места, число выбранных претендентов должно в точности совпадать с числом вакантных мест, которых может быть несколько. [c.152]
Основными компонентами задачи многокритериального выбора являются множество возможных решений X, векторный критерий f = [fx, /2,. ,fm) и отношение предпочтения ул, которым ЛПР руководствуется в процессе выбора. [c.152]
Третья компонента задачи многокритериального выбора — отношение предпочтения — наиболее трудно формализуемая. Как правило, полностью построить отношение предпочтения, которым ЛПР пользуется в процессе выбора, невозможно. Об этом отношении удается получить лишь некоторые фрагментарные сведения. Среди этих сведений обязательно должна быть информация о том, что оно принадлежит определенному классу, который ограничен специальными требованиями. Напомним, что предлагаемый в данной книге подход к решению задач многокритериального выбора предполагает, что используемое ЛПР отношение [c.153]
Теоретическое обоснование описанного метода последовательного сужения множества Парето на основе количественной информации об относительной важности критериев приведено в пятой главе. Доказанная в ней теорема 5.3 утверждает, что во многих случаях, когда множество возможных векторов состоит из конечного числа элементов (это условие заведомо выполняется, если конечным является множество возможных решений), на основе конечного набора информации об относительной важности критериев, можно точно построить неизвестное множество недоминируемых векторов (а значит, и множество недоминируемых решений). К сожалению, этот результат не является конструктивным в том смысле, что в нем не указывается, какой именно набор информации следует при этом использовать. Неизвестно также, какое количество сообщений об относительной важности при этом нужно иметь. Решение этих вопросов в сильной степени зависит от конкретного вида множества возможных решений и участвующих в задаче выбора критериев. Тем не менее, эта теорема имеет важное теоретическое значение, поскольку она обосновывает описанный метод последовательного сужения множества Парето. По сути дела она утверждает, что при решении задач многокритериального выбора следует лишь научиться выявлять информацию об относительной важности критериев и умело ее использовать на основе только такой информации можно полностью и точно построить множество недоминируемых решений для произвольной задачи многокритериального выбора из достаточно широкого класса, в которой множество возможных решений конечно. Если же указанное множество не является конечным, то с помощью одной информации об относительной важности можно получить сколь угодно точное приближение к искомому множеству недоминируемых решений (см. теорему 5.2). Аналогичное утверждение справедливо не только для решений, но и для векторов. [c.159]
Третий основной подход к многокритериальному выбору управления в организационно-экономических системах выражается в исследовании множества Парето. К множеству Парето относятся [108] те варианты решений, над которыми не доминируют другие варианты с точки зрения всей совокупности критериев. Конечно, исключение из рассмотрения вариантов, не принадлежащих множеству Парето, не решает задачу многокритериального выбора, а только намечает варианты ее решение. Сама по себе проблема построения множества Парето, его анализа является задачей прикладной математики [4,114,151,167]. Однако анализ множества Парето есть лишь первый этап на пути поиска решения, поскольку практически проблема управления организационно-экономическими системами заключается в выборе единственного варианта функционирования, причем на основе объективной информации. [c.117]
Итак, методы многокритериальной оптимизации позволяют тем или иным образом преодолеть трудности, связанные с неединственностью критерия. При этом, однако, приходится решать задачу, значительно более сложную, чем задача оптимизации. Поэтому задачи многокритериального выбора удается решить в случае относительно простых моделей. Что же следует делать, если модели сложны Ведь достаточно адекватная математическая модель некоторой экономической системы может оказаться настолько сложна, что и обычную оптимизационную задачу решить не удается. В этом случае для исследования экономических систем применяются имитационные эксперименты. [c.61]
Располагая определением относительной важности критериев и изучив простейшие его свойства, можно приступить к решению главного вопроса, ради которого это понятие вводилось каким образом учитывать информацию об относительной важности критериев в форме сообщения о том, что один критерий важнее другого Оказывается (это демонстрируется во второй главе книги), если несколько ограничить класс задач многокритериального выбора, для которых справедлив принцип Эджвор-та-Парето, добавлением еще одного достаточно разумного требования (аксиомы) к отношению предпочтения ЛПР, то учет этой информации можно производить очень просто — нужно лишь в соответствии с выведенной несложной формулой пересчитать менее важный критерий, оставив все остальные критерии и множество возможных решений прежними. В результате получится новая многокритериальная задача, множество Парето которой будет уже множества Парето исходной задачи, причем ни одно выбираемое решение исходной задачи не окажется за пределами нового множества Парето. Иначе говоря, при переходе от старого множества Парето к новому произойдет сужение области компромиссов и при этом не будет потеряно ни одно выбираемое (потенциально-оптимальное) решение. Область поиска выбираемых решений после указанного учета информации об относительной важности критериев станет более узкой и, тем самым, задача выбора упростится. [c.12]
Одно их главных достоинств метода последовательного сужения области компромиссов заключается в том, что удается аксиоматически очертить класс задач многокритериального выбора, для которых в результате применение данного метода на каждом шаге сужения заведомо не будет удалено ни одно потенциально-оптимальное решение. Тем самым, набор аксиом четко указывает возможные границы его применимости. [c.14]
Дальнейшие требования, предъявляемые к отношению предпочтения. В постановке задачи многокритериального выбора имеется векторный критерий/ = (fhf2, ,/ ) Каждая компонента /, векторного критерия, как правило, характеризует определенную цель ЛПР, а стремление достичь этой цели в математических терминах нередко выражается в условии максимизации (или минимизации) функции fi на множестве X. [c.33]
Геометрические аспекты. В задачах многокритериального выбора отношение предпочтения >-, которым ЛПР руководствуется в процессе выбора, как правило, полностью не известно. В насто- [c.66]
Теперь предположим, что помимо аксиом 1 -4, которым удовлетворяет рассматриваемая задача многокритериального выбора, имеется дополнительная информация о том, что i-й критерий важнее >го критерия с коэффициентом относительной важности 8,7 е (0, 1). Наличие такой информации на геометрическом языке означает, что указан вектор у е Rm вида (2.4), для которого выполняется включение у е К. Таким образом, теперь известно, что конус К кроме неотрицательного ортанта содержит еще и вектор у, расположенный за пределами неотрицательного ортанта. [c.67]
Случай конечного множества возможных оценок. Когда множество возможных векторов состоит из конечного числа элементов, для точного определения множества недоминируемых векторов (с конусным отношением, у которого конус К — открытый) достаточно располагать лишь определенным конечным набором информации об относительной важности критериев. Об этом свидетельствует следующая ниже теорема. Она имеет важное значение в рамках подхода, развиваемого в данной книге, поскольку теоретически обосновывает исключительную значимость теории относительной важности критериев в вопросах построения множества недоминируемых векторов (недоминируемых решений). В соответствии с этой теоремой, для задач многокритериального выбора определенного класса, используя лишь информацию об относительной важности критериев, можно гочно найти множество недоминируемых векторов (и недоминируемых решений). [c.143]